时间序列中的模型

时间序列中的模型1第一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三一、ARIMA模型的基本内涵一、ARMA模型的概念自回归移动平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,简记为ARMA模型），由因变量对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值回归得到。包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）。第二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的概念一.移动平均过程1.移动平均（MA）过程的表示：其中u为常数项，为白噪音过程引入滞后算子L，原式可以写成:

或者

第三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的概念2.MA（q）过程的特征1.2.3.自协方差①当k>q时＝0②当k<q时对于任意的，MA(q)是平稳的。

第四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的概念二.自回归（AR）过程1.自回归（AR）过程表示为：

其中为为白噪音过程引入滞后算子，则原式可写成

其中第五页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的概念2.AR(p)过程平稳的条件如果特征方程：的根全部落在单位圆之外，则该AR(p)过程是平稳的

第六页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的概念3.AR(p)过程的特征

=0，的无条件期望是相等的，若设为u，则得到:第七页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的概念……将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程的方差及各级协方差。第八页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的概念三.自回归移动平均（ARMA）过程1.ARMA过程的形式其中为白噪音过程。若引入滞后算子，可以写成其中第九页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的概念2.ARMA过程平稳性的条件ARMA过程的平稳性取决于它的自回归部分。当满足条件：

特征方程的根全部落在单位圆以外时，ARMA(p,q)是一个平稳过程。第十页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的概念3.ARMA(p,q)过程的特征1）2）ARMA(p,q)过程的方差和协方差第十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的概念四.AR、MA过程的相互转化结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞)过程，可采用递归迭代法完成转化结论二：特征方程根都落在单位圆外的MA(q)过程具有可逆性平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的，所不同的是，前者是对AR过程而言的，而后者是对MA过程而言的。第十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三二、Box-Jenkins方法论建立回归模型时，应遵循节俭性(parsimony)的原则博克斯和詹金斯(BoxandJenkins)提出了在节俭性原则下建立ARMA模型的系统方法论,即Box-Jenkins方法论第十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三Box-Jenkins方法论Box-Jenkins方法论的步骤：步骤1：模型识别步骤2：模型估计步骤3：模型的诊断检验步骤4：模型预测第十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三三、ARMA模型的识别、估计、诊断、预测(一).ARMA模型的识别1.识别ARMA模型的两个工具：自相关函数(autocorrelationfunction,简记为ACF）；偏自相关函数(partialautocorrelationfunction,简记为PACF)以及它们各自的相关图（即ACF、PACF相对于滞后长度描图）。第十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的识别2.自相关函数和偏自相关函数的概念①自相关函数过程的第j阶自相关系数即，自相关函数记为ACF(j)。②偏自相关函数偏自相关系数

度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数记为PACF(j)第十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的识别③自相关函数和偏自相关函数的联系2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复杂，这里不再给出。第十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的识别2.MA、AR、ARMA过程自相关函数及偏自相关函数的特点⑴MA(q)过程的自相关函数

1≤j≤q

j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程的一个特征如下图：第十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的识别

MA（2）过程第十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的识别⑵AR(p)过程的偏自相关函数

时，偏自相关函数的取值不为0时，偏自相关函数的取值为0AR(p)过程的偏自相关函数p阶截尾如下图：第二十页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的识别第二十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的识别第二十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的识别⑶AR(p)过程的自相关函数以及MA(q)过程的偏自相关函数平稳的AR(P)过程可以转化为一个MA(∞）过程，则AR(P)过程的自相关函数是拖尾的一个可逆的MA(q)过程可转化为一个AR(∞）过程，因此其偏自相关函数是拖尾的。第二十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的识别⑷ARMA(p,q)过程的自相关函数和偏自相关函数ARMA过程的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的如下图：第二十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的识别第二十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的识别3.利用自相关函数、偏自相关函数对ARMA模型进行识别⑴通过ADF检验，来判断序列过程的平稳性；⑵利用自相关函数、偏自相关函数以及它们的图形来确定p,q的值。第二十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期三（二）ARMA模型的估计

ARMA模型的估计方法：矩估计极大似然估计非线性估计最小二乘估计第二十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期三（三）ARMA模型的诊断一.诊断的含义二.诊断的方法三.检验统计量

Box和Pierce提出的Q统计量

Ljung和Box(1978)提出的LB统计量。第二十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARIMA模型的诊断1.Q统计量

，近似服从（大样本中）分布其中n为样本容量，m为滞后长度2.LB统计量，服从分布，其中n为样本容量，m为滞后长度。3.LB统计量的特点第二十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的诊断四.信息准则(informationcriteria)

Akaike信息准则Schwarz信息准则Hannan-Quinn信息准则其中为残差平方，是所有估计参数的个数，T为样本容量。第三十页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的预测一.基于AR模型的预测以平稳的AR(2)过程为例：其中为零均值白噪音过程

……第三十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的预测在t时刻，预测的值：

=在t时刻，预测的值：

同理：…结论第三十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的预测二.基于MA过程的预测过程结论：

MA(2)过程仅有2期的记忆力第三十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三ARMA模型的预测三.基于ARMA过程的预测结合对AR过程和MA过程进行预测ARMA模型一般用于短期预测第三十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三五、实例：ARMA模型在金融数据中的应用数据：

1991年1月到2005年1月的我国货币供应量（广义货币M2）的月度时间序列数据目的：

说明在Eviews5.0软件中利用B-J方法论建立合适的