2019-高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程练习含解析新人教A版选修2-

2.2.1椭圆及其标准方程课后篇巩固提升1.已知方程x2k-4+y210A.(4,10) B.(7,10) C.(4,7) D.(4,+∞)解析依题意有k-4>10-k>0,解得7<k<10.答案B2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为()A.x24+y22=C.y216+x24=解析(方法一)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.(方法二)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),则16m=1,4答案D3.已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=(A.3 B.5 C.3 D.5解析因为椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5.答案D4.化简方程x2+(yA.x225+y216=C.x216+y225=解析由题意可知方程表示点(x,y)与两个定点(0,3)和(0,-3)之间的距离之和为10,又两定点之间的距离为6,且6<10,符合椭圆的定义,即2a=10,2c=6,从而可求得b2=16,相应椭圆方程为x216+答案C5.已知F1,F2分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△A.10 B.12 C.16 D.20解析由椭圆x225+y29=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长=|AF1|+|AF2由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D.答案D6.设椭圆x2m2+y24=1过点(解析因为椭圆x2m2+y2所以m2=16,则c2=16-4=12,故焦距2c=43.答案437.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的标准方程是.

解析由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以4c=2a.因为c=1,所以a=2.所以b2=a2-c2=3.故椭圆的标准方程为x24+答案x248.若方程x27-m+y2解析根据椭圆标准方程的形式,可知方程x27-m+y2m-1=1表示椭圆的条件是7-答案(1,4)∪(4,7)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.解当焦点在x轴上时,设其标准方程为x2a2+由椭圆过点P(3,0),知9a2+又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为x29+y2=当焦点在y轴上时,设其标准方程为y2a2+x由椭圆过点P(3,0),知0a2+又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为y281+故椭圆的标准方程为y281+x29=1或10.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,32);(2)经过两点(2,-2),-1解(1)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y2a2+x由椭圆的定义知2a=(4-所以a=6.又c=2,所以b=a2-c2所以椭圆的标准方程为y236+(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为y2a2+x由题意得18a2所以椭圆的标准方程为y236+(2)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为x2a2+y由已知条件得4a2所以所求椭圆的标准方程为x28+同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为x28+(方法二)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-2),-1得4A+2所以所求椭圆的标准方程为x28+11.(选做题)如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=20>12∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,∴G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,