2022-2023学年北京太平路中学高一数学文期末试题含解析

2022-2023学年北京太平路中学高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则“”是“”的（

）

A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B2.函数f（x）=log2（x+1）﹣的其中一个零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数零点的判定定理进行判断即可．【解答】解：∵f（1）=﹣2=﹣1＜0，f（2）=﹣1＞0，∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是（1，2），故选：B．【点评】本题考查了函数零点的判定定理，是一道基础题．3.已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．[1，+∞） C．（﹣1，1） D．[0，1）参考答案：D【考点】其他不等式的解法．【分析】由题意，在（﹣∞，+∞）上单调递增，可得，即可求出b的取值范围．【解答】解：由题意，在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴，∴2≤a＜3，0≤b＜1，故选D．【点评】本题考查函数的单调性，考查不等式的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．4.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知函数，下列结论错误的是（

）函数的最小正周期为

函数是奇函数函数的图象关于直线对称

函数在区间上是增函数参考答案：B6.已知f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【分析】由函数的单调性可得||与1的大小，转化为解绝对值不等式即可．【解答】解：由已知得解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故选C7.圆和的位置关系为（

）A．外切

B．内切

C．外离

D．内含参考答案：A8.函数的图象大致是（

）

A

B

C

D参考答案：D9.（5分）已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（） A． B． C． D． π参考答案：D考点： 同角三角函数基本关系的运用．专题： 三角函数的求值．分析： 将已知两等式分别平方，左右两边相加求出cos（α+β）的值，再由已知两等式表示出sinβ与cosβ，代入化简得到的式子中求出cosα与cosβ的值，得到cos（α+β）=﹣cosβ，根据α，β均为锐角，化简即可求出α+2β的值．解答： 由3sinα=2sinβ，得sinβ=sinα，由3cosα+2cosβ=3，得cosβ=﹣cosα，将3sinα﹣2sinβ=0，两边平方得：（3sinα﹣2sinβ）2=0，整理得：9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β=0①，同理，将3cosα+2cosβ=3，两边平方得：（3cosα+2cosβ）2=9，整理得：9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9②，两式相加得9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β+9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9整理得：13+12（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=9，即cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣，即cos（α+β）=﹣，将sinβ=sinα，cosβ=﹣cosα代入得：cosα（﹣cosα）﹣sin2α=﹣，整理得：cosα﹣cos2α﹣（1﹣cos2α）=﹣，解得：cosα=，cosβ=﹣cosα=，即cos（α+β）=﹣cosβ，∵α、β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴cos（α+β）=cos（π﹣β），即α+β=π﹣β，则α+2β=π．故选：D．点评： 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．10.在中，如果，那么等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是．参考答案：6【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式和指数运算可直接得到答案．【解答】解：∵a+b=2∴3a+3b≥2=2=6当且仅当a=b=1时等号成立故答案为：6【点评】本题主要考查基本不等式的应用，应用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”，为要满足的条件．12.已知正方形ABCD的边长是4，若将沿正方形的对角线BD所在的直线进行翻折，则在翻折过程中，四面体的体积的最大值是

；参考答案：13.如图是一个边长为的正方形及扇形（见阴影部分），若随机向正方形区域内丢一粒豆子，则豆子落入扇形区域的概率是

.参考答案：略14.设函数，存在，若满足有，则正实数的最大值为___．参考答案：15.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则＝____，在上的解析式为______参考答案：

【分析】是定义在上的奇函数，所以，所以；当时，，所以，又因为，进而可得答案。【详解】是定义在上的奇函数，所以，当时，，所以；当时，，所以，即，所以在上的解析式为【点睛】本题考查由函数的奇偶性求函数值和解析式，解题的关键是熟练掌握奇偶性的性质，属于一般题。16.设，其中，若对一切

恒成立，则①

②③既不是奇函数也不是偶函数④的单调递增区间是⑤存在经过点（a,b）的直线与函数的图像不相交以上结论正确的是

（写出所有正确结论的编号）参考答案：①③略17.已知函数_______

参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题16分）已知函数的图象关于原点对称.⑴求的值；⑵判断在区间上单调性并加以证明；⑶当时，时，的值域为，求与的值.参考答案：⑴由

①时，，舍云②时，解得或………………4分⑵

任意设

1………………6分时，为增函数………………8分时，为减函数………10分19.（本题12分）已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数的单调性;（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．参考答案：(1)因为在定义域为上是奇函数，所以=0，即…….3分ks5u（2）由（Ⅰ）知，任取，设则因为函数y=2在R上是增函数且∴>0又>0∴>0即∴在上为减函数.

....…..7分（3）因是奇函数，从而不等式：

等价于，………...….8分因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，

……….………....10分从而判别式………..…..…..12分20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若E是PB的中点，若AE与平面ABCD所成角为45°，求三棱锥P﹣ACE的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（I）利用勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由PC⊥平面ABCD得出AC⊥PC，故而AC⊥平面PBC，从而得出PMACE⊥平面PBC；（II）取BC的中点F，连接EF，AF，则可证EF⊥平面ABCD，即∠EAF为AE与平面∠平面ABCD所成的角，利用勾股定理求出AF，则EF=AF．由E为PB的中点可知VP﹣ACE=VE﹣ABC=．【解答】证明：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，又∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．解：（Ⅱ）取BC的中点F，连接EF，AF，∵E，F是PB，BC的中点，∴EF∥PC，由PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．∴∠EAF为AE与平面ABCD所成角．即∠EAF=45°．∵AF==，∴EF=AF=．∵E是PB的中点，∴VP﹣ACE=VE﹣ABC===．21.（本小题满分15分）设，函数，．已知的最小正周期为，且．（1）求和的值；（2）求的单调递增区间；（3）求函数在区间上的最小值和最大值．参考答案：解：（1）2分的最小正周期为，,.3分,，，，，．5分（2）由（1）知，当时，8分即时，单调递增，的