2021-2022学年河南省开封市第十七中学高三数学文联考试题含解析

2021-2022学年河南省开封市第十七中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量满足,则的最大值为(

)A.20

B.35

C.45

D.55参考答案：D2.已知集合，，则A.

B.

C.

D.或参考答案：B【考点】集合的运算，一元二次不等式。解析：集合B＝{x|1＜x＜3}，所以，，故选B。3.若对所有正数x、y，不等式都成立，则a的最大值是

（

）

A．1

B．

C．2

D．4参考答案：D4.函数的最小值为A.1

B.2

C.

D.4参考答案：C【考点】基本不等式，指数函数的性质。解析：因为＞0，所以，有，当且仅当，即时取得最小值。选C。5.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．A．14 B．12 C．8 D．10参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【分析】设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，∴=381，解得a1=192，∴a5=a1×（）4=192×=12，故选：B．【点评】本题考查顶层有几盏灯的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6.设全集U={x∈N|x＜8}，集合A={2，0，1，6}，B={2，0，1，7}，C={2，0，1，5}，则?U（（A∩C）∪B）=（）A．{2，0，1，7} B．{0，6，7，8} C．{2，3，4，5} D．{3，4，5，6}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】用列举法写出全集U，根据交集、并集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={x∈N|x＜8}={0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，0，1，6}，B={2，0，1，7}，C={2，0，1，5}，A∩C={2，0，1}，（A∩C）∪B={2，0，1，7}，?U（（A∩C）∪B）={3，4，5，6}．故选：B．【点评】本题考查了集合的表示法与基本运算问题，是基础题．7.已知，为常数，且的最大值为2，则＝A．2

B．4

C．

D．参考答案：C当时，有，当且仅当时取等号。因为的最大值为2，所以，所以，选C.8.圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为A.

B.4

C.3

D.2参考答案：A9.集合A={x|ln（x－l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=

（

）

A．（2,3）

B．[2,3）

C．（2,3]

D．[2,3]参考答案：C10.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α=

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.求值：=

．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质lgM﹣lgN=lg以及lgMn=nlgM进行化简运算即可得到答案．【解答】解：=，∴=2．故答案为：2．12.已知集合，则实数a的取值范围是

．参考答案：13.已知斜率为的直线与抛物线交于位于轴上方的不同两点，记直线的斜率分别为，则的取值范围是

▲

．参考答案：14.如图，在平面直角坐标系中，点A为椭圆E：的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于

．参考答案：【知识点】椭圆的简单性质．H5答案

解析：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a，四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a

可设代入椭圆方程解得：

设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形，所以∠COD=30°

对C点：，解得：a=3b，根据：得：，

，故答案为：．【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a；设，从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用，求得a=3b，最后根据得出离心率．15.函数的最小正周期是______________参考答案：16.已知三棱锥O－ABC，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝，BC＝，AC＝，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________．参考答案：14π17.给出下列四个命题：①若函数在区间上为减函数，则②函数的定义域是③当且时，有④圆上任意一点关于直线的对称点M’也在该圆上。所有正确命题的题号为_____________.参考答案：答案：（1）（4）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）（2007?福建）已知函数f（x）=ex﹣kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N*）．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；不等式的证明．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，f′（x）＜0（2）f（|x|）是偶函数，只需研究f（x）＞0对任意x≥0成立即可，即当x≥0时f（x）min＞0（3）观察结论，要证F（1）F（2）…F（n）＞，即证[F（1）F（2）…F（n）]2＞（en+1+2）n，变形可得[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）]…[F（n）F（1）]＞（en+1+2）n，可证F（1）F（n）＞en+1+2，F（2）F（n﹣1）＞en+1+2，F（n）F（1）＞en+1+2．问题得以解决．解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f'（x）=ex﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=ex﹣k=0得x=lnk．①当k∈（0，1]时，f'（x）=ex﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，lnk）lnk（lnk，+∞）f′（x）﹣0+f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依题意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（﹣x）=ex+e﹣x，∴F（x1）F（x2）=，∴F（1）F（n）＞en+1+2，F（2）F（n﹣1）＞en+1+2，F（n）F（1）＞en+1+2．由此得，[F（1）F（2）F（n）]2=[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）][F（n）F（1）]＞（en+1+2）n故，n∈N*．【点评】：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．19.如图5，已知抛物线C:和圆M：，过抛物线C上一点H作两条直线与圆M相切于A,B两点，圆心M到抛物线准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值.

参考答案：(1)(2)解析：（1）∵点到抛物线准线的距离为，∴，即抛物线的方程为．（2）方法一：设，∵，∴，可得，直线的方程为，同理，直线的方程为，∴，，∴直线的方程为，令，可得，∵关于的函数在上单调递增，∴．方法二：设点，，．以为圆心，为半径的圆方程为，①⊙M方程为．②①②整理得直线的方程为：．当时，直线在轴上的截距，∵关于的函数在上单调递增，∴．

略20.已知函数f(x)=lnx.（1）证明：当x＞1时，；（2）若函数g(x)=f(x)+x-ax2有两个零点x1，x2（x1＜x2，a＞0），证明：.参考答案：解：（1）欲证证，，在上递增，（2），，取..，.，在上递减，，故，，令，易知在递减，，，，，，，，，，，，，要合题意，如图，，，右大于左，原题得证21.某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为第一组[0，20），第二组AA1⊥平面ABC，第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）若从第一组和第二组中利用分层抽样的方法抽取6家企业，试求在这6家企业中选2家，这2家企业年上缴税收在同一组的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率和为1，列方程求出x的值；（2）计算上缴税收不少于60万元的频率与频数即可；（3）根据第一组与第二组的企业家数比求出每组抽取的家数，用列举法计算基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125；（2）企业上缴税收不少于60万元的频率为0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144，∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠；（3）第一组与第二组的企业数之比为0.0125：0.025=1：2，用分层抽样法从中抽取6家，第一组抽取2家，记为A、B，第二组抽取4家，记为c、d、e、f；从这6家企业中抽取2家，基本事件数是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，其中两家企业在同一组的基本事件数是AB、cd、ce、cf、de、df、ef共7种，故所求的概率为P=．【点评】本题主要考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，也考查了分层抽样原理的应用