概率论与数理统计

第二章随机变量及其分布关键词：随机变量概率分布函数

离散型随机变量连续型随机变量随机变量的函数1§2

离散型随机变量、几个经典例子定义：值域可数的随机变量为离散量。可以通过列举X取每个值得概率来刻画。ip

=1¥i=1pi

‡0,样本空间S＝{X=x1，X=x2，…，X=xn，…}由于样本点两两不相容¥

¥1

=

P(S)

=

P(

X

=

xi

)

=

pii=1

i=11、写出可能取值－－即写出了样本点2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率P……2……x1p1x2p2xipiX#概率分布P(

X

=

0)

=

P(

A1)

=

p

；P(

X

=1)

=

P(

A1

A2

)

=

(1-

p)

p

；1

2

3P(

X

=

2)

=

P(

A

A

A

)

=

(1-

p)2

p

；1

2

3P(

X

=

3)

=

P(

A

A

A

)

=

(1

-

p)3

；pX01pp(1-p)2

3(1-p)2p (1-p)3注意：(X

=0,(X

=1,(X

=2(X

=3)为S的一个划分例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经

过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。解：设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3且A1,A2,A3相互独立。3例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为p，0<p<1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到X只产品，试写出X的概率分布律。1

2k

-1

kP(

X

=

k

)

=

P(

A

A

AA

)

=

(1-

p)k

-1

p,

k

=1,

2,解：设Ai={第i次抽到正品}，i=1,2,…则A1,A2,…相互独立。4亦称X为服从参数p的几何分布。三个主要的离散型随机变量0－1(p)分布二项分布Xp0q1p样本空间中只有两个样本点即每次试验结果互不影响在相同条件下重复进行(p+q=1)A,

A5*

n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果：p(A)=p,0<p<1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。例：1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：如果是不放回抽样呢？只有两个结果：A,A,正面，反面，P

(出现正面=1

2P

(A

=1

6P

(A

=1

262.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则每次只有两个结果：A,A,设A在n重贝努利试验中发生X次，则kn并称X服从参数

二项分布，记p

(1-为p的P(

X

=

k

)

=

Ck

p)n-k

，k

=

0，1，

，nX

b(n，p)1

2

3P(

X

=

0)

=

P(

A

A A

)

=

(1-

p)31

2

3P(

X

=

3)

=

P(

A

A A

)

=

p3P(

X

=1)

=

P(

A

A

A

AA

A

A

A A

)

=

C1

p1

(1-

p)3-11

2

3

1

2

3

1

2

3

3P(

X

=

2)

=

P(

AA

A

A

A

A

A

A A

)

=

C

2

p

2

(1-

p)3-21

2

3

1

2

3

1

2

3

3n一般

P(

X

=

k

)

=

Ck

pk

(1-

p)n-k

,

k

=

0,1,

2,,

n其中q=1-pnn注：1

=

(

p

+

q)

=nC p

qk

k n-kk

=0推导：设Ai={第i次A发生}，先设n=37例：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。89解：按第一种方法。以X

记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。以Ai

(i

=1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能及时维修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为：P

(A1

¨

A2

¨

A3

¨

A4

‡

P

(A1

=

P{X

‡

2}而X

~

b

20,0.01,故有：{

}{

}1k

=0P

X‡

2

=1-P

X=

k(

)(

)

(

)1k20k

=0=1-Ck

20-k0.01

0.99

=

0.0169即有：P

(A1

¨

A2

¨

A3

¨

A4‡

0.0169{

}(

)(

)

(

)按第二种方法。以Y

记80台中同一时刻发生故障的台数，此时,Y

~

b

(80,0.01),故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：380kCk

80-kP Y

‡

4

=1-0.01

0.99

=

0.0087k

=0例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；

(2)求恰好遇到2次红灯的概率。Y

b(3,

p)33(1

P(Y

=

k

)

=

Ck

pk

(1-

p)3-k

,

k

=

0,1,

2,

3(2P(Y

=

2)

=

C

2

p2

(1-

p)解：这是三重贝努利试验10例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0<p<1，设命中X次，(1)求X的概率分布律；(2)求至少有一次命中的概率。

X

b(n,

p)(1

P(

X

=

k

)

=

Ck

pk

(1-

p)n-k

，k

=

0,1, ,

n(2nP(

X

‡1)

=1-

P(

X

=

0)

=1-

(1-

p)nlim

P(

X

‡

1)

=

1n

fi

¥解：这是n重贝努利试验11同时可知：上式的意义为：若p较小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验，从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p．求这批产品能被接受的概率L(p)．解：设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数；L(P)=P(A)P(

A

|1

£

X

£

2)=

P(Y

=

0)L(P)

=

P(

X

=

0)

P(

A

|

X

=

0)

+P(1

£

X

£

2)

P(

A

|1

£

X

£

2)+P(

X

>

2)

P(

A

|

X

>

2)12=

(1-

p)10

+[10

p(1-

p)9

+

45

p2

(1-

p)8

]

(1-

p)5且{X=i}与{Y=j}独立。A={接受该批}。=P(Y

=0

|1

£

X

£

2)则X～b(10,p)，Y～b(5,p)，13泊松分布(Poisson分布)若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为λ的泊松分布，记

X

~

p

(l),

l

>

0k

!e-llkP(

X

=

k

)

=

，k

=

0,1,

2,k

!e-

4.5

4.5kP(

X

=

k

)

=

，k

=

0,1,

2,(1

P(

X

‡

2)

=1-

P(

X

=

0)

-

P(

X

=1)

=1-e-

4.5

(1+

4.5)

=

0.9389(2)

P(

X

=

2

|

X

‡

2)

=

P(

X

=

2)

=

0.1198P(

X

‡

2)例：设某汽车停靠站候车人数X

p

(l)，l

=4.5

(1)求至少有两人候车的概率；

(2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。解：§3随机变量的分布函数F

(x)的几何意义：xX随机变量X

,

对实变量x,

P(

X

£

x)

应为x的函数定义：随机变量X

,对任意实数x,称函数F

(x)=P(X

£

x)为X的概率分布函数，简称分布函数。有时记做X~F，X服从分布F。这里我们限定讨论值域为实数的随机变量15F

(x)的性质：0

£

F

(x)

£1F

(x)单调不减，且F

(-¥

)=0，F

(+¥

)=1 0

£

P(x1

<

X

£

x2

)

=

F

(x2

)

-

F

(x1

)例：F

(x)

=

P{X

£

x}=

q10

x

<

00

£

x

<1x

‡1Xp0

1q

p求X的概率分布函数F

(x

及P

(X

‡1

的值。解：P(

X

‡1)

=

p比较

P

(

X

‡

1)

=

p

与

当x

‡

1时，F

(

x)

=

1011qx16F

(x§4连续型随机变量及其概率密度非负的函数f

(x),定义：

对于随机变量X的分布函数

F

(x),

若存在有：xf

(t)dt¥F

(x)

=使对于任意实数x,17则称X为连续型随机变量，其中f

(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。有时用X~f表示X是服从概率密度f的随机变量。18与物理学中的质量线密度的定义相类似P

(

x

<

X £

x

+

x)

»

f

(

x)

x

xfi

0

xfi

0f

(x)

=

F

'(x)

=

lim

F

(x

+x)

-

F

(x)

=

lim

P(x

<

X

£

x

+x)x

x2)f

(x)的性质：1)

f

(x)

‡

0+¥-¥f

(x)dx

=1P{x1

<

X

£

x2}=1x2xf

(t)

dt

P(X

=

a)

=

03)对于任意的实数x1，x2

(x2

>x1)4)

在f(x)连续点x，F

'(x)=f

(x)即在f

(x)的连续点f

(x)表示X

落在点x附近的概率的多少y

=

f

(x)x1

x2面积为1P{x1

<

X

£

x2

}19思考题：f的这些性质，显然使得关于相应的随机变量X，相应的概率空间(S,F,P)满足概率论的公理。（自行验证）。20例：设X的概率密度为(1)求常数c的值；(2)

写出X的概率分布函数；解：3(3)要使P(X

<k

)=2

，求k的值。f

(x)

=

2

90c

0

<

x

<13

<

x

<

6其他(

)1

1

=+¥-¥(2

F

(

x)

=

P

{X

£

x}3(3

)

使

P

(

X

<

k

)

=

2

=

F

(k

)

k

=

4.5160f

(t)dt

=

c dt

+329dt23+

c

c

==1300331

11

10x

1

dt1

£

x

£

3x

2dt

3

<

x

<

69x

‡

631dt

+x

£

00

<

x

<

1=

0

3

dt0

x

3x

£

00

<

x

<

11

£

x

£

33

<

x

<

6x

‡

6=

1

3(2

x

-

3)

/

91几个重要的连续量均匀分布称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X～U(a,b)设a

£

c

<c

+l

£

b

P(c

<

X

<

c

+

l)

=c+l1

dt

=

l

----与c无关b

-

a b

-

ac0x

£

a

x

-

aF

(x)

=

b

-

a1a

<

x

<

bx

‡

b

1

定义：X具有概率密度f

(x)=b

-ax

˛

(a,

b)0其他f

x0bxa

1

b-aF

(x0bxa121例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并求

P(

X

>

0)

的值；若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数大于0的概率。1

,-1

<

x

<

20,

其他解：X在区间(-1,2)上均匀分布

f

(x)=33P(

X

>

0)

=

2

,2Y

b(10,

)32228

2

13

3

P(Y

=

2)

=

C

210

设10个数中有Y个数大于0，则：23指数分布其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记为x

>

0x

£

0le-lx定义：设X的概率密度为f

(x)=0X

EP(l)1

-

e-lxF

(x)

=

0x

>

0x

£

00

0P

(

X

>

t

+

t

|

X>

t

)

=

P

(

X

>

t0

+

t

)P

(

X

>

t

)0=

P

(

X

>

t

)=

1

-

F

(t

0

+t

)

=

e

-

lt1

-

F

(t

0

)X具有如下的无记忆性：例：某大型设备在任何长度为t的区间内发生故障的次数N

(t服从参数为lt

的Poisson分布，记设备无故障运行的时间为T求T的概率分布函数；已知设备无故障运行10个小时，求再无故障运行

8个小时的概率。解：(1)P{N

(t

)=k}=e-lt

(lt

)k

/k

!,k

=0,1,2,FT

(t

=

P{T

£

t}=1-

P{T

>

t}当t

£

0

时，FT

(t

=

024T当t

>

0

时，F

(t

=1-

P{N

(t

=

0}=1-

e-lt(2)

P{T

‡18

|

T

>10}=

P{T

>18}

=

e-8l

=

P{T

>

8}P{T

>10}正态分布定义：设X的概率密度为12s

2(x-m)2f

(x)

=-e

，-¥

<

x

<

+¥2ps其中m,s

2

为常数，称X服从参数为m,s

2

的正态分布(Gauss分布)，记为

X

N

(m,s

2

)f

(x)dx

=1+¥-¥可以验算：+¥f

(x)dx-¥t2+¥

--¥记

I

=

e

2

dt2t

2

s

1

2ps令t

=x-ms===+¥-e

dt

=-¥t2e

2

dt

1

2p+¥--¥2(

x

2

+

y2

)-

I

2

=

edxdy

=202p0r2re

drdq+¥

-f

(x)dx

=125+¥-¥

I

=

2p

称μ为位置参数(决定对称轴位置)

σ为尺度参数(决定曲线分散性)maxX

~N

(m,s

2

)12f

(x)关于x

=m对称1f

=

f

(m)

=2ps3lim f

(x)

=

0x-m

fi

¥0f

(xmm1xs

=5s

=5ms

=0.5f

xxs

=1.0s

=1.50.7980.3990.266026X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。当固定μ时，σ越大，曲线的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，∴σ是反映X的取值分散性的一个指标。在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。2728当

X

~

N

(m,s

2

)

时

P(a

<

X

<

b)

=记Z

~

N

(0，1)，称Z服从标准正态分布s

sP(a

<

X

<

b)

=

f(b

-

m

)

-f(

a

-

m

)x

-

ms作变换：Z的概率密度：j

(x)=x2e

212p-212p-t

e

2

dtx-¥Z的分布函数：f(x)=f

(x

+f

(-x

=11bae

dx2s

22ps(

x-m

)2-2

1

t22pe

dtsb-ma-m

s=

t

P(a

<

X

<

b)

=

-y

=j

(

x)f(

x)f(-x)0yxx-x29例：X

~

N

(m,s

2

)P(

X

-

m

<

s

)

=

P(m

-s

<

X

<

m

+s

)=

f(1)

-f(-1)

=

2f(1)

-1

=

0.6826P(

X

-

m

<

2s

)

=

2f(2)

-1

=

0.9544P(

X

-

m

<

3s

)

=

2f(3)

-1

=

0.9974查书后附表68.26%95.44%99.74%m

-

3s

m

-

2sm

-sm

+

2s

m

+

3sm

+

s例：一批钢材(线材)长度X

(cm)~

N

(m,s

2

)(1)若μ=100，σ=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率；(2)若μ=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问σ至多取何值？2解：(1)

P(

X

<

97.8)

=

f(97.8

-100)

=1-f(1.1)查附表===

1-

0.8643

=

0.1357(2)令：P{97

<X

<103}‡90%3(3

s3

ss97

-100)

-f()

=

2f(

)

-1

‡

90%即f

103

-100

f( )

‡

0.95s

s

£1.8237s30

‡1.645例：设某地区男子身高31(1)

从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于

175cm的概率；(2)

若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？解：X

(cm)~

N

(169.7,

4.12

)(1)

P(

X

>175)(

)4.1=1-f

175

-169.7=1-f(1.293)查表==1-

0.9015

=

0.0985(2)设5人中有Y人身高大于175cm，则Y

~

b(5,p),其中p=0.0985P(Y

‡1)

=1-

P(Y

=

0)

=1-

(1-

p)5

=

0.40455P(Y

=1)

=

C1

p1

(1-

p)4=

0.3253作业：1、设实随机变量X~f，f是概率密度。式证明概率论可数可加公理，即2、教科书P51-4-（1）；3、教科书P41-3；4、练习册P145-一-2；5、练习册P145-四；6、练习册P145-2（提示：查阅标准正太分布表）；7、P147-五；3233§5随机变量的函数问题：已知随机变量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若

X

N

(

m

,

s

2

)，piX -1

010.2

0.5

0.3P(Y

=

0)P(Y

=1)=

P(

X

=

0)

=

0.5=

P{(

X

=1)

(

X

=

-1)}

=

P(

X

=1)

+

P(

X

=

-1)

=

0.5则Y服从什么分布？例：已知X具有概率分布且设Y=X2，求Y的概率分布。解：Y的所有可能取值为0,1即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；

(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)其他34

x

,0

<

x

<

4X例：设随机变量X具有概率密度f

(x)

=

80,

其他{

}{

}{2YF

(

y)

=

P Y

£

y

=

P

X

£

y

=

P

-y

<

X

<

y}求Y=X2的概率密度。解：分别记X,Y的分布函数为FX

(x

)，FY

(y

)当y

£

0时，F

Y

(y)=0;当y

‡16时，FY

(y)=1当0

<y

<16

时,y0,

1y

1=

, 0

<

y

<168

16=

2xa

d

dx

d

dxf

(t)dt

=

f

(x)u

(

x)f

(t)dt

=

f

(u(x))u

'(x)af

(x)连续时，YF

(

y)

=

P{0

<

X

<XyXf

(t)dt-¥y}

=

F

(

y

)

=1f

X

(

y

),0

<

y

<160,

其他Yy

f

(

y)

=

2Y在区间(0,16)上均匀分布。35一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的概率分布的过程为：若Y为离散量，则先写出Y的可能取值：y1

,y2

,

y

j

,,再找出(Y

=y

j

)的等价事件(X

˛

D),得P(Y

=yi

)=P(X

˛

D);若Y为连续量，则先写出Y的概率分布函数：FY

(y)=P(Y

£

y)，找出(Y

£

y

)的等价事件(X

˛

D),得FY

(y)=P(X

˛

D)；再求出Y的概率密度函数fY

(y)；关键是找出等价事件。36例：设13-110Xp1313Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。解：Y的可能取值为-2,0,2Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)…(Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1)231Z

0p

13130

2Y

-2p1313故得：37例：设X的概率密度为f

(x)，x

<

¥

，Y

=

X

2，求Y的概率密度fY

(

y)解：设Y的概率分布函数为FY

(y)Y当

y

>

0时，F

(

y)

=

P(Y

£

y)

=

P(

X

2

£

y)

=f

(t)dty-

y0f

(t)dty

-

y=

0

f

(t)dt

-YY1,

y

>

02

y[

f

(

y

)

+

f

(-

y

)]

f

(

y)

=

F

'(

y)

=

0

,y

£

038定理：设X

f

X

(x),

-¥

<

x

<

+¥

，g

'(x)

>

0

(或g

'(x)

<

0)。Y

=g(X

)，则Y具有概率密度为：XYf

(

y)

=

f

(h(

y))

h

'(

y)

,

a

<

y

<

b0,

其他其中a

=min(g

(-¥

),g

(+¥

))，b

=max(g

(-¥

),g

(+¥

))，h(

y

)

=

x y

=

g

(

x)证明：不妨设g

'(x)>0,且：h

'(y)>0h

'(

y)xh(y),y0y=g(x)yy则g

(x

为单调增函数,当y

£

a

时，FY

(y)=P(Y

£

y)=P(g(X

)£

y)=P(X

£-¥

)=0；当y

‡b

时，FY

(y)=1；当a

<y

<b

时，FY

(y)=P(Y

£

y)=P(g(X

)£

y)h(

y

)f

X

(t)dt-¥=

P(

X

£

h(

y))

=

fY

(

y)

=

f

X

(h(

y))h

'(

y)

=

f

X

(h(

y))同理可证：当g

'(x)<0

时，定理为真39XYf

(

y)

=推论：设X

f

X

(x),

{x f

(x)

>0} (a,

b),当a

<x

<b时g

'(x)>0(或g

'(x)<0)。Y

=g(X

)，则Y具有概率密度为：

f

(h(

y))

h

'(

y),

a

<

y

<

b0,

其他其中a

=min(g(a),g(b))，b

=max(g(a),g(b))，h(

y)

=

x y

=

g(x)40例：2设X

~

N

(m,s

)，Y

=Yf

(

y)X

-

m，求Y的概率密度y

=

g(x)

=x

-

ms，

g

'(x)

=s

1

s1

x

,0

<

x

<

40,

其他Y。Y

=

X

3，求

f

(

y)-

1y

3

, 0

<

y

<

64

10,

其他Yf

(

y

)=

24一般若X

~

N

(m,s

2

)，Y

=

aX

+

b

Y

~

N

(am

+

b,

a2s

2

)