2021-2022学年福建省南平市古楼中学高二数学理模拟试题含解析

2021-2022学年福建省南平市古楼中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

840和1764的最大公约数是（

）A．84

B．12

C．168

D．252参考答案：A2.已知正数满足，则“”是“”的

(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C3.若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：D【考点】GS：二倍角的正弦；GK：弦切互化．【分析】利用两角和公式把原式的分母展开后化简，把tanα的值代入即可．【解答】解：==2tanα=6故选D4.等比数列中，，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.点A，F分别是椭圆C：+=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：如图，由椭圆C：+=1，得a2=16，b2=12，∴，|PF|=，|AF|=a+c=6，∴△AFP的面积为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.设定点动点满足条件（为大于0的常数），则点的轨迹是（

）A.椭圆

B.线段

C.椭圆或线段

D.不存在参考答案：C7.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为A．

B．

C．

D．

参考答案：D8.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：A9.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则（

）A. B. C. D.参考答案：A分析：由条件概率公式计算即可.详解：，，，则.故选：A.10.若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆的交点个数为

()A．至多一个

B．0个

C．1个

D．2个参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“，”的否定是

．参考答案：12.已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“?x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣2）【考点】特称命题．【分析】根据“命题“?x0＞0，f（x0）＜0”为真”，不等式对应的是二次函数，利用二次的图象与性质加以解决即可．【解答】解：因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），若命题“?x0＞0，f（x0）＜0”为真，则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，∴△=m2﹣4＞0，且﹣＞0，即m＜﹣2，则m的取值范围是：（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．13.ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是AD1、BD的中点，则＝

.（用向量abc表示）参考答案：a－c14.在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，则公比为．参考答案：4【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，可得q4=256且q＞0，即可求出公比．【解答】解：∵在1和256中间插入3个正数，使这5个数成等比，设公比为q，则q4=256且q＞0，解得：q=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的通项公式，属基础题．15.中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

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.参考答案：因为由于题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即为y=-x，那么根据焦点在x轴上，那么说明是b与a的比值，那么，利用，可知双曲线的a,c的关系式为，，那么可知离心率e=，故答案为。考点：本试题主要考查了双曲线的方程以及性质的运用。点评：解决该试题的关键是先把直线方程整理成y=-x，进而可知a和b的关系，利用c与a,b的关系进而求得a和c的关系式，则双曲线的离心率可得。

16.设P是曲线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到的距离之和的最小值为

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.参考答案：17.某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x名（3≤x≤9），现从中选出3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为f(x),则f(x)max=__参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C1的参数方程为（φw为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标系方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交？请说明理由．参考答案：（I）由可得，由得，即，整理得．（II）圆表示圆心在原点，半径为2的圆，圆表示圆心为，半径为2的圆，又圆的圆心在圆上，由几何性质可知，两圆相交．略19.已知命题,命题,若是的充分不必要条件,求实数m的取值范围.参考答案：对于命题,得,∴,对于命题,得,由因为是的充分不必要条件,∴,∴,∴.20.设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：a2＞；（Ⅱ）若=2，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平行向量与共线向量；椭圆的标准方程．【分析】（1）把直线l的方程代入椭圆方程，由直线与椭圆相交于A、B两个不同的点可得△＞0，解出即可证明；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系及向量相等得到y1，y2的关系及可用k来表示，再利用三角形的面积公式∴△OAB的面积及基本不等式的性质即可得出取得面积最大值时的k的值，进而得到a的值．【解答】（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得．并代入椭圆方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2﹣6ky+3k2﹣k2a2=0

①∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k2﹣4（3+k2）（3k2﹣k2a2）＞0，∴．（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由①，得，②∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），得y1=﹣2y2代入②，得，③∴△OAB的面积==≤=，当且仅当k2=3，即时取等号．把k的值代入③可得，将及这两组值分别代入①，均可解出a2=15．∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15．21.已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点.（1）求实数a，b的值；（2）P为函数图像上的任一点，作轴于M点，轴于N点（O为坐标原点），求矩形OMPN周长的最小值.参考答案：（1），；（2）【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到，设，根据题意得到，周长为，再结合基本不等式，即可求出结果.【详解】（1）因为函数是奇函数，并且函数的图象经过点，所以，解得，；（2）由（1）可得，，设，由题意可得，周长为当且仅当时取等号；故矩形周长的最小值为.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，以及基本不等式的应用，熟记函数奇偶性，以及基本不等式即可，属于常考题型.22.已知函数f（x）=x3+ax2+bx，f′（﹣1）=﹣4，f′（1）=0（1）求a，b的值；（2）试确定函数f（x）的单调区间．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（﹣1）=﹣4，f′（1）=0，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的