2021-2022学年天津路华中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年天津路华中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.读程序：则运行程序后输出结果判断正确的是（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】伪代码．【分析】利用裂项求和，分别求和，即可得出结论．【解答】解：S=++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=，P=+…+=﹣+…+==，故选C．【点评】本题考查伪代码，考查数列求和，正确求和是关键．2.函数的图象关于()A．y轴对称

B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称

D．直线y＝x对称参考答案：C3.设集合,则

(）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为

A．

B．

C．3

D.

4

参考答案：B略5.已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3} C．{1，3} D．{1}参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别让x取﹣1，1，4，然后求出对应的y，从而得出集合B，然后进行交集运算即可．【解答】解：x=﹣1，或1时，y=1；x=4时，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故选D．6.“”是“两直线和互相垂直”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A7.设是实数，若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知函数在区间(－1,+∞)上单调，且函数的图象关于对称.若数列是公差不为0的等差数列.且，则数列的前100项的和为（

）A．-200

B．-100

C.

0

D．-50参考答案：B因为函数y=f(x－2)的图象关于x=1对称，则函数f(x)的图象关于对称，又函数f(x)在(－1,+∞)上单调，数列是公差不为0的等差数列，且，所以，所以，故选B．

9.已知函数,若且，则的取值范围是 A.

B. C. D.参考答案：C略10.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设随机变量X的分布列如下：

若数学期望E(X)＝10，则方差D(X)＝

．参考答案：3512.已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pba2﹣则E（ξ）的最小值为，此时b=．参考答案：,.【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意可得：b+a2+=1，即b+a2﹣=，b∈[0，1]，a∈[﹣1，1]．E（ξ）=0+a2+2（）=a2﹣a+1=+，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：由题意可得：b+a2+=1，即b+a2﹣=，b∈[0，1]，a∈[﹣1，1]．E（ξ）=0+a2+2（）=a2﹣a+1=+，当且仅当a=时取等号，此时b=．故答案为：，．13.函数的定义域是

参考答案：14.已知集合，，则_____________．参考答案：，，所以。15.执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为__参考答案：7略16.在的展开式中，系数为有理数的项的所有系数之和为______．参考答案：225

考点：二项式定理17.已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点．若，则实数

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆的离心率为，其左焦点与抛物线的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程；(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点的直线与曲线只有一个交点，则（1）

求直线的方程；（2）椭圆上是否存在点，使得，若存在，请说明一共有几个点；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，它是题设椭圆的左焦点.离心率为，所以，.由求得.因此，所求椭圆的方程为

（*）（Ⅱ）（1）椭圆的右焦点为，过点与轴平行的直线显然与曲线没有交点.设直线的斜率为，1

若，则直线过点且与曲线只有一个交点，此时直线的方程为；2

若，因直线过点，故可设其方程为，将其代入消去，得.因为直线与曲线只有一个交点，所以判别式，于是，从而直线的方程为或.因此，所求的直线的方程为或或.（2）由（1）可求出点的坐标是或或.①若点的坐标是，则.于是=，从而，代入（*）式联立：或，求得，此时满足条件的点有4个:.②若点的坐标是，则，点M到直线：的距离是，于是有，从而，与（*）式联立：或解之，可求出满足条件的点有4个:，，，.3

若点的坐标是，则，点到直线:的距离是，于是有，从而，与（*）式联立：或，解之，可求出满足条件的点有4个:

，,,.综合①②③，以上12个点各不相同且均在该椭圆上，因此，满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.略19.（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn是等差数列．

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若，设，求数列{cn}的前n项和Tn。参考答案：略20.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若.（1）求B；（2）若，求△ABC面积的最大值.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理、两角和的正弦公式、三角形的内角和定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.（2）利用余弦定理和基本不等式，求得的最大值，由三角形面积公式，求得面积的最大值.【详解】解：（1）由余弦定理可得，，则，即，所以，因为，则，所以.（2）由余弦定理可知，，即，所以，则.所以面积的最大值为.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查两角和的正弦公式的应用，考查三角形内角和定理的应用，属于中档题.21.（16分）数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=an(+r)(r∈R，n∈N*)．（1）求r的值及数列{an}的通项公式；（2）设bn=(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn．①当n∈N*时，λ＜T2n﹣Tn恒成立，求实数λ的取值范围；②求证：存在关于n的整式g（n），使得(Tn+1)=Tn·g(n)﹣1对一切n≥2，n∈N*都成立．参考答案：【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（1）n=1时，S1=a1×=a1，解得r，可得Sn=an．利用递推关系可得=，（n≥2）．利用“累乘求积”方法可得an．（2）①bn==，Tn=+…+，T2n=…+，作差可得数列{T2n﹣Tn}的单调性．利用当n∈N*时，λ＜T2n﹣Tn恒成立，可得λ的求值范围．②由①可得：n≥2时Tn﹣Tn﹣1=，即（n+1）Tn﹣nTn﹣1=Tn﹣1+1，n≥2时，可得=（n+1）Tn﹣1．即可得出．【解答】（1）解：n=1时，S1=a1×=a1，解得r=，∴Sn=an．n≥2时，Sn﹣1=an﹣1．两式相减可得：an=an﹣an﹣1．∴=，（n≥2）．∴an=?…=?…??2=n（n+1），n=1时也适合．∴an=n（n+1）．（2）①解：bn==，Tn=+…+，T2n=…+，∴T2n﹣Tn=+…+，令Bn=T2n﹣Tn，则Bn+1﹣Bn=﹣=＞0，因此数列{Bn}单调递增，∴（Bn）min=．∵当n∈N*时，λ＜T2n﹣Tn恒成立，∴．②证明：由①可得：n≥2时Tn﹣Tn﹣1=，即（n+1）Tn﹣nTn﹣1=Tn﹣1+1，∴n≥2时，=（3T2﹣2T1）+（4T3﹣3T2）+…+[（n+1）Tn﹣nTn﹣1]=（n+1）Tn﹣2T1=（n+1）Tn﹣1．∴存在关于n的整式g（n）=n+1，使得对一切n≥2，n∈N*都成立．【点评】本题考查了数列的递推关系、“累乘求积”方法、“累加求和”方法、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.（本小题满分14分）已知函数

（Ⅰ）求处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）数列，数列满足的前项和为，求证：参考答案：（Ⅰ），，切点是，所以切线方程为，即．

-----------------3分（Ⅱ）（法一），当时，，，单调递增，显然当时，，不恒成立．

-------------------4分当时，，，单调递增，，，单调递减，

-----------------------------6分，，所以不等式恒成立时，的取值范围

--------------------8分（法二）所以不等式恒成立，等价于，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增．

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