高数课件不定积分d35极值与最值

一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值问题第五节函数的极值与最大值最小值第三章机动目录上页下页返回结束一、函数的极值及其求法定义:在其中当(1)(2)时,则称

为 的极大点

,称 为函数的极大值

;则称

为 的极小点

,称 为函数的极小值

.极大点与极小点统称为极值点.机动目录上页下页返回结束注意:x3x4x2x5xbo

a

x1yx1

,x4

为极大点x

2

,x5

为极小点x3

不是极值点函数的极值是函数的局部性质.

对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.例如(P146例4)f

(x)

=

2x3

-

9x2

+12x

-

3是极大值是极小值为极大点,为极小点,xoy211

2机动目录上页下页返回结束定理1

(极值第一判别法)设函数f

(x)在x0

的某邻域内连续,且在空心邻域内有导数,当x由小到大通过x0

时,f

(x)“左正右负”,则f

(x)在x0

取极大值.f

(x)“左负右正”,则f

(x)在x0

取极小值;(自证)点击图中任意处动画播放\暂停机动目录上页下页返回结束例1.

求函数解:1)求导数233的极值.2-

1f

¢(x)

=

x

+

(x

-1)

x355xx-23

=

352)求极值可疑点令

f

(x)

=

0

,

得

x1

=

2

;令

f

(x)

=

¥

,

得

x2

=

03)列表判别xf

(x)f

(x)250+-+¥00-

0.33(-¥

,

0)5(0

,

2)5(2

,

+¥

)是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束定理2

(极值第二判别法)二阶导数,且则则在点 取极大值

;在点 取极小值

.-+证:(1)x

-

x0xfi

x0f

(x0

)

=

lim

f

(x)

-

f

(x0

)

=

lim

f

(x)xfi

x0

x

-

x0由

f

(x0

)

<

0知,

存在d

>

0,

当0

<

x

-

x0

<

d时,故当

x0

-d

<

x

<

x0

时，f

(x)

>

0;当x0

<

x

<

x0

+d时，f

(x)

<

0,x0

0x

+d0x

-d+-0由第一判别法知

f

(x)

在x

取极大值.(2)

类似可证.机动目录上页下页返回结束的极值.例2.

求函数解:1)求导数f

¢(x)

=

6x

(x2

-1)2

,f

¢(x)

=

6

(x2

-1)(5x2

-1)求驻点令

f

(x)

=

0,

得驻点

x1

=

-1,

x2

=

0,

x3

=1判别因

f

(0)

=

6

>

0,

故为极小值;又

f

(-1)

=

f

(1)

=

0,

故需用第一判别法判别.1xy-1机动目录上页下页返回结束0f

(n)

(x

)

„

0,定理3

(判别法的推广)数,且则:

1)

当n为偶数时,为极值点,且是极小点;是极大点.不是极值点.f

(n)

(x0

)+

(x

-

x0

)nn

!f

(x)

=

f

(x0

)

+

f

(x0

)(x

-

x0

)

++

o((x

-

x0

)n

)-+时,上式左端正负号由右端第一项确定,当 充分接近故结论正确

.2)当n为奇数时,证:

利用

在点的泰勒公式,可得机动目录上页下页返回结束例如,例2中f

¢(x)

=

24

x

(5x2

-

3),f

(–1)

„

0所以不是极值点.说明:

极值的判别法(定理1~定理3)都是充分的.当这些充分条件不满足时,

不等于极值不存在

.例如:f

(0)=2

为极大值,但不满足定理1~

定理3

的条件.xy-1

1机动目录上页下页返回结束二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:的极值可疑点内f

(a),

f

(b)}求

在最大值M

=

max{最小值机动目录上页下页返回结束特别:当

在 内只有一个极值可疑点时, 若在此点取极大

(小)值

,

则也是最大(小)值

.当

在 上单调时,

最值必在端点处达到.对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.机动目录上页下页返回结束f

(x)

=

x

(2x2

-

9x

+12)D

=

(-9)2

-

4 2

12

=

81-96

<

0\

2x

2

-

9x

+12

>

0-

1

£40

<45在闭区间x

£

0x

£

52例3.

求函数上的最大值和最小值.解:显然且-(2x3

-

9x2

+12x),2x3

-

9x2

+12x

,f

¢(x)

=

2

6xx1

=

0,

x2

=1,

x3

=

22故函数在

x

=

0

取最小值

0

;

在

x

=1及5

取最大值

5.-18x

+12

=

6(x

-1)(x

-

2),

0

<

x

£

2

-

6x2

+18x

-12=

-6(x

-1)(x

-

2),

-

1

£

x

<

0521

2-14机动目录上页下页返回结束j

(x)

=

f

2

(x)说明:令由于j

(x)与f

(x)最值点相同,因此也可通过j

(x)求最值点.

(

自己练习)在闭区间例3.

求函数上的最大值和最小值.机动目录上页下页返回结束(k

为某一常数)20CA

x-

3),400

+

x25xy¢=k

(400(400

+

x2

)32y¢=

5

k令

得

又所以x

=15为唯一的202

+x2

,总运费极小点

,

从而为最小点

,

故

AD

=15

km

时运费最省

.物从B

运到工厂C

的运费最省,

问D

点应如何选取?解:

设AD

=

x

(km)

,

则

CD

=D

B100例4.

铁路上AB

段的距离为100

km,工厂C

距A

处20Km,AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条公路,已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货机动目录上页下页返回结束例5.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h

和b

应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd6=

1

b

(d

2

-b2

),b

˛(0,

d

)w¢=

1

(d

2

-3b2

)1

dd

:

h

:

b

=

3

:

2

:132

d6b

=

3h

=

d

2

-

b2

=令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.机动目录上页下页返回结束a例6.

设有质量为

5

kg

的物体置于水平面上

,

受力

作P解:克服摩擦的水平分力正压力\F

cos

a

=

m

(5g

-

F

sina

)cosa

+

m

sina5m

gF

=

,2a

˛

[0,

p

]即令j

(a

)

=

cosa

+

m

sina则问题转化为求j

(a

)的最大值问题.a

为多少时才可使力用开始移动,

设摩擦系数 问力 与水平面夹角F的大小最小?机动目录上页下页返回结束令j

(a

)

=

-cosa

-

m

sina解得而j

(a)<0,因而F

取最小值.FaP即令cosa

+

m

sina5m

gF

=

,2a

˛

[0,

p

]j

(a

)

=

cosa

+

m

sina则问题转化为求j

(a

)的最大值问题.解:机动目录上页下页返回结束x1.41.8q清楚(视角q

最大)?解:

设观察者与墙的距离为

x

m

,

则x

x=

arctan1.4

+1.8

-

arctan1.8

,x

˛

(0,

+¥

)-

3.2

1.8

-1.4

(x2

-

5.76)q

=

x2

+

3.22

+

x2

+1.82

=

(x2

+

3.22

)(x2

+1.82

)令q

=0,得驻点x

=2.4

˛

(0,+¥

)根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,

驻点又唯一,

因此观察者站在距离墙

2.4

m

处看图最清楚

.例7.

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼睛1.8

m

,

问观察者在距墙多远处看图才最机动目录上页下页返回结束内容小结1.

连续函数的极值极值可疑点:使导数为0

或不存在的点第一充分条件过过由正变负由负变正为极大值为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值-+(4)判别法的推广(Th.3)定理3目录上页下页返回结束思考与练习2.

连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.(x

-

a)2xfia1.

设

lim

f

(x)

-

f

(a)

=

-1,

则在点

a

处().(

A)

f

(x)

的导数存在

,

且

f

(a)

„

0；(C)

f

(x)取得极小值;(L.

P500

题4)B(B)

f

(x)取得极大值;(D)

f

(x)的导数不存在.提示:

利用极限的保号性

.机动目录上页下页返回结束2.

设

f

(x)

在

x

=

0

的某邻域内连续,

且

f

(0)

=

0,limf

(x)xfi

01-

cos

x=

2,

则在点

x

=

0

处

f

(x)

(

D

).不可导;可导,

且

f

(0)

„

0;取得极大值;取得极小值.提示:

利用极限的保号性

.机动目录上页下页返回结束取得极大值;取得极小值;在某邻域内单调增加;在某邻域内单调减少.提示:f

(x0

)

=

-4

f

(x0

)

<

03.

设

y

=

f

(x)

是方程

y

-

2

y

+

4

y

=

0

的一个解,若

f

(x0

)

>

0,

且

f

(x0

)

=

0,

则

f

(x)

在

x0

(

A

)机动目录上页下页返回结束作业P1603;

5

;1

(5),

(9);

2;10;

14;

15第六节目录上页下页返回结束3f

(x)

=

a

sin

x

+

1

sin

3x2解:

f

(x)=

由题意应有又\3f

(x)取得极大值为f

(2

p

)=3备用题

1.