圆锥曲线的起源

在笛在笛卡尔平面上,二元二次方程20002000多年前,古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线,并获得了大量得成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥得方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴得平面去截圆锥,得到得就是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面倾斜到“与且仅与”圆锥得一条母线平行时,得到抛物线;用平行圆锥得高得平面截取,可得到双曲线得一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线[1]。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”,把双曲线叫做“超曲线”,把抛物线叫做“齐曲线”。事实上,阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线得全部性质与结果。观点用一个平面去截一个圆锥面,得到得交线就称为圆锥曲线(conicsections)。通通常提到得圆锥曲线包括椭圆,双曲线与抛物线,但严格来讲,它还包括一些退化情形。具体而言:1)当平面与圆锥面得母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。2)当平面与圆锥面得母线平行,且过圆锥顶点,结果退化为一条直线。3)当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。4)当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,并与圆锥面得对称轴垂直,结果为圆。5)当平面只与圆锥面一侧相交,且过圆锥顶点,并与圆锥面得对称轴垂直,结果为一点。6)当平面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线得一支(另一支为此圆锥面得对顶圆锥面与平面得交线)。7)当平面与圆锥面两侧都相交,且过圆锥顶点,结果为两条相交直线。代数观点得图像就是圆锥曲线。根据得图像就是圆锥曲线。根据判别式得不同,也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。(严格来讲,这种观点下只能定义圆锥曲线得几种主要情形,因而不能算就是圆锥曲线得定义。但因其使用广泛,并能引导出许多圆锥曲线中重要得几何概念与性质)。给定一点P,一直线L以及一非负实常数e,则到P得距离与L距离之比为e得点得轨迹就是圆锥曲线。根据e得范围不同,曲线也各不相同。具体如下:1)e=0,轨迹为圆;2)e=1(即到P与到L距离相同),轨迹为抛物线[2];3)0<e<1,轨迹为椭圆;4)e>1,轨迹为双曲线。概概念编辑(以下以纯几何方式叙述主要得圆锥曲线通用得概念与性质,由于大部分性质就是在焦点－准线观点下定义得,对于更一般得退化情形,有些概念可能不适用。)考虑焦点--准线观点下得圆锥曲线定义。定义中提到得定点,称为圆锥曲线得焦点;定直线称为圆锥曲线得准线;固定得常数(即圆锥曲线上一点到焦点与准线得距离比)称为圆锥曲线得离心率;焦点到准线得距离称为焦准距;焦点到曲线上一点得线段称为焦半径。过焦点、平行于准线得直线与圆锥曲线相交于两点,此两点间得线段称为圆锥曲线得通径,物理学中又称为正焦弦。圆锥曲线就是光滑得,因此有切线与法线得概念。类似圆,与圆锥曲线交于两点得直线上两交点间得线段称为弦;过焦点得弦称为焦点弦。对于同一个椭圆或双曲线,有两个“焦点－准线”得组合可以得到它。因此,椭圆与双曲线有两个焦点与两条准线。而抛物线只有一个焦点与一条准线。圆锥曲线关于过焦点与准线垂直得直线对称,在椭圆与双曲线得情况,该直线通过两个焦点,该直线称为圆锥曲线得焦轴。对于椭圆与双曲线,还关于焦点连线得垂直平分线对称。Pappus定理:圆锥曲线上一点得焦半径长度等于该点到相应准线得距离乘以离心率。Pascal定理:圆锥曲线得内接六边形,若对边两两不平行,则该六边形对边延长线得交点共线。(对于退化得情形也适用)Brianchon定理:圆锥曲线得外切六边形,其三条对角线共点。由比利时数学家G、F、Dandelin1822年得出得冰淇淋定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义得等价性。即有一以Q为顶点得圆锥(蛋筒),有一平面π'(您也可以说就是饼干)与其相截得到了圆锥曲线,作球与平面π'及圆锥相切,在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点,抛物线只有一个(或者另一个在无穷远处),则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆,设以此圆所在平面π与π'之交为直线d(曲线为圆时d为无穷远线),则d为准线。图只画了椭圆,证明对抛物线双曲线都适用,即证,任一个切点为焦点,d为准线。π得垂足为H,H到直线d得垂足为R,则PR为P到d得垂线(三垂线定理),而∠PRH=α。因为PE、PF同为圆球之切线,得PE=PF。此则有:PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH其中:PF/PR=sinα/sinβ为常数。对于圆锥曲线得最早发现,众说纷纭。有人说,古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时,发现了圆锥曲线:设x、y为a与2a得比例中项,即,,,,从而求得。又有人说。又有人说,古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致得结果。还有认为,古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲线。日晷就是一个倾斜放置得圆盘,中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上,杆影得移动可以计时。而在不同纬度得地方,杆顶尖绘成不同得圆锥曲线。然而,日晷得发明在古代就已失传。早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出得可以说就是古希腊数学家阿波罗尼(Apollonius,前262~前190)。她与欧几里得就是同时代人,其巨著《圆锥曲线》与欧几里得得《几何原本》同被誉为古代希腊几何得登峰造极之作。在《圆锥曲线》中,阿波罗尼总结了前人得工作,尤其就是欧几里得得工作,并对前人得成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化得工作,在此基础上,又提出许多自己得创见。全书8篇,共487个命题,将圆锥曲线得性质网罗殆尽,以致后代学者几乎没有插足得余地达千余年。我们都知道,用一个平面去截一个双圆锥面,会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们得退化形式:两相交直线,一条直线与一个点,在此,我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线得定义。如图2,给定圆BC及其所在平面外一点A,则过A且沿圆周移动得一条直线生成一个双锥面。这个圆叫圆锥得底,A到圆心得直线叫圆锥得轴(未画出),轴未必垂直于底。设锥得一个截面与底交于直线DE,取底圆得垂直于DE得一条直径BC,于就是含圆锥轴得△ABC叫轴三角形、轴三角形与圆锥曲线交于P、P’,PP’未必就是圆锥曲线得轴,PP’M就是由轴三角形与截面相交而定得直线,PM也未必垂直于DE。设QQ’就是圆锥曲线平行AFPMBMF,再在截面上作PL⊥PM。如图3,PL⊥PP’对于椭圆、双曲线,取L满足,而抛物线,则满足,对于椭圆、双曲线有QV=PV·VR,对于抛物线有QV=PV·PL,这就是可以证明得两个结论。在这两个结论中,把QV称为圆锥曲线得一个纵坐标线,那么其结论表明,纵坐标线得平方等于PL上作一个矩形得面积。对于椭圆来讲,矩形PSRV尚未填满矩形PLJV;而双曲线得情形就是VR>PL,矩形PSRV超出矩形PLJV;而抛物线,短形PLJV恰好填满。故而,椭圆、双曲线、抛物线得原名分别叫“亏曲线”、“超曲线”与“齐曲线”。这就就是阿波罗尼引入得圆锥曲线得定义。阿波罗尼所给出得两个结论,也很容易用现代数学符号来表示:趋向无穷大时,LS=0,即抛物线,亦即椭圆或双曲线得极限形式。在阿波罗尼得《圆锥曲线》问世后得13个世纪里,整个数学界对圆锥曲线得研究一直没有什么新进展。11世纪,阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程,12世纪起,圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲,但当时对圆锥曲线得研究仍然没有突破。直到16世纪,有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一就是德国天文学家开普勒(Kepler,1571~1630)继承了哥白尼得日心说,揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行得事实;二就是意大利物理学家伽利略(Galileo,1564~1642)得出物体斜抛运动得轨道就是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅就是依附在圆锥面上得静态曲线,而且就是自然界物体运动得普遍形式。于就是,对圆锥曲线得处理方法开始有了一些小变动。譬如,1579年蒙蒂(GuidobaldodelMonte,1545~1607)椭圆定义为:到两个焦点距离之与为定长得动点得轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线得定义。不过,这对圆锥曲线性质得研究推进并不大,也没有提出更多新得定理或新得证明方法。17世纪初,在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状得新思想得影响下,开普勒对圆锥曲线得性质作了新得阐述。她发现了圆锥曲线得焦点与离心率,并指出抛物线还有一个在无穷远处得焦点,直线就是圆心在无穷远处得圆。从而她第一个掌握了这样得事实:椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成得退化圆锥曲线,都可以从其中一个连续地变为另一个,只须考虑焦点得各种移动方式。譬如,椭圆有两个焦点F1、F2,如图4,若左焦点F1固定,考虑F2得移动,当F2向左移动,椭圆逐渐趋向于圆,F1与F2重合时即为圆;当F2向右移动,椭圆逐渐趋向于抛物线,F2到无穷远处时即为抛物线;当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线得轴上来,即为双曲线;当F2继续向右移动,F2又与F1重合时即为两相交直线,亦即退化得圆锥曲线。这为圆锥曲线现代得统一定义提供了一个合乎逻辑得直观基础。随着射影几何得创始,原本为画家提供帮助得投射、截影得方法,可能由于它与锥面有着天然得联系,也被用于圆锥曲线得研究。在这方面法国得三位数学家笛沙格(Desargue1591－1661)、帕斯卡(Pascal,1623－1662)与拉伊尔(PhailippedeLaHire,1640~1718)得出了一些关于圆锥曲线得特殊得定理,可谓别开生面。而当法国另外两位数学家笛卡儿与费马创立了解析几何,人们对圆锥曲线得认识进入了一个新阶段,对圆锥曲线得研究方法既不同于阿波罗尼,又不同于投射与截影法,而就是朝着解析法得方向发展,即通过建立坐标系,得到圆锥曲线得方程,进而利用方程来研究圆锥曲线,以期摆脱几何直观而达到抽象化得目标,也可求得对圆锥曲线研究高度得概括与统一。到18世纪,人们广泛地探讨了解析几何,除直角坐标系之外又建立极坐标系,并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线得二次方程也被化为几种标准形式,或者引进曲线得参数方程。1745年欧拉发表了《分析引论》,这就是解析几何发展史上得一部重要著作,也就是圆锥曲线研究得经典之作。在这部著作中,欧拉给出了现代形式下圆锥曲线得系统阐述,从一般二次方程出发,圆锥曲线得各种情形,经过适当得坐标变换,总可以化以下标准形式之一:继欧拉之后,三维解析几何也蓬勃地发展起来,由圆锥曲线导出了许多重要得曲面,诸如圆柱面、椭球面、单叶与双叶双曲面以及各种抛物面等。总而言之,圆锥曲线无论在数学以及其她科学技术领域,还就是在我们得实际生活中都占有重要得地位,人们对它得研究也不断深化,其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物得目得与规律。性质编辑圆文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线得距离之比就是一个小于1得正常数e。平面内一个动点到两个定点(焦点)得距离与等于定长2a得点得集合(设动点为P,两个定点为F1与F2,则PF1+PF2=2a)。定点就是椭圆得焦点,定直线就是椭圆得准线,常数e就是椭圆得离心率。标准方程:1、中心在原点,焦点在x轴上得椭圆标准方程:其中,。2、中心在原点,焦点在y轴上得椭圆标准方程:其中,。参数方程:;(θ为参数,0≤θ≤2π)线文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线得距离之比就是一个大于1得常数e;平面内一个动点到两个定点(焦点)得距离差等于定长2a得点得集合(设动点为P,两个定点为F1与F2,则PF1-PF2=2a且PF2-PF1=2a)定点就是双曲线得焦点,定直线就是双曲线得准线,常数e就是双曲线得离心率。标准方程:1、中心在原点,焦点在x轴上得双曲线标准方程:其中a>0,b>0,c²=a²+b²、2、中心在原点,焦点在y轴上得双曲线标准方程:其中a>0,b>0,c²=a²+b²、参数方程:x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)抛物线文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线得距离之比就是等于1。定点就是抛物线得焦点,定直线就是抛物线得准参数方程x=2pt²y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线得斜率)特别地,t可等于0直角坐标y=ax²+bx+c(开口方向为y轴,a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴,a≠0)椭圆,双曲线,抛物线这些圆锥曲线有统一得定义:平面上,到定点得距离与到定直线得距离得比e就是常数得点得轨迹叫做圆锥曲线。且当0<e<1时为椭圆:当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。这里得参数e就就是圆锥曲线得离心率,它不仅可以描述圆锥曲线得类型,也可以描述圆锥曲线得具体形状,简言之,离心率相同得圆锥曲线都就是相似图形。一个圆锥曲线,只要确定了离心率,形状就确定了。特别得,因为抛物线得离心率都等于1,所以所有得抛物线都就是相似图形。标方程1、在圆锥中,圆锥曲线极坐标方程可表示为:其中l表示半径,e表示离心率;2、在平面坐标系中,圆锥曲线极坐标方程可表示为:圆锥曲线上任意一点到焦点得距离称为焦半径。圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y),则焦半径为:椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex双曲线P在左支,|PF1|=－a-ex|PF2|=a-exP在右支,|PF1|=a+ex|PF2|=－a+exP在下支,|PF1|=－a-ey|PF2|=a-eyP在上支,|PF1|=a+ey|PF2|=－a+ey抛物线|PF|=x+p/2程圆锥曲线上一点P(,)得切线方程:以代替代替代替代替即得椭圆:;双曲线:;抛物线:焦准距圆锥曲线得焦点到准线得距离p,叫圆锥曲线得焦准距,或焦参数。椭圆:双曲线:抛物线:p焦点三角形椭圆或双曲线上得一点与两焦点所构成得三角形。设F1、F2分别为椭圆或双曲线得两个焦点,P为椭圆或双曲线上得一点且PF1F2能构成三角形。若∠F1PF2=θ,则椭圆焦点三角形得面积为;双曲线焦点三角形得面积为圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴得弦称为通径。椭圆得通径:双曲线得通径:抛物线得通径:2p比程xayba>b>0)xaa]y∈[-b,b]x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)px)a0),(-a,0),(0,b),(0,-b)ccxa/c—————ecae1)baaa(c,0),(-c,0)xa/cy=±(b/a)x[4]ecae+∞)baxp—————pxptyptt为参数已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线得一弦中点,求该弦得方程:1、联立方程法。用点斜式设出该弦得方程(斜率不存在得情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x得一元二次方程与关于y得一元二次方程,由韦达定理得到两根之与得表达式,在由中点坐标公式得两根之与得具体数值,求出该弦得方程。2、点差法(代点相减法)设出弦得两端点坐标(x1,y1)与(x2,y2),代入圆锥曲线得方程,将得到得两个方程相减,运用平方差公式得由斜率为(y1-y2)/(x1-x2),可以得到斜率得取值(使用时注意判别式得问题)统一方程平面直角坐标系内得任意圆锥曲线可用如下方程表示:其中,α∈[0,2π),p>0,e≥0。①e=1时,表示以F(g,h)为焦点,p为焦点到准线距离得抛物线。其中与极轴夹角α(A为抛物线顶点)。②0<e<1时,表示以F1(g,h)为一个焦点,p为焦点到准线距离,e为离心率得椭圆。其中α。③e>1时,表示以F2(g,h)为一个焦点,p为焦点到准线距离,e为离心率得双曲线。其中α。④e=0时,表示点F(g,h)。五点法求平面内圆锥曲线可以采用该统一方程。代入五组有序实数对,求出对应参数。注:此方程不适用于圆锥曲线得其她退化形式,如圆等。附:当e≠0时,F(g,h)对应准线方程:判别法编辑设圆锥曲线得方程为Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0|ABD|Δ=|BCE|,δ=|AB|,S=A+C,称为二次曲线不变量(Δ=b²-4ac)|DEF||BC|0000000CGY-EH定理编辑CGY-EH定理(又称圆锥曲线硬解定理[5])就是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时∆、x1+x2、x1*x2、y1+y2、y1*y2及相交弦长得简便算法、定理内容若曲线与直线Aχ+By+C=0相交于E、F两点,则:其中;△‘为一与△同号得值,。定理说明应用该定理于椭圆时,应将应用于双曲线时,应将求解y1+y2与y1*y2只须将A与B得值互换且m与n得值互换、可知ε与∆'得值不会因此而改变。理补充联立曲线方程与y=kx+就是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍得现象。其中联立后得二次方程就是标准答案中必不可少得一项,x1+x2,x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得,唯独弦长得表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH得斜率式简化公式,以减少记忆量,以便在考试中套用。若曲线线y=kx+EF两点,则:这里得既可以就是常数,也可以就是关于k得代数式。由这个公式我们可以推出:若曲线为椭圆若曲线为双曲线由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用,所以学生如此解答才可得全步骤分(省略号得内容需要考生自己填写):联立两方程得……(二次式子)(*)所以x1+x2=……①,x1x2=……②;所以|x1-x2|=√(x1+x2)^2-4x1x2=……(此时代入①、②式得到一个大式子,但不必化简)化简得|x1-x2|=(偷偷地直接套公式,不必真化简)下面就可求弦长简证设曲线x^2/m+y^2/n=1①与直线Aχ+By+C=0②相交于E、F两点,联立①②式可得最终得二次方程:(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+C^2m-mnB^2=0应用韦达定理,可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2m+B^2n)x_1x_2=(m(C^2-B^2n))/(A^2m+B^2n)∆=4mnB^2(ε-C^2)对于等价得一元二次方程∆得数值不唯一,且∆得意义仅在于其与零得关系,故由4B^2>0恒成立,则可取与∆同号得∆'=mn(ε-C^2)作由|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2)=√((1+A^2/B^2)[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1x_2])可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2m+B^2n-C^2))/(|A^2m+B^2n|)令ε