2022-2023学年湖南省郴州市蔡伦中学高三数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年湖南省郴州市蔡伦中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题参考答案：【知识点】四种命题及关系

A2【答案解析】D

解析：恒成立得：恒成立，.原命题成立，其逆否命题也成立，所以选D.【思路点拨】导数法判断原命题成立，再根据原命题与逆否命题的等价判断结论.2.在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件在一次试验中发生的概率的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：A3.设函数Ｒ）满足，则的值是(

)A．3

B.2

C.1

D.0参考答案：D4.如下图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A．4

B．4C．2

D．2参考答案：C5.如图，在长方体中，点P是棱上一点，则三棱锥的左视图可能为（）主视方向A

B

C

D

参考答案：D在长方体中,三棱锥的左视图中，、、的射影分别是、、.所以选D.6.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x(cm)160165170175180体重y(kg)6366707274根据上表可得回归直线方程＝0.56x＋，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为

()A．70.09kg

B．70.12kg

C．70.55kg

D．71.05kg参考答案：B略7.函数的图象沿x轴向右平移a个单位，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为 （） A．

B．

C．

D．参考答案：D，函数向右平移个单位得到函数为，要使函数的图象关于y轴对称，则有，即，所以当时，得的最下值为，选D.8.设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，命题乙：0<a<1，则命题甲是命题乙成立的()A．充分不必要条件

B．充要条件C．必要不充分条件

D．既非充分又非必要条件参考答案：C略9.若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，则m等于（）A． B．﹣ C．1 D．参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，判断目标函数的最优解，求解a即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图，z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，可知目标函数的最优解过点A，由，解得A（，3），﹣=a﹣3，解得m=1；故选：C．10.若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是

（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A函数的导数为，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，即恒成立，所以，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣），x∈（，）的值域是．参考答案：（，1]【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=sin2x，x∈（，）?2x∈（，），利用正弦函数的单调性与最值即可求得其值域．【解答】解：∵f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）=﹣=（sin2x+sin2x）=sin2x，∵x∈（，），∴2x∈（，），∴＜sin2x≤1，即当x∈（，）时，函数f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）的值域是（，1]．故答案为：（，1]．12.已知函数f(x)=2x+x，g(x)=log2x+x，h(x)=log2x－2的零点依次为a,b,c，则a,b,c的大小关系是

。参考答案：a<b<c13.若平面向量α、β

满足，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角

θ的取值范围是_________________________参考答案：题主要考查了平面向量的相关性质、三角函数值的求解、三角形的面积公式以及三角函数的图象与性质等，难度中等。由于S=|α||β|sinθ=|β|sinθ=，那么sinθ=≥，结合三角函数的图象与性质以及平面向量的夹角定义知θ∈[，]，故填[，]；14.已知函数，在函数的定义域内任取一点，使得的概率是___________．

参考答案：

略15.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且

为等边三角形，则实数_________.参考答案：16.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为

．参考答案：

17.（5分）若a＞0，b＞0，且+=，则a3+b3的最小值为．参考答案：考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．解答： 解：∵a＞0，b＞0，且且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．故答案为：点评： 本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知正方体的棱长为1，点是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.（1）求证：′；（2）求二面角－BC′－B′的大小；参考答案：解：解法一：（1）连结AC，BD,则AC⊥BD，又DD′⊥平面ABCD

∴BD是BD′在平面ABCD的射影

∴AC⊥BD′又∵O、M分别是BD′、AA′的中点

∴OM∥AC

∴OM⊥BD′

……………5分（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’过点N作NH⊥BC’于H，连结MH则由三垂线定理得BC’⊥MH从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角N=1,NH=Bnsin45°=

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

19.设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）≤2x﹣2．参考答案：解：（1）函数f（x）=x+ax2+blnx的导数为．由已知条件得，解得a=﹣1，b=3．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=0解得．xf′（x）+0﹣f（x）增

减当x=时，取得最大值；当x=e时，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（3）设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．即有x=1处取得极大值，且为最大值0故当x＞0时，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：方程思想；构造法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求得函数的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得导数，求得极值点，求出端点处的函数值，可得最值；（3）构造函数g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，求出导数和单调区间，可得极值和最值，即可证得不等式．解答：解：（1）函数f（x）=x+ax2+blnx的导数为．由已知条件得，解得a=﹣1，b=3．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=0解得．xf′（x）+0﹣f（x）增

减当x=时，取得最大值；当x=e时，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（3）设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．即有x=1处取得极大值，且为最大值0故当x＞0时，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查构造函数的思想方法证明不等式，属于中档题20.已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）求a的值；（2）求函数g（x）的极值；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明＜k＜．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，利用函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，斜率为0，求出a即可．（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，然后求出函数的极值．（3）利用直线的斜率以及导函数的符号，证明即可．【解答】解：（1）依题意得：g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1…（2）由（1）得g′（x）=+2x﹣3=∵函数g（x）的定义域为：（0，+∞），令g′（x）=0，得x=，或x=1．函数g（x）在（0，）上单调递增，在（）单调递减；在（1，+∞）上单调递增．故函数g（x）的极小值为g（1）=﹣2．…．（3）证明：依题意得?lnx2﹣kx2=lnx1﹣kx1，令h（x）=lnx=kx，则h′（x）=，由h′（x）=0得：x=，当x＞时，h′（x）＜0，当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减，又h（x1）=h（x2），x1