2021-2022学年江西省赣州市横溪职业中学高一数学理模拟试题含解析

2021-2022学年江西省赣州市横溪职业中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.方程的解集是_________________。参考答案：{x∣x=kπ+，k∈Z}略2.如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，，，

则该几何体的表面积为

.

.

.

.参考答案：C略3.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是(A)y=sin

(B)y=sin(C)y=cos

(D)y=cos参考答案：D设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.

4.函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的反函数的零点为

(

)

A．2

B．

C．3

D．0参考答案：D5.已知函数是奇函数，当时，，则当时，＝A．

B．C．

D．参考答案：A6.已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，1）∪（1，3） C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣3，1）∪（2，+∞）参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先确定奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）=0，再将不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价于x﹣1＞0，f（x﹣1）＞0或x﹣1＜0，f（x﹣1）＜0，即可求得结论．【解答】解：∵奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，∴奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）=0，不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价于x﹣1＞0，f（x﹣1）＞0或x﹣1＜0，f（x﹣1）＜0即或∴1＜x＜3或﹣1＜x＜1∴不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（﹣1，1）∪（1，3）故选B．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式，正确确定函数的单调性是关键．7.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略8.下列函数图象中，能用二分法求零点的是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的零点；函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数f（x）的零点，结合所给的图象可得结论．【解答】解：由函数图象可得，A中的函数没有零点，故不能用二分法求零点，故排除A．B和D中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除．只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，故选C．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，用二分法求函数的零点的方法，属于基础题．9.设f（sinα+cosα）=sinα?cosα，则f（sin）的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】用换元法求出函数f（x）的解析式，从而可求函数值．【解答】解：令sinα+cosα=t（t∈[﹣，]），平方后化简可得sinαcosα=，再由f（sinα+cosα）=sinαcosα，得f（t）=，所以f（sin）=f（）==﹣．故选：A．10.如图，在△ABC上，D是BC上的点，且，则等于（

）A. B. C. D.参考答案：C【详解】试题分析：根据题意设,则,在中由余弦定理可得，在中由正弦定理得,故选C．考点：正余弦定理的综合应用．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调增区间为__________________；参考答案：12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为

.

参考答案：略13.函数的奇偶性为(

)（填:奇函数，偶函数，非奇非偶函数）参考答案：偶函数略14.关于平面向量，，，有下列三个命题：①若?=?，则=、②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3．③非零向量和满足｜｜=｜｜=｜﹣｜，则与+的夹角为60°．其中真命题的序号为

．（写出所有真命题的序号）参考答案：②【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①向量不满足约分运算，但满足分配律，由此我们利用向量的运算性质，可判断平面向量，，的关系；②中，由∥，我们根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0的原则，可以构造一个关于k的方程，解方程即可求出k值；③中，若｜｜=｜｜=｜﹣｜，我们利用向量加减法的平行四边形法则，可以画出满足条件图象，利用图象易得到两个向量的夹角；【解答】解：①若?=?，则?（﹣）=0，此时⊥（﹣），而不一定=，①为假．②由两向量∥的充要条件，知1×6﹣k?（﹣2）=0，解得k=﹣3，②为真．③如图，在△ABC中，设，，，由｜｜=｜｜=｜﹣｜，可知△ABC为等边三角形．由平行四边形法则作出向量+=，此时与+成的角为30°．③为假．综上，只有②是真命题．答案：②15.（3分）已知实数m≠0，函数，若f（2﹣m）=f（2+m），则实数m的值为

．参考答案：和8考点： 函数与方程的综合运用；函数的零点．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据分段函数的解析式，可以确定2+m和2﹣m应该在两段函数上各一个，对2+m和2﹣m分类讨论，确定相应的解析式，列出方程，求解即可得到实数m的值．解答： ∵，∴f（x）在x≤2和x＞2时，函数均为一次函数，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴2﹣m和2+m分别在x≤2和x＞2两段上各一个，①当2﹣m≤2，且2+m＞2，即m＞0时，∴f（2﹣m）=3（2﹣m）﹣m=6﹣4m，f（2+m）=﹣（2+m）﹣2m=﹣2﹣3m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴6﹣4m=﹣2﹣3m，∴m=8，；②当2﹣m＞2，且2+m≤2，即m＜0时，∴f（2﹣m）=﹣（2﹣m）﹣2m=﹣2﹣m，f（2+m）=3（2+m）﹣m=6+2m，∵f（2﹣m）=f（2+m），∴﹣2﹣m=6+2m，∴m=．综合①②，可得实数m的值为和8．故答案为：和8．点评： 本题考查了分段函数的解析式及其应用，考查了分段函数的取值问题，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．同时考查了函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．16.设全集，集合，，则

▲

．参考答案：略17.要得到的图象,则需要将的图象向左平移的距离最短的单位为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）已知奇函数对任意，总有，且当时，.（1）求证：是上的减函数.（2）求在上的最大值和最小值.（3）若，求实数的取值范围。参考答案：解：（1）证明：令令———2’

在上任意取

——————4’

，

，有定义可知函数在上为单调递减函数。——6’（2）

由可得

故上最大值为2，最小值为-2.

——————10’（3），由（1）、（2）可得

，故实数的取值范围为.——————12’略19.已知函数f(x)＝cos(2x－)，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.参考答案：（1）π.，（2）最大值为，此时；最小值为，此时．试题分析：（1）首先分析题目中三角函数的表达式为标准型，则可以根据周期公式，递增区间直接求解即可；（2）然后可以根据三角函数的性质解出函数的单调区间，再分别求出最大值最小值．试题解析：(1)f(x)的最小正周期T＝＝＝π.当2kπ≤2x－≤2kπ＋π，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，f(x)单调递减，∴f(x)的单调递减区间是[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.(2)∵x∈[－，]，则2x－∈[－，]，故cos(2x－)∈[－，1]，∴f(x)max＝，此时2x－＝0，即x＝；f(x)min＝－1，此时2x－＝，即x＝点睛：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝.(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．20.设二次函数f（x）=x2+ax+a．（1）若方程f（x）﹣x=0的两实根x1和x2满足0＜x1＜x2＜1．求实数a的取值范围．（2）求函数g（x）=af（x）﹣a2（x+1）﹣2x在区间[0，1]上的最小值．参考答案：【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断；函数与方程的综合运用．【分析】（1）令m（x）=f（x）﹣x=x2+（a﹣1）x+a．利用已知条件，通过二次函数的对称轴，函数值列出不等式组，求解a的范围即可．（2）g（x）=ax2﹣2x，通过①当a=0时，②当a＞0时，若，若，③当a＜0时，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值．【解答】（本小题10分）

解：（1）令m（x）=f（x）﹣x=x2+（a﹣1）x+a．依题意，得，故实数a的取值范围为．（2）g（x）=ax2﹣2x①当a=0时，g（x）=﹣2x在[0，1]上递减，∴g（x）min=g（1）=﹣2．②当a＞0时，函数图象的开口方向向上，且对称轴为．若，函数g（x）在上递减，在上递增．∴．若，函数g（x）在[0，1]上递减．∴g（x）min=g（1）=a﹣2．③当a＜0时，函数的图象的开口方向向下，且对称轴，g（x）在[0，1]上递减，∴g（x）min=g（1）=a﹣2综上所述，【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的零点问题的处理方法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．21.(本小题满分12分)如图，在底面是菱形的四棱锥，，，，点是的中点．证明：（Ⅰ）⊥平面；（Ⅱ）∥平面．参考答案：证明：（1）底面为菱形，，．······································································2分，，，，同理可证，········································································4分又，平面．··························································6分（2）连结相交于，则为的中点．为的中点，．·········································································8分又平面，平面，··························································10分平面．·····························································································