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文档简介
PAGE第4页共5页等边三角形(提高)【学习目标】1.掌握等边三角形的性质和判定.2.掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质.3.熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.【要点梳理】要点一、等边三角形
等边三角形定义:三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释:由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包括等边三角形.要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质:等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点四、含30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释:这个定理的前提条件是“在直角三角形中”,是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一,通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形 1、已知:如图,B、C、E三点共线,,都是等边三角形,连结AE、BD分别交CD、AC于N、M,连接MN.求证:AE=BD,MN∥BE.证明:,都是等边三角形∴BC=AC,CE=CD,∠1=∠3=60°∠1+∠2+∠3=180°∴∠2=60°∴在和中(已证)∴△BCD≌△ACE(SAS)∴BD=AE(全等三角形对应边相等)(全等三角形对应角相等)在和中(已证)∴△BMC≌△ANC(ASA)∴MC=NC(全等三角形对应边相等)∵∠2=60°∴△MCN是等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形)∴∠6=60°,∴∠6=∠1∴MN∥BE(内错角相等,两直线平行)【总结升华】本题应从等边三角形的性质出发,利用三角形全等证明AE=BD;为证明MN∥BE,可先证明△MNC为等边三角形,再利用角去转化证明.举一反三:【变式】(2014秋•利通区校级期末)如图,△ABD,△ACE都是正三角形,BE和CD交于O点,则∠BOC=度.【答案】120°.解:∵△ABD,△ACE都是正三角形∴AD=AB,∠DAB=∠EAC=60°,AC=AE,∴∠DAC=∠EAB∴△DAC≌△BAE(SAS)∴DC=BE,∠ADC=∠ABE,∠AEB=∠ACD,∴∠BOC=∠CDB+∠DBE=∠CDB+∠DBA+∠ABE=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°.2、如图,△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连接CE、DE.求证:CE=DE.∴BH=2EH=4.同理可得,CH=2HD=2,∴BD=BH+HD=4+1=5.CE=CH+HE=2+2=4.【总结升华】已知条件中出现60°角与直角三角形并存时,应考虑到“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”,进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系,充分应用转化思想来解决问题.举一反三:【变式】如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F,∠BAC=120°.求证:.证明:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴,.∴.5、如图所示,在等边△ABC中,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,求证:BP=2PQ.【思路点拨】(1)从结论入手,从要证BP=2PQ联想到要求∠PBQ=30°.(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系.本题适合用“两头凑”的方法,从结论入手找已知条件,即BP=2PQ∠PBQ=30°,另一方面从已知条件找结论,即由条件△ACD≌△BAE∠BPQ=60°∠PBQ=30°,分析时要注意联想与题目有关的性质定理.证明:∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°.在△ACD和△BAE中,∴△ACD≌△BAE(SAS).∴∠CAD=∠ABE.∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°,∴∠ABE+∠BAP=60°,∴∠BPQ=60°.∵BQ⊥AD,∴∠BQP=90°,∴∠PBQ=90°-60
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