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文档简介
2021-2022学年福建省三明市济村中学高一数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC互相垂直,,M是线段BC上一动点,若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是()A.2π B.4π C.8π D.16π参考答案:B是线段上一动点,连接,∵互相垂直,∴就是直线与平面所成角,当最短时,即时直线与平面所成角的正切的最大.此时,,在直角△中,.三棱锥扩充为长方体,则长方体的对角线长为,∴三棱锥的外接球的半径为,∴三棱锥的外接球的表面积为.选B.
2.函数的定义域是()A.[2,3) B.(3,+∞) C.[2,3)∪(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞)参考答案:C【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由函数解析式列出关于不等式组,求出它的解集就是所求函数的定义域.【解答】解:要使函数有意义,则,解得x≥2且x≠3,∴函数的定义域是[2,3)∪(3,+∞).故选C.3.已知f(x)=,则f[f(1)]的值为()A.﹣1 B.0 C.1 D.2参考答案:A【考点】函数迭代;函数的值.【专题】计算题.【分析】由题意先求f(1)的值,然后再求f[f(1)]的值即可(注意看清要代入哪一段的解析式,避免出错).【解答】解:∵f(x)=,∴f(1)=f(1﹣2)=f(﹣1)=(﹣1)2﹣1=0;∴f[f(1)]=f(0)=﹣1.故选:A.【点评】本题考查函数值的求法,注意要由里致外逐次求解.解决分段函数的求值问题时,一定要先看自变量在哪个范围内,再代入对应的解析式,避免出错.4.已知sinθ+cosθ=,,则sinθ﹣cosθ的值为()A. B.﹣ C. D.﹣参考答案:B【考点】同角三角函数基本关系的运用.【专题】三角函数的求值.【分析】由题意可得可得1>cosθ>sinθ>0,2sinθcosθ=,再根据sinθ﹣cosθ=﹣,计算求得结果.【解答】解:由sinθ+cosθ=,,可得1>cosθ>sinθ>0,1+2sinθcosθ=,∴2sinθcosθ=.∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣,故选:B.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,正弦函数、余弦函数的定义域和值域,属于基础题.5.函数f(x)=x5+x3的图象关于()对称(). A.y轴 B.直线y=xC.坐标原点
D.直线y=-x参考答案:B略6.执行如图所示的程序框图,则输出s的值为()A. B. C. D.参考答案:D初始条件:,第1次判断0<8,是,第2次判断2<8,是,第3次判断4<8,是,第4次判断6<8,是,第5次判断8<8,否,输出;故选D.7.直线x+2y﹣3=0与直线2x+ay﹣1=0垂直,则a的值为()A.﹣1 B.4 C.1 D.﹣4参考答案:A【分析】由两直线垂直的条件,列出方程即可求解,得到答案.【详解】由题意,直线与直线垂直,则满足,解得,故选:A.【点睛】本题主要考查了两直线位置关系的应用,其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.8.如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()A. B. C. D.参考答案:D【考点】BA:茎叶图;CB:古典概型及其概率计算公式.【分析】根据茎叶图中的数据,求出甲乙两人的平均成绩,再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率,即可得到答案.【解答】解:由已知中的茎叶图得,甲的平均成绩为(88+89+90+91+92)=90;设污损的数字为x,则乙的平均成绩为(83+83+87+99+90+x)=88.4+,当x=9,甲的平均数<乙的平均数,即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为,当x=8,甲的平均数=乙的平均数,即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为,所以,甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=.故选:D.【点评】本题考查了平均数,茎叶图,古典概型概率计算公式的应用问题,是基础题目.9.如图,设a,b,c,d>0,且不等于1,y=ax,y=bx,y=cx,y=dx在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小顺序()A.a<b<c<d B.a<b<d<c C.b<a<d<c D.b<a<c<d参考答案:C【考点】指数函数的图象与性质.【分析】要比较a、b、c、d的大小,根据函数结构的特征,作直线x=1,与y=ax,y=bx,y=cx,y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d,观察图形即可得到结论.【解答】解:作辅助直线x=1,当x=1时,y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的函数值正好是底数a、b、c、d直线x=1与y=ax,y=bx,y=cx,y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d观察图形即可判定大小:b<a<d<c故选:C.【点评】本题主要考查了指数函数的图象与性质,同时考查了数形结合的数学思想,分析问题解决问题的能力,属于基础题.10.设是定义在上的一个函数,则函数在上一定是(
)A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数。参考答案:A
解析:二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.化简=
.参考答案:【考点】9B:向量加减混合运算及其几何意义.【分析】利用向量的减法运算即可得出.【解答】解:原式==.故答案为.12.点A(1,0)到直线的距离是
.参考答案:略13.已知y=(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是__________.参考答案:(1,2)14.对于函数,设,若存在,使得,则称互为“零点相邻函数”.若与互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是_________.参考答案:
15.在△ABC中,∠C是钝角,设则的大小关系是___________________________。参考答案:
解析: 16.已知幂函数的图象过点,则______________.参考答案:略17.给定集合与,则可由对应关系=_________(只须填写一个符合要求的解析式即可),确定一个以为定义域,为值域的函数.参考答案:,,等略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知二次函数的两个零点为0,1,且其图象的顶点恰好在函数的图象上.(1)求函数的解析式;(2)求函数当时的最大值和最小值。参考答案:(1)设,顶点坐标为 顶点在函数的图象上
得
(或写成
(或设,由,得且
,再利用顶点在函数的图象上得;或由抛物线两零点0,1知顶点横坐标为,又顶点在的图象上,得顶点纵坐标为-1,结合求解析式)(2)
且
(或不配方,直接由对称轴与区间及端点的关系判断最值)19.(12分)已知向量,,,.
(1)当时,求向量与的夹角;
(2)当时,求的最大值;
(3)设函数,将函数的图像向右平移s个长度单位,向上平移t个长
度单位后得到函数的图像,且,令,求的最小值.参考答案:(1),,
而
,即.
(2)
当,即,.
(3)
时,.20.如图,在四棱锥P-ABCD中,,侧面PAB⊥底面ABCD.(1)求证:平面PAB⊥平面PBC;(2)若,且二面角等于45°,求直线BD与平面PBC所成角的正弦值.参考答案:(1)证明见解析;(2).【分析】(1)由得,,由侧面底面得侧面,由面面垂直的判定即可证明;(2)由侧面,可得,得是二面角的平面角,,推得为等腰直角三角形,取的中点,连接可得,由平面平面,得平面,证明平面,得点到平面的距离等于点到平面的距离,,再利用求解即可【详解】(1)证明:由可得,因为侧面底面,交线为底面且则侧面,平面所以,平面平面;(2)由侧面可得,,则是二面角的平面角,由可得,为等腰直角三角形取的中点,连接可得因为平面平面,交线为平面且所以平面,点到平面的距离为.因为平面则平面所以点到平面的距离等于点到平面的距离,.设,则在中,;在中,设直线与平面所成角为即所以,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定,二面角及线面角的求解,考查空间想象能与运算求解能力,关键是线面平行的性质得到点D到面的距离,是中档题21.(14分)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:y=fn(x)在区间(,1)内单调递增;(2)在(1)的条件下,证明:fn(x)=0在区间(,1)内存在唯一实根;(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围.参考答案:考点: 函数恒成立问题;函数与方程的综合运用;利用导数研究函数的单调性.专题: 函数的性质及应用.分析: (1)设n≥2,b=1,c=﹣1,化简函数的表达式,利用函数的单调性直接证明y=fn(x)在区间(,1)内单调递增.(2)fn(x)=0在区间内存在唯一实根等价于fn(x)=0在区间内存在唯一零点,通过,以及函数在区间为增函数.即可得到结果.(3),对任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,等价于f2(x)在区间[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4,利用f2(x)的对称轴为,①当|b|>2时,②当0<b≤2时,③当﹣2≤b≤0时,分别求出最值之差,判断b的取值范围为[﹣2,2]即可.解答: (1)…(1分)设,…(2分)f(x2)﹣f(x1)=x2n+x2﹣1﹣(x1n+x1﹣1)=(x2n﹣x1n)+(x2﹣x1)…(3分)∵,且∴x2n﹣x1n>0,x2﹣x1>0,∴f(x2)﹣f(x1)>0,∴y=fn(x)在区间(,1)内单调递增
…(4分)(2)fn(x)=0在区间内存在唯一实根等价于fn(x)=0在区间内存在唯一零点
…(5分)∵,∴fn(x)在区间内有零点.…(6分)由(1)知n≥2时,在区间为增函数.…(7分)所以fn(x)在区间内存在唯一的零点;…(8分)(3)…(9分)所以对任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,等价于f2(x)在区间[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4,…(10分)∵f2(x)的对称轴为.①当,M=|f2(1)﹣f2(﹣1)|=2|b|>4,不合题意.…(11分)②当,恒成立;…(12分)③当,恒成立
…(13分)综上所得,b的取值范围为[﹣2,2]…(14分)点评: 本题考查函数的最值的几何意义,函数的恒成立,函数的单调性以及函数的零点,考查转化思想以及分析问题解决问题的能力.22.化简: (1). (2)+. 参考答案:【考点】三角函数的化简求值. 【专题】计算
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