常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案

习题1.2dy1．=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。dxdy解：=2xdx两边积分有：ln|y|=x2+cyy=ex2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1特解为y=ex2.2.y2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。dyy21x1解：y2dx=-(x+1)dydy=-dx1两边积分:-=-ln|x+1|+ln|c|y=y1ln|c(x1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e1ln|c(x1)|特解：y=dy1y23．=dxxyx3ydy1y2原方程为：=yxx3dx1解：1y21xx3dy=dxy两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx24.(1+x)ydx+(1-y)xdy=01y原方程为：dy=-x1解：dxyx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5．（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dyxy=-dxxyydydu令=u则=u+x代入有：xdxdxu1u211du=dxx-ln(u2+1)x2=c-2arctgu即ln(y2+x2)=c-2arctgy.x2dydx6.x-y+x2y2=0dyy|x|y解：原方程为：=+-1()2dxxxxy则令=uxdydxdu=u+xdx11du=sgnxdxx1u2yarcsin=sgnxln|x|+cx7.tgydx-ctgxdy=0dydx解:原方程为：=tgyctgx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|1csiny==ccosxcosx另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.dye8+dxy23x=0ydye解：原方程为：=e3xy2dxy2e3x-3ey2=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0dyyy解：原方程为：=lndxxxydy令=u,则=u+xdudxxdxdudxu+x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|y1+ln=cy.xdy10.=exydxdy为：=exeydx解：原方程ey=cex=(x+y)2dydx11dydu=dxdx解：令x+y=u,则-1du-1=u2dx11u2du=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+cdy12.=1dx(xy)2dydu-1dxdx解：令x+y=u,则=dudx1-1=u2u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.dy2xy113.=x2y1dx解:原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y2-y)-dx2+x=cxy-y2+y-x2-x=cdyxy514:=xy2dx解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=011dxy-d(y2+2y)-d(x2+5x)=022y+4y+x+10x-2xy=c.22dy15:=(x+1)dx2+(4y+1)2+8xy1dy解：原方程为：=（x+4y）2+3dxdy1du1令x+4y=u则=-dx4dx41du1-=u+324dx4du=4u+132dx3u=tg(6x+c)-122tg(6x+c)=(x+4y+1).3xdy16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：ydx1）y(1+xy)dx=xdy22xdy2xy222）=ydx2-x2y2dyxy=u,则x+y=dxdudx证明：令dy1duu则=-，有：dxxdxx2xdu=f(u)+1udx1u(f(u)1)1du=dxx所以原方程可化为变量分离方程。dy1duu1）令xy=u则=-(1)dxxdxx2dyy原方程可化为：=[1+（xy）](2)2dxx1duuu=(1+u)2xdxx2x将1代入2式有：-u22+cxu=17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x-x)+y则与x轴，y轴交点分别为：yx=x-0y=y-xy’y'000y则x=2x=x-0所以xy=cy'0018.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中=。4y11解：由题意得：y’=dy=dxxyxln|y|=ln|xc|y=cx.=则y=tgx所以c=1y=x.419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx则：y=kx2+c即为所求。常微分方程习题2.1dy2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.1.dx解：对原式进行变量分离得1xe把x0,y1代入得dy2xdx,两边同时积分得：lny2c,即ycx2yex2。c1,故它的特解为yy2dx(x1)dy0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.2.解：对原式进行变量分离得：1x1dxdy,当y0时，两边同时积分得；lnx11c,即y11clnx1yy2当y0时显然也是原方程的解。当x0,y1时，代入式子得c1,故特解是1y1ln1x。y12dydx3xyx3y解：原式可化为：dy1y211y2y1•显然0,故分离变量得1dyy2x3dxxdxyyx3x两边积分得1ln12lnx1ln12lnc(c0),(1y即yxx22)(1)cx2xx222y故原方程的解为（12）(1)c25:(yx)dy(yx)dx0dyyx,令yu,yux,dyuxdxyxxdx则uxduu1dudx解：u1,变量分离，得：du1dx1dxu1u2x两边积分得：arctgu1ln(12)lnxc。u2dy2y2x6：xydx解：令yu,yux,dyuxdu,则原方程化为：dxxdxxu(12)2,分离变量得：1dusgnx•dx1dudxx1ux2两边积分得：arcsinusgnx•lnxc代回原来变量，得arcsinysgnx•lnxcxyx另外，22也是方程的解。7：tgydxctgxdy0解：变量分离，得：ctgydytgxdx两边积分得：lnsinylncosxc.8:dyey23xdxy解：变量分离，得ydy1e3xc3ey29:x(lnxlny)dyydx0解：方程可变为：lny•dydx0yxx令uy,则有：1dx1lnudlnulnuxx代回原变量得：cy1lny。xdye10：xydxeexdx解：变量分离ydyee两边积分yxc4：(1x)ydx(1y)xdy0解：由y0或x0是方程的解，当xy0时，变量分离1xdx1ydy0xy两边积分lnxxlnyyc,即lnxyxyc,故原方程的解为lnxyxyc;y0;x0.dyexydxeexdxdy解：变量分离，yee两边积分得：xcy()11.dydxxy2解：令xyt,则dydt1dxdxdt1原方程可变为：1tdx21变量分离得：dtdx,两边积分arctgtxct12代回变量得：arctg(xy)xcdydx1(xy)212．解令xyt，则dydt1，原方程可变为dt11dxdxdxt2t2变量分离dtdx，两边积分tarctgtxc，代回变量t21xyarctg(xy)xcdy2xy113.dxx2y1解：方程组2xy10,x2y10;的解为x,y1133dY2XY'dXX2Y令xX13,yY1,则有322U2U2令YU，则方程可化为：XdUXdX12U变量分离dyxy514,dxxy2dy解：令xy5t,则1dt,dxdx原方程化为：1dttdxt7,变量分离(t7)dt7dx1t两边积分27t7xc2(xy5)7(xy5)7xc.2代回变量12dy(x1)2(4y1)28xy115．dxdy解：方程化为x22x116y28y18xy1(x4y1)22dx令1x4yu，则关于x求导得14dydu，所以1duu29，dxdx4dx4分离变量1dudx，两边积分得arctg(22x8y)6xc，是4u93332原方程的解。dydx2xy5x2y2y62x216．dy(y3)22x23[(y3)22x2]，，令yu，则原方程化为解：dy3dx3(2dxy2xyx2xyx23323u262x221xdu3u26xdx2xux2，这是齐次方程，令uuxz，则zxdz，所以dudxdx3z262z1dzz2z6，...........(1)zxdz，，xdxdx2z1当z2z60，得z3或z2是（1）方程的解。即y33x或y32x是方程的解。当z2z60时，变量分离2z1dzdx，两边积分的（z3)7(z2)3x5c,1zzdx2即（y33x)7(y32x)3x5c，又因为y33x或y32x包含在通解中当c0时。故原方程的解为(y33x)7(y32x)3x15cdy2x33xyx17.32dxxyyy23dyx(2x23y21);;;;;dy22x23y21dx23x22y21du2v3u1解：原方程化为dxy(3x22y21)令,;;;;;xv;;;;;;;则yu.......1()22dv3v2u12v3u10的解为（1，1）；令Zv1，，Yu1，方程组3210vu23y2z3y0，，，，从而方程（1）化为dyz则有3z2y032yzdzt，，则有dytzdt，，所以tz，，zydt23tdt22t2，...........(2)令zdzdzdz32tdz32t当22t20时，，即t1，是方程(2)的解。得y2x22或y2x2是原方程的解当22t0时，，分离变量得32t22t2dt1dz两边积分的y2x2(y2x22)5c2z另外y2x22，或y2x2，包含在其通解中，故原方程的解为y2x2(y2x22)5cxdyf(xy)xyuydx1.y(1x2y2)dxxdy18.(2).xdy2xyy2222ydx2xdudydydu证明：因为xyu,关于x求导导得yx,所以xydxdxdxdx得：1du1f(u),ydxdudxy(f(u)1)x(f(u)1)x1(uf(u)u)u故此方程为此方程为变程。yx22xdy解(1):当x0或y0是原方程的解，当xy0s时，方程化为1ydxdu1udu1dx令xyu,则方程化为(2u),变量分离得：3udxx2ux3yu22xx2两边同时积分得：c,即c,y0也包含在此通解中。24uyx2222y2x故原方程的解为原c,x0.2yx222du12u(u(2)xyu2u22u)1x24uu2dxx2u2du1dxln2c4yx2y4uxxx19.已知f(x)f(x)dt1,x0,试求函数f(x)的一般表达式.01解：设f(x)=y,则原方程化为f(x)dt1两边求导得y2yy'xy01;;;;;;;;;;;;两边积分得xc11;;;;;所以y1y3dy;;;;;;;;;;dxdxy3dy2y22xc1代入f(x)dt1x把y2xcy01dt2xc;;;;;;;;;;(2xcc)2xc得c0,所以y12xx2tc0x(t)x(s)20.求具有性质x(t+s)=1x(t)x(s)的函数x(t),已知x’(0)存在。x(0)x(0)1x(0)1x(0)x(0)2x(0)若x(0)0得x2=-1矛盾。解：令t=s=0x(0)==x(tt)x(t)tx(t)(1x2(t))limt[1x(t)x(t)x'(0)(1x2(t))所以x(0)=0.x’(t)=limdx(t)x'(0)(1x(t))dx(t)1x2(t)x'(0)dt两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以2dtx(t)=tg[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t]习题2.2求下列方程的解dy1．=ysinxdx(sinxedxdxc)dx解：y=e1=ex[-ex(sinxcosx)+c]21=cex-(sinxcosx)是原方程的解。2dxdt2．+3x=e2tdx原方程可化为：=-3x+e2t解：dt(e2te3dtdtc)3dt所以：x=e1=e3t(e5t+c)51=ce3t+e2t是原方程的解。5ds13．=-scost+sin2tdt23dt1(sin2tedtc)costdt解：s=e2sintcostesintdtc)=esint(sint(sintesintesintc)=e=cesintsint1是原方程的解。dyxyexxn，n为常数.4．dxndyx解：原方程可化为：yexxndxnnxnyedx(exxnedxdxc)xxn(exc)是原方程的解.dy12xy=05．+dxx21dy12xy1解：原方程可化为：=-dxx212x2x1yedx(ex2dxdxc)x2(lnx21)(elnx2xdxc)1e21=x2(1cex)是原方程的解.dyx4x36．dxxy2dyx4x3解：dxxy2xy3=+yx2ydyxdudx令u则=uyuxxdxdu因此：=xxdxu2du1dxu2u2dudx1u3xc3u33xxc（*）y将u带入（*）中得：y3xcx3是原方程的解.34xdy2y(x1)37.dxx1dy2y(x1)3解：dxx12P(x)x1,Q(x)(x1)32P(x)dxedx(x1)2x1e方程的通解为：y=eP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc)1(x1)2=(x+1)(2*(x+1)dx+c)3=(x+1)(2(x+1)dx+c)=(x+1)2((x1)2c)2即：2y=c(x+1)2+(x+1)为方程的通解。4dydxxy3y8.=dxx+y13解：xy2dyyy则P(y)=1,Q(y)y2y1eP(y)dyeydyy方程的通解为：x=eeP(y)dy(P(y)dyQ(y)dyc)1=y(*y2dyc)yy3=cy2y3即x=+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。29.dyayx1,a为常数dxxxdy10.xyx3dxx1解：P（x)a,Q(x)xx解：dy1yx3dxaxdxxaP(x)dxexeP(x)1x方程的通解为：y=eP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc),Q(x)x31x+1=xa(dx+c)P(x)dx11exdxxexax当a0时，方程的通解为方程的通解为：y=x+ln/x/+cy=eP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc)当a1时，方程的通解为y=cx+xln/x/-1当a0，1时，方程的通解为x11=(x*x3dxc)xxc3=y=cx+-4ax1a-axc3方程的通解为：y=4xdy11.xyx3y3dxdy解：xyx3y3dx两边除以y3dyxy2x3y3dxdy-22(xy2x3)dx令y2zdz2(xzx3)dxP(x)2x,Q(x)2x3epxdxe2xdxex2方程的通解为：z=epxdx(epxdxQ(x)dxc)=ex2(ex2(2x3)dxc)=x2cex21故方程的通解为：y2(x2cex21)1,且y0也是方程的解。clnx12412.(ylnx2)ydxxdyx24dylnxy22y解：dxxx两边除以y2dylnx2y1y2dxxxdy1lnx2y1dxxx令yz1dz2zlnxdxxx2lnxP(x),Q(x)xx方程的通解为：zeP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxc)1(lnx)dxc))dxc)x2(xlnxx22ze(e(dxdxxxx2cx24lnx124方程的通解为:y(cx24lnx1)1,且y=0也是解。24132xydy(2y2x)dxdy2y2xy1x2ydx2xy这是n=-1时的伯努利方程。1两边同除以，ydyy12ydxx2令y2zdz2ydydxdxdz2y22z11xdxx2P(x)=Q(x)=-1x由一阶线性方程的求解公式22zedx(edxdxc)xx=xx2cy2xx2cdyey3x14dxx2dy(ey)23xey两边同乘以eeyydxx2令eyzdzeydydxdxdzz23xz3zz2这是n=2时的伯努利方程。xx2dxx21dz31令z2dxxzx2z1T两边同除以z2dT1dzdT3T1dxz2dxdxxx23P（x）=Q(x)=x1x2由一阶线性方程的求解公式133Tedx(edxdxc)xxx21=x3(x2c)2=12x1cx3z(1x1cx3)12ey(1x1cx3)121x2eyceyx321x2x3eyc2dydxxyx3y3115dxyxy3x3dy这是n=3时的伯努利方程。1dxyy3x3dyx2两边同除以x3dz2x3dydxdy令xz2dz2y3=2yz2y3P(y)=-2yQ(y)=2y32ydyx2由一阶线性方程的求解公式ze2ydy(2y3e2ydydyc)=ey2(2y3ey2dyc)=y1cey22x2(y21cey2)1x2ey2(y21cey2)ey2ey2(1x2x2y2)cx216y=ex+xy(t)dt0dyexy(x)dxdyyexdxP(x)=1Q(x)=ex由一阶线性方程的求解公式ye1dx(exe1dxdxc)=ex(exexdxc)=ex(xc)ex(xc)exxex(xc)dx0c=1y=ex(xc)17设函数(t)于∞<t<∞上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)'试求此函数。(0)1令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=(0)2故(0)0或(t)0即（1）当(0)0时(t)(t0)(t)(0)t(∞,∞)(tt)(t)t(t)(t)(t)t(t)lim=lim(2)当(0)1时't0t0(t)((t)1)t=lim(t0)(0)t=lim(t)t0t0=(0)(t)'dd于是(0)(t)变量分离得(0)dt积分ce'(0)t''dt由于(0)1，即t=0时1=1ce0c=1故(t)e'(0)t20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若yy(x)是（其中c为任意常数.yy(x)是（的通解可表为ycy(x)y(x)，2.3）的非零解，而2.28）的解，则方程（2.28）（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.dyP(x)yQ(x)（2.28）证明：dxdydxP(x)y（2.3）（1）设y，y是（2.28）2的任意两个解1dy1P(x)yQ(x)（1）1则dxdy2P(x)yQ(x)（2）2dx（1）-（2）得dyyP(x)(yy)1dx212即yyy是满足方程（2.3）12所以，命题成立。（2）由题意得：dy(x)P(x)y（3）dxdy(x)P(x)y(x)Q(x)（4）dxycyy是（1）先证2.28）的一个解。于是c34得cdydycP(x)yP(x)yQ(x)dxdxd(cyy)P(x)(cyy)Q(x)dx故ycyy是（2.28）的一个解。4）的任一解都可写成cyy的形式2）现证方程（设y是(2.28)的一个解1dy则P(x)yQ(x)（4’）11dx于是（4’）-（4）得d(yy)P(x)(yy)1dx1从而yyceP(x)dxcy1即yycy1所以，命题成立。（3）设y，y是（42.3）的任意两个解3dy3P(x)y（5）3则dxdy4P(x)y（6）dx4cdy于是（5）c得3cP(x)y3dxd(cy)即cP(x)(cy)其中为任意常数33dxycy满足方程（2.3）3也就是（5）（6）得dydy4P(x)yP(x)y3dxdx34d(yy)P(x)(yy)即3dx434yyy满足方程（也就是32.3）4所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设p(x,y)为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为Yyy'(Xx)从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(xy,0),(0,yxy')y'y即横截距为x，y'纵截距为yxy'。由题意得：（5）yxy'x2方程变形为dyxyx2dxdy1yxdxx1(1)dx于是yedx((x)edxc)xxelnx((x)elnxdxc)x((x)x1dxc)1x((x)dxc)xx(xc)xcx2所以，方程的通解为yxcx。2xy（6）yxy'2方程变形为dyyxdx22xdy1y1dx2x21(1)dx2x1于是yedx(()edxc)2x2111lnxdxc)2e2lnx(()e2121x2(()x1dxc)2x2((1x2)dxc)11211x(xc)2212xcx1yxcx2。所以，方程的通解为22．求解下列方程。（1）(x21)y'xy0xy1y1x21解：'yx12x21ex1xyedxc)dx(x21x21111=/x21/2[dxc]x211/x21/2dx1=/x21/2[c]3/x21/2=c/1x2/x（2）y'sinxcosxysin3x0dysin2xydxsinxcosxcosx1sin2xQ(x)=cosxP(x)=sinxcosx由一阶线性方程的求解公式yesinxcosxesin2x11sinxcosxdxdxc)dx(cosxsinx(sinxdxc)==cosxsinx(cosxc)cosx=tgxcsinx习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1.(x2y)dx(x2y)dy0M解：yNx1，=1.MN则yx所以此方程是恰当方程。凑微分，x2dx2ydy(ydxxdy)01得：xxyyC323yxdx(4yx)dy02．(3)2MNx解：y1，1.MN则yx.所以此方程为恰当方程。凑微分，ydxxdy3x2dx4ydy0得xxyyC232y]dx[11x223．[]dy0(xy)2xy(xy)2M2y(xy)22y2(xy)(1)2xy解：y(xy)(xy)34N2x(xy)22x2(xy)2xyxMN(xy)(xy)34则.xy因此此方程是恰当方程。u1（1）x(xy)2xy2u1x2（2）yy(xy)2y12x的积分，则udxdx(y)对（1）做(xy)2xy2lnx(y)（3）=xyu(1)y2(xy)2yd(y)对（3）做y的积分，则y(xy)dy22xyyd(y)(xy)22==dy1x2y(xy)2则d(y)1dyxy22xy1x22xyy122(xy)21y(xy)2y(xy)2y1(y)(1)dylnyyyyyy2xyy2yxylnxxy2ulnxlnyylnxyxxyyxylnCxxy故此方程的通解为2)4、2(3xy2xdx3(2x2yy)dy032MyN12xy解：12xy，.xMNyx.则此方程为恰当方程。6xydx4x3dx6x2ydy3y2dy0凑微分，23d(x2y2)d(x4)d(x3)0x3得：xyyC342215.(sin-xyy1cos+1)dx+(cos-yxx1sin+)dy=0yy2yyx2xxxy21解：M=sin-xyy1cos+1N=cos-yxx1sin+yy2yyx2xxxy2My1xxx1yyyx=-sin-cos-cos+siny2yyyx2xx33N1xxx1yycos+sinyx=-sin-ycos-xyy3xxyx232MN所以，=，故原方程为恰当方程yx1xy因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0y1yxx1yyxxxxyyy222xyd(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=01yxyyx1所以，d(sin-cos+x-)=0xyyyx1故所求的解为sin-cos+x-=Cxyy求下列方程的解：6．2x(yex2-1)dx+ex2dy=0MyNx解：=2xex2,=2xex2MN所以，y=x，故原方程为恰当方程又2xyex2dx-2xdx+ex2dy=0所以，d(yex2-x2)=0故所求的解为ye-x2=Cx27.(ex+3y2)dx+2xydy=0解：exdx+3y2dx+2xydy=0exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0所以，dex(x2-2x+2)+d(x3y2)=0即d[ex(x2-2x+2)+x3y2]=0故方程的解为e(x2-2x+2)+x3y2=Cx8.2xydx+(x2+1)dy=0解：2xydx+x2dy+dy=0d(x2y)+dy=0即d(x2y+y)=0故方程的解为xy+y=C29、ydxxdyxydx22两边同除以xy2得ydxxdydxxy解：222x即，darctgdxyx故方程的通解为argtgxcy10、ydxxydy03ydxxdyydy可化为：y解：方程2x即，dydyyx1故方程的通解为：yc即：2xyyc22y2同时，y=0也是方程的解。y1xydxxdy011、可化为：ydxxdy1xydx解：方程dxydxy1xydx即：dx1xy故方程的通解为：ln1xyxcyxdxxdy012、2ydxxdydx可化为：x解：方程2yddxxyxcxy故方程的通解为：cx即：xxydxxdy0213、MN解：这里Mx2y,Nx，yxMNyx11有积分因子edxx方程xxNxxydxx2dy0是恰当方程两边乘以得：方程2故方程的通解为：x2xydxxxxydxdyc2222yx3x3yc3x3x2yc即：3xxy14、cossincosxydxxxydy0cossin,cos解：这里MxxyxyNxxyyxMNcossinxyxxy因为故方程的通解为：yxcosxysinxydxdyc即：xcosxysinxydxxcosxyxsinxyc15、ycosxxsinxdxyxxxdyosincosMNyx解：这里Mycosxxsinx,NysinxxcosxMNyx1方程有积分因子：edyey两边乘以得：M方程coseyxxxdxeysinxxxdy0为恰当方程sincosyycossincossin故通解为：eyyxxxdxNeyxxxdxdycyy1eycosxc即：esinxyy16、4xydx2xdyy3ydx5xdy03解：两边同乘以x2y得：4x3y2dx2x4ydy3x2y5dx5x3ydy0dxydxy04235xyxyc故方程的通解为：423517、试导出方程M(X,Y)dxN(X,Y)dy0具有形为(xy)和(xy)的积分因子的充要条件。解：若方程具有(xy)为积分因子，yx(M)(N)（(xy)是连续可导）MyxxMyNNMyNxMN(yx)(1)令zxyd，.dzdxdzxdzydzddNMMN()，)，dzdzxydNMxy(MN)(dzNMdxyMN，dz(xy)dzNMxyMN方程有积分因子(xy)的充要条件是：是的函数，xy此时，积分因子为(xy)e(z)dz.(2)令zxydzdyxdzxdzydzydz，dxdzdNyd(NMxyMx)dzdz(MxNy)d(dz)xyNMNMdxyMxNyNMxMxNyydz(xy)e此时的积分因子为fy18.设f(x,y)及连续,试证方程(,)dyfxydx0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.dy,则有P(x)yQ(x),若该方程为线性方程dx证:必要性(x)e此方程有积分因子,(x)只与x有关.P(x)dx充分性若该方程有只与x有关的积分因子(x).xdy(x)f(x,y)dx0为恰当方程,则()dxy(x)((x)f(x,y))d(x)f从而,,y(x)f(x)dyQ(x)(x)yQ(x)P(x)yQ(x).(x)(x)(x)P(x)(x)dy(P(x)yQ(x))dx0其中.于是方程可化为即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0fyyxy(fg)x(fg)xyfxyx2y2(fg)2gyuyfyfyyxy(fg)ufy则=uf+uy+yf=+-yfyfgyfgyxy(fg)2gxygfxyxyyx(fg)2yfxyy==gffxygxy(fg)2=gy(fg)xyfxxygxx2y2(fg)2xxuxgxgug而=ug+uxx+xgx=xy(fg)+-xgxy(fg)xfxgyxxyxgfxygfxyxfxygxy==xy(fg)2(fg)2uyfuxg故=，所以u是方程得一个积分因子yxMN=yx21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子u=exp(f(x)dx+g(y)dy)证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(uM)(uN)MuNu即证u+M=u+NyxyyxxMNuuMNf(x)dxg(y)dyyu(yxu(-)=N-Mx-)=Nef(x)yxMNf(x)dxg(y)dy-)=ef(x)dxg(y)dy(Nf(x)-Mg(y))x-Meg(y)u(y由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.dy伯努利方程为：PxyQxyn,yo;dx解：已知两边同乘以yn，令zyn，dz1nPxz1nQx,线性方程有积分因子：dxenPxdxen11Pxdx，故原方程的积分因子为：ePxdx，证毕！nPxdxen1123、设x,y是方程,可微函数MxydxNxydy0的积分因子，,Ux,y，从而求得~dU使得MdxNdy.试证也是方程x,yMx,ydxNx,ydy0的积分因子的充要条件是~x,yU,其中t是t的可微函数。uM~yMMuMuyyyu，则~证明：若yMuMuNuNuNuM~NxNxx又M~MNuMuyy~即为,MxydxNxydy0的一个积分因子。,24、设x,y,x,y是方程常数，求证c2MxydxNxydy0的两个积分因子，且,,12121（任意常数）是方程MxydxNxydy0的通解。,,证明：因为,是方程MxydxNxydy0的积分因子,,12i1,2为恰当方程所以MdxNdyoiiMMNi，i1,2即Niixyyx下面只需证1的全微分沿方程恒为零2事实上：xdx2dydx121dyxyy211d222NyNy1dxMdx2dxMdx22xx2212xy1M2MdxNNN21xy2122dxNNMM0Nyxyx121222c时，即当c是方程的解。证毕！1122习题2.4求解下列方程1、xy1y3dy11yp，则x1tt3t2，解：令3dxttt1c32dtc3t22tc，22从而ypdxcdtt3txtt23于是求得方程参数形式得通解为.3yt22tc22、y3x31y0t31t2tdy1yptx，则txx1tx0，即x解：令，33dxt从而ypdxctt2dt21c1ttt121tdtc3t221tt4dtct22t51t2c，152t1xt2t于是求得方程参数形式得通解为.yt51t2c2152t3、yy2eydyyp，则yp2ep，解：令dx从而x1dpec2pp12pep2epdpcpp2epedpc=pp1pec，px1pecp于是求得方程参数形式的通解为,yy2ep另外，y=0也是方程的解.2a,为常数4、y1ya2dydx2a2a2acos2，ytg，则y1tg2sec2解：令从而x1dycpda2cosc12tg1cos24acos2dc4ac2a2sin2c，xa2sin2c于是求得方程参数形式的通解为.y2acos25、x2y21dy解：令ypcost，则x1cos2tsint，dx从而ycossintdtccos2tdtc1cos2tdtc211sin2tc，t24xsint于是求得方程参数形式的通解为.11ytsin2tc246、y2y12y21解：令2yyt，则1yyt1，得，ytt2dtt1t2t21t21dtdy所以dxdyy2ytt1t1dt21dt，1t22ttt11从而xdtcc，tt21xct于是求得方程参数形式的通解为，1ytt1y因此方程的通解为xc.xc习题2.52．ydxxdyx2ydy解：两边同除以x2，得：ydxxdyydyx2dy1y2cx2y1即y2cx2dy4．yxxydx解：两边同除以x，得yxdydxyx1y令uxdydudx则uxdxdydudxu即uxdx1u1得到c1lny2，2uxyc1即lny22y也是方程的解。另外06．1xyydxxdy0解：ydxxdyxydx0ydxxdyxdxy21xx2c2得到dyx1即x2cy2y也是方程的解。另外0dyyy2dxxx38.y解：令uxdydu1则：uxdxuu2dxxdu1u2即xdxxdudx得到ux2211c故ux1c1即yxx2y也是方程的解。另外0dydy10．xdx21dxdy解：令pdx1p2x即pdydxp故两边积分得到而y1p2lnpc21p2，y1p2lnpc。2因此原方程的解为xp1xexdy12.eydxdy解：1xexydxxyu令dydu1则dxdxdydu1xeu1dxdxdu即xdxeue1x2c2u故方程的解为exy12x2cdyxy1dx14．解：令xy1u则1dydudxdxdydu1u那么dxdxduu1dx求得：uxcln1故方程的解为xyxcln1或可写为xy1cexdy16．x112eydx解：令eyu则ylnu1dux12u1udx1u2u1du1x1dx2u1u1cx1`即方程的解为eyxy2xc18．4x2y2dx2xydy013解：将方程变形后得dy4x2y2dx2x3y1dx2x3y1x1dy4xy2y4x2y222dxx13同除以x2得：x2dy2y4y2dz3z3令zx3则dy2y4y2323y2cy2z3即原方程的解为x3y2cy322dy19.X()22y()4x0dxdydxdyx()24xdxdy2()dxdy解：方程可化为2y()x()24x,ydxdydx令dyp,则yxp24xxp2x,两边对x求导得ppxdp22xdp22dxppdxdx2p2p2(p2)(),()dx(x2x)dp0,(p34p)dx(xp24x)dp0x2xdpp22p2p2dx2p2p2p(p24)dxx(p24)dp0p24或pdxxdp0,当p24时y2x,当pdxxdp0时,xx24x24xpx,ycc2,2ycc2x24.c22xc2c20.y21(dy)21dx1sindcos2解：令dypsin,则y21(sin）1，ycos,dx1dydysinsincos2d2dxpxdcos2csec2dctgc所以方程的解为y2（xc)21,另外由p0得y1也是解。21.(1ey)dxey(1x)dy0xxy解：令xz则xyz,dxzydz方程为(1ez)dx(z1)ezdy,ydydydx(z1)e1ezdyzezzze1ezzezzydz,1ezdz1ezdyzezdyyzzzlnzezlny,y(zez)c,y(xey)c所以方程的解为xyeycxxyy23x22.2xdx2dy0yy43解：2xydx(y23x2)dy0MN2xy2xyMy2x,Nx6x,yx8x4所以方程有积分因子ey4ydyy43x2y4)dy0,d2d0所以方程的解为x21c即x2y2cy3x12xy3dx(y2yyyy3323.ydx(1xy2)dy0ydxxdy1y2x1y2解：ydxxdy(1y2)dy,两边同除以y2得dy,ddyyy2yy22所以方程的解为x1yc即（x1)y(yc),另外y0也是解。yy24.yx(x2y2)xdy0解：方程可化为ydxxdyx2y2xxx2xdx,darctgxdx所以方程的解为arctgc.yy225.dyedxx0dydx解：令dypt,xtet由dypdx得yt(1et)dtct2ettetcdx225.dyedxx0dydx解：令dypt则xtet由dypdx得yt(1et)dtct2ettetcdx2所以方程的解为：xtet，yt(1et)dtct2ettetc2y326（.2xyx2y)dx(x2y2)dy03MNM解：2xx2y2,N2x,yx1所以方程有积分因子ex方程两边同乘ex得yxxy22d3exx2ydexy30所以方程的解为：3exx2yexy3cdy2x3y4dx4x6y527.duu423dy23dx2u5解：令u2x3y，，则dxdu7u22dx2u52u5dudx，7u22，19114u7=dx，2227229ln2x3y7314(3yx)c两边积分得2即为方程的通解。222x3y0也是方程的解。77u220，即另外，dy28.xy2x2y(yx2)2dx解：两边同除以可化为：x，方程dyydxx2xy(yx2)2y令u，则xdu