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文档简介
2021-2022学年江苏省淮安市文通中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若且则函数的图象大致是()参考答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D3.双曲线C:的渐近线方程为,则C的离心率为(
) A. B. C. D.参考答案:B考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:双曲线C:的渐近线方程为y=±x,由题意可得,=,再由双曲线的a,b,c的关系和离心率公式,计算即可得到.解答: 解:双曲线C:的渐近线方程为y=±x,由题意可得,=,即有c==a,则e==.故选B.点评:本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法,属于基础题.4.对一位运动员的心脏跳动检测了8次,得到如下表所示的数据:上述数据的统计分析中,一部分计算见如下图所示的程序框图(其中是这8个数据的平均数),则输出的的值是
(
)A.43
B.56
C.7
D.8参考答案:C5.在中,点D在线段BC的延长线上,且,点O在线段CD上(与点C,D不重合)若则x的取值范围()
A.
B.
C.
D.参考答案:C略6.已知向量满足,则=()A.3 B. C.7 D.参考答案:B【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据向量的数量积公式以及向量的模的计算即可.【解答】解:∵向量满足,∴|+|2=||2+2?+||2=2+2?=1,∴2?=﹣1,∴|2+|2=4||2+4?+||2=4﹣2+1=3,∴|2+|=,故选:B7.函数,的定义域为
A.
B.
C.
D.参考答案:B8.若为等差数列,是其前项和,且,则的值为(
)A. B. C.
D.参考答案:B9.已知正方体的棱长为2,点分别是该正方体的棱的中点,现从该正方体中截去棱锥与棱锥,若正(主)视方向如图所示,则剩余部分的几何体的侧(左)视图为(
)参考答案:10.在空间直角坐标系中,已知,,,,若,,分别表示三棱锥在,,坐标平面上的正投影图形的
面积,则()(A)
(B)且(C)且
(D)且
参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数有三个不同的零点,则实数a的取值范围是__________.参考答案:函数的导数为,所以和是函数的两个极值,由题意知,极大值为,极小值为,所以要使函数有三个不同的零点,则有且,解得,即实数a的取值范围是。12.一个组合体的三视图如图,则其体积为________________
参考答案:略13.已知函数和的图象的对称轴完全相同,则的值是____________.参考答案:略14.复数,则______________.参考答案:115.过椭圆上一点作圆的两条切线,点为切点.过的直线与轴,轴分别交于点两点,则的面积的最小值为
.参考答案:16.已知实数满足,则的最大值为_______________.参考答案:略17.设则.参考答案:答案:解析:.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(Ⅰ)当时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数a的取值范围.(Ⅲ)求证:(其中n∈N*,e是自然对数的底数).参考答案:考点:不等式的证明;利用导数研究函数的单调性.专题:综合题.分析:(Ⅰ)把a=﹣代入函数f(x),再对其进行求导利用导数研究函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)已知当x∈[0,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在所表示的平面区域内,将问题转化为当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,即ax2+ln(x+1)﹣x≤0恒成立,只要求出ax2+ln(x+1)﹣x的最小值即可,令新的函数,利用导数研究其最值问题;(Ⅲ)由题设(Ⅱ)可知当a=0时,ln(x+1)≤x在[0,+∞)上恒成立,利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩,从而进行证明;解答:解:(Ⅰ)当时,(x>﹣1),(x>﹣1),由f'(x)>0解得﹣1<x<1,由f'(x)<0,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间为(﹣1,1),单调递减区间为(1,+∞).(4分)(Ⅱ)因函数f(x)图象上的点都在所表示的平面区域内,则当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,即ax2+ln(x+1)﹣x≤0恒成立,设g(x)=ax2+ln(x+1)﹣x(x≥0),只需g(x)max≤0即可.(5分)由=,(ⅰ)当a=0时,,当x>0时,g'(x)<0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(0)=0成立.(6分)(ⅱ)当a>0时,由,因x∈[0,+∞),所以,①若,即时,在区间(0,+∞)上,g'(x)>0,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)在[0,+∞)上无最大值(或:当x→+∞时,g(x)→+∞),此时不满足条件;②若,即时,函数g(x)在上单调递减,在区间上单调递增,同样g(x)在[0,+∞)上无最大值,不满足条件.(8分)(ⅲ)当a<0时,由,∵x∈[0,+∞),∴2ax+(2a﹣1)<0,∴g'(x)<0,故函数g(x)在[0,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(0)=0成立.综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,0].(10分)(Ⅲ)据(Ⅱ)知当a=0时,ln(x+1)≤x在[0,+∞)上恒成立(或另证ln(x+1)≤x在区间(﹣1,+∞)上恒成立),(11分)又,∵===,∴.(14分)点评:此题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题,解题过程中多次用到了转化的思想,第二题实质还是函数的恒成立问题,第三问不等式的证明仍然离不开前面两问所证明的不等式,利用它们进行放缩证明,本题难度比较大,是一道综合题;19.(本小题12分)已知函数(I)求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)若,求的取值范围;(Ⅲ)证明:。参考答案:解:(I)所以,所以切线方程是(Ⅱ),即:,而,则有,即要使得成立.设,那么,可知当时单调增,当时单调减.故在处取最大值为,那么要使得成立,则有.(Ⅲ)由(Ⅱ)可得:,即当时,当时,20.(本题满分17分)设。(1)求的反函数:
(2)讨论在上的单调性,并加以证明:(3)令,当时,在上的值域是,求的取值范围。参考答案:(1)(2)设,∵∴时,,∴在上是减函数:时,,∴在上是增函数。(3)当时,∵在上是减函数,∴,由得,即,可知方程的两个根均大于,即,当时,∵在上是增函数,∴(舍去)。
综上,得。21.已知向量,若函数
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且,求角A、B、C的大小。参考答案:解:(Ⅰ),
,…………4分
令,即,
所以,
即函数的单调递增区间是;…………6分
(Ⅱ)因为,所以.而,
所以。
△ABC为等边三角形,即…………12分22.如图所示,设点F坐标为(1,0),点P在y轴上运动,点M在x轴运动上,其中·=0,若动点N满足条件
(Ⅰ)求动点N的轨迹的方程;(Ⅱ)过点F(1,0)的直线l和分别与曲线交于A、B两点和C、D两点,若,试求四边形ACBD的面积的最小值.参考答案:解析:(Ⅰ)设N(x,y),M(x0,0),P(0,y0)
则=(x0,–y0)
=(x,y–y0)
由·=0得x0+=0
①
由+=0,得(x+x0
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