高等数学课程12数列极限

第二节

数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质1/281、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义刘徽(225—295）用割圆术算到了内接正3072边形的面积,求得π=3.1416祖冲之（429—500）用割圆术算到了内接正24576边形的面积,求得π在3.1415926与3.1415927之间3/28

R

正六边形的面积A1正十二边形的面积A2

正6

·

2n-1形的面积AnA1

,

A2

,

A3

,,

An,S4/28一列有序排列的数x1

,

x2

,,

xn

,（1）称为一个（无穷）数列，其中的每个数称为数列的项，

xn

称为第

n

项或通项(一般项)。数列(1)记为{

x

}¥

或{

x

}

。n

n=1

n例如2

4

81

1

1,

,

,,n=12,4,8,,

2n

,;简记为{2n

}¥,或{2n

}。}。1简记为{2n21

,;n例1（1）

a,

aq,

aq2,aq3,…,aqn-1,….其中a,q为常数且q

„0。一般项公式为xn

=aq

n-1。此数列简记为{aqn-1}。（2）

{(-1)n-1

}:

1,-1,1,,

(-1)n-1

,;n

+(-1)n-1（3）{n}

:

2,,。1

4

n

+

(-1)n-1,

,,2

3

n6/281.

在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点x2

x4x3

x1

xn注：2.

数列可看成是以自然数为自变量的函数：xn

= f

(

n

)

.7/28数列极限的直观定义对

{xn}:

x1

,

x2

,

x3,…,xn,

…若随着n

的无限增大(记作n

fi

¥)，有xn无限接近某个定数a，(允许某些xn甚至全部xn等于

a)，则称{xn}有极限(为a)或收敛(于a)，记作:lim

xn=a

或xnfi

a

(n

fi

¥)nfi

¥8/28例2讨论{ }的极限解

因为nn

+(-1)n-1n

+

(-1)n-1xn

=n(-1)n-1=

1

+nnfi

¥\

lim

xn

=

1问题:

怎样用数学语言来精确地刻划数列极限的概念，即表达：随着项数n的无限增大，有项xn无限接近(或等于)a？当n无限增大时，{x

}无限接近于常数a，n当n无限增大时，

x

-

a

无限变小n当n无限增大时，

x

-

a

要多小有多小n对于任意给定的正数，都可以找到一项，使得该项以后的所有项，x

-

a

小于上述给定的正数n

n当n无限增大时，1

+1

无限接近于1例如果当n无限增大时，{x

}无限接近于常数a，n则称常数a为数列{x

}的极限。nn

n给定0.1

欲使

1

+

1

-1

=

1

<0.1取

N

=10,

当

n

>

N

时，1

+

1

-1

<

0.1n0.010.01n

>101000.01100给定ε>0，

欲使1+

1

-1

=

1

<

en

nn

>

1e取

N

=

1

+1,当n

>N

时，1+1

-1

<en随着nfi

¥

，有xn无限接近(或等于)常数a，也就是|

xn-a|

无限接近(或等于)0任给定正数e，不论它有多么小，只要n足够大（n

>

某个N），总可以使|

xn-a|

<

e

。于是有下面数列极限的定义（用“e

—N”语言表达）定义

如果对于任意给定的正数

e

(不论它多么小),总存在正数N

,使得对于

n>N

时的一切

xn,不等式xn

-a

<e

都成立,那末就称数列{xn}有极限（为a）,lim

xn

=

a,nfi

¥或或者称数列{xn}收敛（于a）,记为xn

fi

a

(nfi

¥).如果数列没有极限,

就说数列是发散的."

e

>

0,$N

,"

n

>

N

,|

xn

-

a

|<

e.nfi

¥即lim

xn

=

a2、精确定义注意：1）

e（>0）必须可以任意小，但给定之后就确定下来了。因为e可以任意小，所以e/2，2

e，e2等也是任意小的数。N与e有关。若N(e)存在，则必不唯一。几何解释：xa

-xN

+1a

+xN

+22ea当n

>

N时,

所有的点

xn都落在(a

-

e,

a

+

e)内,只有有限个(至多只有N个)落在其外.5)

收敛性和极限值都与数列中有限个项无关。可以任意改动、增删数列中有限个项，不影响其收敛性和极限值。注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.13/28例3

证明=

1.n

+(-1)n-1limnfi

¥n证xn

-

1

=nn

+

(-1)n-11-

1

=

nn任给e>

0,

要

xn-1

<e,

只要1

<e,e即n

>1

,所以,取N

=

[

1

]，

e

则当n

>N时,-

1

<

enn

+

(-1)

n

-1总有=

1.n

+(-1)n-1\

limnfi

¥n特别1给定e

=n

100,由1

<1

,100-

1

<n1

,

只要

n

>

100时,

有

x1001,

只要n

>1000时,10001给定e

=。100001n有

x

-1

<,10000给定e

=只要n

>10000时,,10001n有

x

-

1

<注意:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定e>0,说明相应的N存在,但不必求出最小的N.例5证明

lim

qn

=

0,

其中q

<

1.nfi

¥证n要使xn

-0

=q<

e,

即n

ln

q

<

ln

e,则当n

>N时,就有qn

-

0

<

e,\

lim

qn

=0.证毕。nfi

¥ln

q只要n

>

ln

e

,n

fi

¥

n

fi

¥则lim

q

n

=

lim

0

=

0;若q

=0,若0

<

q

<

1,

任给e>

0,ln

|

q

|\

取N

=

[

ln

e

]，例6xn

=

a

.设xn

>

0,且lim

xn

=

a

>

0,

求证limnfi

¥

nfi

¥证\

"

e

>

0,xn

=

a

.\

limnfi

¥

lim

x

n

=

a

,n

fi

¥$N

,使得当n

>

N时，恒有

xn

-

a

<

ae,nx

+xn

-

aa

<n从而有

x

-

a

=axn

-

aa<

ae

=

e，20/28二、收敛数列的性质1、有界性定义:

对数列{

xn

}，

若存在正数M

，

使得一切正整数n，

恒有

xn

£

M

成立，则称数列{xn}有界;否则，称为无界，从几何上看：数列{xn}

对应于点列可落于某个有界闭区间内。n

+1nnn例如,

数列

x

=

，有界；

数列

x

=

2n，无界。21/28定理1

收敛的数列必定有界.证nfi

¥设

lim

xn

=

a,由定义,取e=1,则$N

,

使得当

n

>

N时，恒有

xn

-

a

<

1,即有|

xn

|=|

xn

-a

+a

|£

|

xn

-a

|

+|

a

|<1+|

a

|.记

M

=

max{

x1

,,

xN

,1

+

a

},则对一切自然数

n,皆有

xn

£

M

,故{xn}有界.

证毕。推论

无界数列必定发散.22/28例7

{n+(-1)nn}:是无界的,0,

4,

0,

8,

0,

12,

…注意收敛有界;收敛 有界;发散 无界.发散无界.\{n+(-1)nn}发散.23/28例8n+1证明数列xn

=

(-1)

是发散的.证nnfi

¥设lim

x

=

a,由定义,2对于e

=1

,2$N

,

使得当

n

>

N

时,

有

x

-

a

<

1

成立

,n2

2n即当n

>

N时,

x

˛

(a

-

1

,

a

+

1

),

区间长度为1.而xn无休止地反复取1,-1两个数,不可能同时位于长度为1的区间内.\

{xn}发散.

证毕。2、唯一性定理2

每个收敛的数列只有一个极限.证设

lim

xn

=

a,

又lim

xn

=

b,nfi

¥

nfi

¥则：>0，$N1

,N

2，使得取e=2b

-

a2b

-

an

>

N1，恒有

xn

-

a

<

;22

nn

>

N

，恒有

x

-

b

<

b

-

a

;

（2）取N

=max{N1

,N

2

},则当n

>N时，有2x

<

a

+

b由（1）：n故收敛数列极限唯一.证毕。且a

<b,（1）2n由（2）：xa

+

b>矛盾！3.

保号性.若且

则(<

0)有(<

0)证:

对

a

>

0

,

取推论:若数列从某项起(£

0)(£

0).(用反证法证明)则4、子数列的收敛性的一个数列称为原数列{xn

}的子数列（或子列）．定义：在数列{xn

}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn

}中的先后次序，这样得到n

n=1例如，{

x

}¥是第k

项，nkk

k而

xn

在原数列

{xn

}中却是第

nk

项，显然，nk

‡

k.注意：

在子数列

{xn

}中，一般项

x：

xn

,

xn

,,

xn

,1

2

k1

2

n1,

xn

,,,

xn

,2

k：x

,

x

,,

x}¥nk

k

=1{

x奇子列{x2k-1}：由{xn}中所有奇数项组成的子列。偶子列{x2k}：由{xn}中所有偶数项组成的子列。26/28定理3

数列{xn}收敛于a

{x