2021-2022学年安徽省黄山市历口中学高二数学理期末试题含解析

2021-2022学年安徽省黄山市历口中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.由“若，则”推理到“若，则”是（

）A.归纳推理

B.类比推理

C.演绎推理

D.不是推理参考答案：B略2.下列四个选项中正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知函数f（x）=，若f（a）=，则a的值为(

) A．﹣2或 B． C．﹣2 D．参考答案：B考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（a）=得到关于a的两个等式，在自变量范围内求值．解答： 解：因为f（a）=，所以，或者，解得a=或者a=﹣2；故选B．点评：本题考查了分段函数的函数值；只要由f（a）=得到两个方程，分别解之即可；注意解得的自变量要在对应的自变量范围内．4.在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（ex）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．8参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+≥1+2=3，当且仅当ex=时，f（x）=（ex）*的最小值为3．故选：B．【点评】本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键．5.设等比数列{an}前n项和为Sn，且，则=(

)A.4

B.5

C.8

D.9参考答案：B6.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A.， B.C.， D.参考答案：D【分析】由正态分布的性质，结合图像依次分析选项即可得到答案。【详解】由题可得曲线的对称轴为，曲线的对称轴为，由图可得，由于表示标准差，越小图像越瘦长，故，故A,C不正确；根据图像可知，，，；所以，，故C不正确，D正确；故答案选D【点睛】本题考查正态分布曲线的特点以曲线所表示的意义，考查正态分布函数中两个特征数均值和方差对曲线的位置和形状的影响，正态分布曲线关于对称，且越大图像越靠右边，表示标准差，越小图像越瘦长，属于基础题。7.下列函数中最小值是2的是

(

)

A.

B．C．

D．×参考答案：D8.若（，为实数，为虚数单位），则

(

)

A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D略9.设，且，则椭圆和椭圆具有相同的（

）A．顶点

B.焦点

C.离心率

D.长轴和短轴参考答案：椭圆即，离心率，选C.10.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=

．参考答案：2【考点】类比推理；棱柱的结构特征．【分析】由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．12.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为，若，，则数列{an}的通项公式为

．参考答案：由,得a1=S1=1，由，得4=(+)2，又an>0，∴2Sn=+,即Sn=an+1，当n≥2时,=an，两式作差得：an=an+1?an,即=2，又由S1=1,

,求得a2=1，∴当n≥2时,an=.验证n=1时不成立，∴，

13.下列命题：①设a，b是非零实数，若a＜b，则ab2＜a2b；②若a＜b＜0，则；③函数y=的最小值是2；④若x、y是正数，且+=1，则xy有最小值16；⑤已知两个正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值是．其中正确命题的序号是．参考答案：②④【考点】不等式的基本性质；基本不等式．【专题】应用题；转化思想；定义法；不等式．【分析】①的结论不成立，举出反例即可；②由同号不等式取倒数法则，知②成立；③④⑤分别利用基本不等式即可判断．【解答】解：①设a，b是非零实数，若a＜b，则ab2＜a2b，此结论不成立，反例：令a=﹣10，b=﹣1，则ab2=﹣10＞a2b=﹣100，故①不成立；②若a＜b＜0，由同号不等式取倒数法则，知＞，故②成立；③函数y==+≥2的前提条件是=1，∵≥2，∴函数y的最小值不是2，故③不正确；④∵x、y是正数，且+=1，∴1=+≥2，∴≤∴xy≥16，故④正确，⑤两个正实数x，y满足+=1，∴=1﹣=，即y=＞0，∴x＞2，∴y+x=x+=x﹣2++2=x﹣2++3≥2+3，当且仅当x=2+，y=+1时取等号，故⑤不正确，故答案为：②④．【点评】本题考查命题的真假判断，解题时要注意同号不等式取倒数法则、均值不等式成立的条件等知识点的灵活运用．14.方程的两根的等比中项是

.

参考答案：15.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为原点），且，则双曲线的离心率为

．参考答案：略16.若函数f（x）=x3﹣f′（1）x2+x+5，则f′（1）=．参考答案：【考点】导数的运算．【分析】利用导数的运算法则求出导函数，令导函数中的x为1，求出f′（1）【解答】解：∵f′（x）=x2﹣2f′（1）x+1，∴f′（1）=1﹣2f′（1）+1，解得，故答案为．17.已知抛物线上的任意一点到该抛物线焦点的距离比该点到轴的距离多1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如图所示，过定点（2，0）且互相垂直的两条直线、分别与该抛物线分别交于、、、四点．（i）求四边形面积的最小值；（ii）设线段、的中点分别为、两点，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

参考答案：（Ⅰ）由已知

∴

……………4分（Ⅱ）（i）由题意可设直线的方程为（），代入得设则，

∴

…………6分同理可得

………………7分S四边形ABCD…8分设则

∴S四边形ABCD∵函数在上是增函数

∴S四边形ABCD，当且仅当即即时取等号∴四边形面积的最小值是48.

………9分（ii）由①得

∴

∴∴，

……11分同理得

…12分∴直线的方程可表示为即当时得

∴直线过定点（4,0）.

……………………14分注：第（Ⅱ）中的第（i）问：S四边形ABCD（当且仅当时取等号）也可.

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若的最大值为0,求实数a的取值范围.参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】(1)本题首先可通过函数的解析式写出函数的导函数，然后可以根据函数方程的根的数目以及大小进行分类讨论，分为、、、四个区域，即可得出结果；(2)本题首先可以根据函数的解析式写出函数的解析式并写出函数的导函数，然后利用导函数性质判断函数的单调性，即可得出结果。【详解】(1)，，方程的，当时方程有两根、，①当时，无解或者仅有一解，在上单调递减；②当时，有两解，在上单调递减,在上单调递增；③当时,在上单调递减,在上单调递增；④当时,在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时,在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增；当时,在上单调递减，在上单调递增。(2)，，①当时，，为增函数，无最大值；②当时，在上为减函数，在上为增函数，无最大值；③当时，在上为减函数，有最大值，满足题意，综上所述，。【点睛】本题考查导函数的相关性质，主要考查利用导函数求函数单调性以及最值，考查导函数与二次函数性质的综合运用，考查推理能力，是难题。19.已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣3（1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值；（2）求函数f（x）的极值．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，f′（x）=3x2﹣6x﹣9，根据函数在图象上某点导数值和过该点切线斜率的关系即可求出x0的值，从而求出切点的坐标，进而求出b的值；（2）根据二次函数的图象容易判断导数的符号，根据极值的定义便可求出函数f（x）的极大值和极小值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9，根据题意，；∴x0=0，或2；∴①当x0=0时，f（x0）=﹣3；∴切线方程为y=﹣9x﹣3；∴b=﹣3；②当x0=2时，f（x0）=﹣25；切线方程为y=﹣9x﹣7；∴b=﹣7；（2）f′（x）=3（x﹣3）（x+1）；∴x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；∴f（x）的极大值为f（﹣1）=2，f（x）的极小值为f（3）=﹣30．【点评】考查函数在函数图象上某点的导数的几何意义，直线的点斜式方程，以及二次函数的图象，极大值和极小值的概念及求法．20.19．用冒泡排序法将下列各数排成一列：8，6，3，18，21，67，54.并写出各趟的最后结果及各趟完成交换的次数.参考答案：每一趟都从头开始，两个两个地比较，若前者小，则两数位置不变；否则，调整这两个数的位置.第一趟的结果是：6

3

8

18

21

54

67完成3次交换.第二趟的结果是：3

6

8

18

21

54

67完成1次交换.第三趟交换次数为0，说明已排好次序，即3

6

8

18

21

54

67.【答案】21.如图，在四边形中，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积．参考答案：考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：如图，（数据都标在图中）做,垂足为，做，不难算出

（1）几何体的表面积=地面圆面积+侧面积+上部圆锥内侧面积.（2）体积=圆台体积-圆锥体积22.在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查．调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动．（Ⅰ）请根据题目所提供的调查结果填写下列列联表；

看电视运动合计女

男

合计

（Ⅱ）已知．能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为