因式分解常用方法目前最牛教案

主要介绍了提取公因式法、运用法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学基础上，对因式分解的方法、（1）(a+b)(a-b)=a2- (a±b)2=a2±2ab+b2———(a+b)(a2-ab+b2) (a-b)(a2+ab+b2)=a3- 例.已知a，b，c是ABC的三边，且a2b2c2abbcca，则ABC的形状是（） B等腰三角形C等边三角形D等腰直角a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc(ab)2(bc)2(ca)20ab1amanbm 解：原式(amanbm=a(mn)b(m=(mn)(a22ax10ay5by解：原式(2ax10ay)(5bybx)=2a(x5y)b(x5=(x5y)(2a

原式=(2axbx)(10ay5by)=x(2ab)5y(2a=(2ab)(x51、a2abac

2xyxy3x2y2ax解：原式(x2y2ax=(xy)(xy)a(x=(xy)(xy4a22abb2c解：原式(a22abb2=(ab)2c2=(abc)(ab练习：分解因式3、x2x9y2 4、x2y2z22（1x3（3）x26xy9y216a28a

（2）ax2bx2bxaxa（4）a26ab12b9b2（5）a42a3a2x22xyxzyzy（9）y(y2)(m1)(m

（6）4a2x4a2yb2xb2a22ab22b2ab（10）(ac)(ac)b(b（11）a2(bc)b2(ac)c2(ab)（12）a3b3c3直接利用——x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。特点（1）1；例.已知0a≤5，且a为整数，若2x23xa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求b24ac>0于是98aa5x25xx25x6x223)x2=(x2)(x6x27x解：原式x216)]x

- -（-1）+（-6）=-5(3)x24x

x214x

a215a练习6、分解因式(3)x210x

x2x

y22y（二）1ax2bx（1）c

ba1c2ax2bxc(axc)(ax

ba1c2) 73x211x - -（-6）+（-5）=-3x211x10(x2)(3x（1）

（2）3x27x（310x217x （4）6y211y8a28ab分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利 -8b+(-16b)=-a28ab128b2a2[8b16b)]a8b=(a8b)(a8(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3)a2ab例9、2x27xy6y 例10、x2y23xy1-xy12-1 (-1)+(-2)=-解：原式=(x2y)(2x 解：原式=(xy1)(xy（115x2 （2）a2x26ax10（18x67x31（3）(xy)23(xy)

（212x211xy15y（4）(ab)24a4b（5）x2y25x2y6x2 （6）m24mn4n23m6n（7）x24xy4y22x4y3（8）5(ab)223(a2b2)10(a（9）4x24xy6x3yy210（10）12(xy)211(x2y2)2(xabcx2a2b2c2x．例如分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3上式．xyx即x原式=［x+(2y-3)］［2x+(-=(x+2y-3)(2x-dx．1解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-原式=(x+y+1)(x-原式=(y+1)(x+y-原式=(2x-3y+z)(3x+y-(4)7.1、因式分解(x23x4)(x2x6 (x23x4)(x2x6)24=(x1)(x4)(x2)(x3)=(x1)(x2)(x3)(x4)24(x2x2)(x2x12)设yx2x=

，则x2x12y

y(y10)24y210y24(y4)(y6)(x2x24)(x2x2=(x2x6)(x2x8)(x2)(x3)(x2x7.2、因式分解(xy2xy)(xy2xyxymxyn(xy2xy)(xy2)(xy1)2=(m2n)(m2)(n=m22mnn22m2n1(mn)22(mn)1=(mn1)2(xyxy1)2(x1)(1y)2(x1)2(y13、分解因式（1）2005x2200521)x（2）(x1)(x2)(x3)(x6)（1）=(2005x1)(x（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两原式(x27x6)(x25x6x25x6Ax27x6A∴原式A2xAx2=A22Axx=(Ax)2=(x26x13、分解因式（1）(x2xyy224xy(x2y2（2）(x23x2)(4x28x3)（3）(a21)2(a25)24(a214、分解因式（1）2x4x36x2xx22x2x611x22(x21x1 x x x1tx2 x

t2∴原式x2t22t6x22t2t2 2

=x2t

t2=

2x

5x

2 =x·2x 2=2x5x

2x =(x1)2(2x1)(x（2）x44x3x24x解：原式x2x24x14

1)=x2x2

1

1

x2

xx

x1yx2 x

y2∴原式x2y24y3x2y1y=x2(x11)(x13)=x2x1x23x 14（1）6x47x336x27x（2）x42x3x212(xx2可以把多项式拆成若分，再用进行因式分解6.1bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)6.2.1a2b24a2b34+（-a2b24a2b a2b24a2b41(a24a4)(b22b=(a2)2(b1)2(ab1)(ab

x36x211x解析：根据多项式的特点,把6x22x24x2；把11x拆成8xx36x211x6(x32x24x28x3x=x2(x2)4x(x2)3(x2)(x2)(x24x3)(x1)(x2)(x6.3x44yx44y4中添上4x2y24x2y2x44y4(x44x2y24y44x2y2(x22y22=(x22xy2y2)(x22xy2y2

x33x2解析：根据多项式的特点，将3x2拆成4x2x2，再添上x33x24=x34x24xx24x=x(x24x4)(x24x4)(x24x4)(x=(x1)(x15、分解因式（1）x33x2 原式=x313x2 原式=x33x24x4x=(x1)(x2x1)3(x1)(x=(x1)(x2x13x=(x1)(x24x=(x1)(x

=x(x23x4)(4x=x(x1)(x4)4(x=(x1)(x24x=(x1)(x（2）x9x6x3解：原式(x91x61x3=(x31)(x6x31)(x31)(x31)(x3=(x31)(x6x31x3=(x1)(x2x1)(x62x3（1）x39x（3）x47x2（5）x4y4(x

（2）(x1)4(x21)2(x（4）x4x22ax1a（6）2a2b22a2c22b2c2a4b4c 例5、分解因式x2+6x-40(市中考题)解x2+6x-40=x2+6x+9-9-40=(x+3)2-(7)11x4–x3-5x2-6x-解：设x4–x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bda+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以解得x4–x3-5x2-6x-4x2+x+1)(x2-2x-16x2xy6y2x13y3x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y，则原多项式必定可分为(x3ym)(x2yn)x2xy6y2x13y6(x3ym)(x2y∵(x3ym)(x2yn)=x2xy6y2(mn)x(3n2m)y∴x2xy6y2x13y6=x2xy6y2(mn)x(3n2m)ymn m对比左右两边相同项的系数可得3n2m13，解得nmn ∴原式(x3y2)(x2y17（1）当mx2y2mx5y6能分解因式，（2）x3ax2bx8x1x2，求ab分析：前两项可以分解为(xyxy)，故此多项式分解的形式必为(xyaxyb)x2y2mx5y6(xyaxyx2y2mx5y6x2y2ab)xbayabaab

abm

a或bm∴当m1当m1时，原式(xy2)(xy3；当m1时，原式(xy2)(xy3)x3ax2bx8是一个三次式，所以它应该分成三个一xc的一次二项式。x3ax2bx8(x1)(x2)(xx3ax2bx8x3(3c)x223c)xa3∴b22c∴ab

a解得b14c17（1）x23xy10y2x9y（2）x23xy2y25x7yx22xy3y26x14yp能分解成两个一次p并且分解因式。k为何值时，x22xyky23x5y2能分解成两个y=0,x1,x2y=(x-x1)(x- axn+axn-1+…+ax+a f(x)f(a)=0，af(x)f(a)=0f(x)x-a．a0=1f(x)an的约数．2分解因式：x3-4x2+6x-这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4-4：±1，±2，±4，只x-2．1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．2用多项式除法，将原式除以(x-说明一定是-4-43分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-9±1，±3，±9；-2解9x4-3x3+7x2-3x-2=(3x+1)(3x-f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)f(x)就可以分解为(x-a)g(x)g(x)是例8、分解因式x2-13x+12(市中考题)解：x2-13x+12=0通过求根可知，y=0根为x2-13x+12=(x-12)(x-9.1a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-=(b-c)[a2-9.2x43x3x2y2x2yx43x3x2y2x22xy=(x22x)y(x43x32x2=x(x2)yx2(x2)(x1)x(x2)(x2x9.3a2bab2a2cac2b2cbc2解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以aa2bab2a2cac2b2cbc2=a2(bc)a(b22bcc2)bc(b=a2(bc)a(bc)2bc(b=(bc)[a2a(bc)bc](bc)(a2abac=(bc)[a(ab)c(ab)](ab)(ac)(b10还原成x，即得因式分解式。10x3+9x2x=2，x3x=2+23x+15=（x+1（x+3（x+5）11x4–x3-5x2-6x-解：设x4–x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bda+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以解得x4–x3-5x2-6x-4x2+x+1)(x2-2x-12.1mn(x2y2xy(m2n2mn(x2y2)xy(m2n2)=mnx2mny2xym2=12.2、因式分解(mxny)2nx(mxny)2nx=m2x22mnxyn2y2n2x22mnxym2y=(m2x2n2x2)(m2y2n2y2)x2(m2n2)y2(m2n2=(m2n2)(x2y21】一个nf(x1，x2xn母的位置后，代数式不变，即对于任意的i，j（1ijn那么，就称这个代数式为nx

例如，x ，x

z，xyyzzx如果nn元对称多项式。1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，f(x，y，zax3ay3，az3项；若有bx2y项，则必有bx2zby2z，by2x，bz2x，bz2y项，这些项叫做x，y，z的二次对称多项式的般形式是：a(x2y2z2)b(xyyzzx)c(xyz)2】如果一个nr，那么称这个多项式为nr次齐次多项式。2nf(x1，x2xnr次齐次多项式，当且仅当对任意实数t有f(tx，txtxtrf(x，xx a(x3y3z3b(x2yx2zy2xy2zz2xz2ycxyz【3】一个nf(x1，x2xn，如果交换任意两个字i，j1ijn有那么就称这个代数式为nxy(x 均是交代式x【定义4】如果一个n交代数式f(x1，x2xn)即那么称这个代数式为n显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，a(x2y2z2b(x2yy2zz2xn【5】下面n个对称多项式称为nn1(x1，x2，，xn)nn2(x1，x2，，xn)1i

n n x1x xii1i1i2ikii xyz，xyyz当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n元对称多项式都可

f(x，y，zxyz（为什么f(x，y，zx，yppf(x，y，zx最大（小，但不xyz（为什么？）f(x，y，zx，ypp（5）若f(x，y，z)是交代多项式，则xy，yz，zxf(x，y，zg(x，y，z)f(x，y，z)(xy)(yz)(zg(x，y，z)a(xy)，a(x2y2a(x3y3bxy(xa(xyz)a(x2y2z2b(xyyza(x3y3z3bx2yzy2zxz2xy)mxnyrz是否为多项式

f(x,yz)，的因式的方法是：令mxnyrz

，计算f(x，y，z)，如果f(x，y，z)=0，那么mxnyrz就是f(x，y，z)的因式，在实际操作时，可首先考虑2f(x，y，zx3y3z33xyz3f(x，y，z2(x2y2y2z2z2x2(x4y4z44f(x，y，zxyz)5x5y55f(xyx4y4xy)4(y2z2)(1xy)(1xz)(z2x2)(1yz)(1yx)(x2y2)(1zx)(1fx，y，zxyyzzxxyzxyz2（

f(x，y)(x2xyy2)24xy(x2y2

（ f(x，y，z)(xyz)4x4y4z4(yz)4(zx)4(x（3）f(x，y，z)(xy)3yz3zf(x，y，z)xyyzzxxyzf(x，y，z)x4yzy4zxz4xf(x，y，z)xyz3x3y3解答：1）可设

k(x2Axyy2)(x2Bxyy2

，可求得

kxyz(xyzk

k(xyyz)(zxk

k(xyyz)(zx)k

(xy)(yz)(zx)A(x2y2z2)B(xyyzzx)AB（6）3(xy)(yz)(z 2分解因式：m3- 分解因式：x2-4y2= 4、分解因式：x24x4 5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值 6、

xy5xy ，则

x2y 2x22y2= 7、多项式15m3n25m2n20m2n3的公因式是 A、 B、 C、 D、8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是 Aa3a3a2A

a2b2abaBm22m3mm23Ba24a5aa4

mC D 下列多项式能分解因式的是 (A)x2- (D)x2-把（x－y）2－（y－x）分解因式为（A（x－y（x－y－1） C（y－x（y－x－1） 下列各个分解因式中正确的是（B（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a（xyD（a－2b（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b（11b－2a）若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为 14、nx

15、4m29n16、mmnnn

17、a32a2b x242 189(mn)216(mn)2

1920、如图，在一块边长a=6.67cm长b=3.33cm3.14Ddx21x1xDdx41x21x1xx81x41x21x1xx161x81x41x21x1x 结果相同因式，应写成幂的形式1.分解因式x5x4x3x2x1x5x4x3x2x1提取公因式后，再进一步分解；也可把x5x4x3x2x1解一：原式x5x4x3(x2xx3(x2x1)(x2x(x31)(x2x(x1)(x2x1)(x2x(x5x4(x3x2(xx4(x1)x2(x1)(x(x1)(x4x(x1)[(x42x21)x2(x1)(x2x1)(x2x1.分解因式x33x2解一：将3x2拆成2x2x2x32x2(x2x2(x2)(x2)(x(x2)(x2x(x1)(x2)解二：将常数4拆成13 x3( (x例：求证：多项式(x24)(x210x21)100数(x24)(x210x21)(x2)(x2)(x3)(x7)(x2)(x7)(x2)(x3)(x25x14)(x25x6)设yx25x(y14)(y6)无论取何值都有(y4(x24)(x210x21)例(a2bc)3ab3bc)分析：本题若直接用法分解，过程很复杂，观察a+b，b+ca+2b+cAB3A3A33A2B3AB2B3A33A2B3AB(A3(ab)(bc)(a2b1.在ABCa,b,ca216b2c26ab10bcaca26ab9b2c210bc25b2即(a3b2c5b20(a8bc)(a2bc)aba8bc，即a8bc于是有a2bc即ac2.x12，则x31 x3

1(x1)(x211 (x1)[(x1)22 2说明：利用x2

x122xx(7x)(3x)(4x2100解：(7x)(3x)(4x2(x7)(x2)(x3)(x2)(x25x14)(x25x6)[(x25x)8(x25x)(x25x4)2(7

x)(4x2)100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分将a2(a1)2(a2a2a12a2aa2a22a1(a2a)2(a2a)1(a2a)(a2a1)6272422(3661)2 x（3）x22xy3y23x5y（4）x37x28cm，x,y使x3x2yxy2y30，求矩n35n6（n已知：a、b、 是非零实数，a2b2c21，a(11)b(

a+b+c 已知：a、b、ca2b2c2和4a2b2的一、填空（30分）1、若x22(m3)x16是完全平方式，则m的值等 2、x2xm(xn)2则m n 3、2x3y2与12x6y的公因式是4、若xm

=(xy2)(xy2)(x2y4

，则 5、在多项式3y25y315y5中，可以用平方差分解因式 6、若x22(m3)x16是完全平方式，则 7、x2 )x2(x2)(x 8、已知1xx2x2004x20050,则x2006 9、若16(ab)2M25是完全平方式 10、x26x (x3)2，x2 9(x11、若9x2ky2是完全平方式，则 12、若x24x4的值为0，则3x212x5的值 13、若x2ax15(x1)(x15)则a 14、若xy4,x2y26则xy 15、方程x24x0，的解是 二、选择题（10分）1、多项式a(ax)(xb)ab(ax)(bx)的公因式是 A、－a、B、a(axx

C、a(a

D、a(x2、若mx2kx9(2x3)2，则m，k的值分别是 3x2y2x2y2x2y2x)2y)2x4y4中式分解因式的有 A、1个，B、2个，C、3个，D、44

1)(1

1)(1

1)(1

)的值是 B、1,C.1,D. 三、分解因式（30分1x42x335x2、3x63x3、25(x2y)24(2y4x24xy14y5x56x317、ax2bx2bxaxb8x418x29、9x436y10、(x1)(x2)(x3)(x4)1、已知2xy1xy23

2x4y3x3y42x、y互为相反数，且(x2)2y1)24x、y3、已知ab2，求(a2b228(a2b2 4 1 1（2） 2 2（3）2562856222（81、对于任意自然数n，(n7)2(n5)2都能24整除1D=11.9d=3.7厘米，求光盘的面21296丁：这个多项式分解因式时要用到（4分一 选择1代数式 12

1a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式 ab C、 D、3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，结果是 D、4、