2022-2023学年高二数学题型归纳与分阶培优练06圆（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题6圆

目录

一、热点题型归纳

【题型一】求圆1:圆心在直线上求方程...........................................................1

【题型二】求圆2：外接圆.......................................................................3

【题型三】求圆3：内切圆.......................................................................5

【题型四】点与圆的关系........................................................................7

【题型五】弦长与弦心距.........................................................................9

【题型六】到直线距离为定值的圆上点个数......................................................11

【题型七】弦长与弦心距：弦心角...............................................................12

【题型八】圆过定点............................................................................13

【题型九】两圆位置关系........................................................................15

【题型十】两圆公共弦.........................................................................17

培优第一阶——基础过关练......................................................................18

培优第二阶——能力提升练......................................................................21

培优第三阶——培优拔尖练......................................................................24

【题型一】求圆1：圆心在直线上求方程

【典例分析】

(2022•全国•高二)已知圆M的圆心在直线x+y-4=0上，且点A(l,()),8(0,1)在M上，则

历的方程为()

A.(x-2)2+(y-2)2=13B.(x-1)2+(^-1)2=1

C.(x-2)2+(y-2)2=5D.(x+l)2+(y+l)2=5

【答案】C

【分析】由题设写出AB的中垂线，求其与x+y-4=0的交点即得圆心坐标，再应用两点距

离公式求半径，即可得圆的方程.

【详解】因为点4L0),8(0,1)在M上，所以圆心在AB的中垂线x—y上.

y_4=0fx=2i--------------------「

由，、，解得c，即圆心为(2,2),则半径r=J(2-l)2+(2-0)2=石,

所以M的方程为(x-2)2+()，-2了=5.

故选：C

【提分秘籍】

基本规律

1.圆的一般方程/+产+6+或+尸=0(£>2+炉-4尸>0)表示的圆的圆心为(-々，-言

半径长为gjc2+E，一4下.

2.圆的标准方程：

(x—a)2+(y—b)2=r(r>0)>其中(a,6)为圆心,二为半径

【变式训练】

1.(2022•安徽省亳州市第一中学高二阶段练习)已知圆C过点47,-2),5(4,1),且圆心在x

轴上，则圆C的方程是()

A.(x-5)2+V=8B.(x-6)2+y2=5C.(x-5)2+/=4D.(x-4)2+y2=13

【答案】B

【分析】根据圆心在x轴上，设出圆C的方程，把点A(7,-2),8(4,1)的坐标代入圆的方程

即可求出答案.

【详解】因为圆C的圆心在x轴匕所以设圆C的方程为(x-。)2+丁=',

（7-。『+4=/，

因为点A(7,-2),3(4,1)在圆C上，所以,、2,，解得a=6,r=5,

（4一。）~+1=r~

所以圆C的方程是(％-6)2+>2=5.

故选：B.

2.(2021・山西・太原市第六十六中学校高二期中)过点〃(2,-1),且经过圆

f+y2_4x_4y+4=0与圆/+>2_4=0的交点的圆的方程为()

A.x2+y24-x+^-6=0B.x2+y2+x-y-8=0

C.x2+y2-x+y-2=0D.x24-y2-x-y-4=0

【答案】A

【分析】根据题意，设所求圆的方程为Y+丁—4x-4y+4+4(f+y2—4)=。，再待定系数

求解即可.

【详解】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为f+y2-4x-4y+4+4(r+y2-4)=0,

因为所求圆过点〃(2,-1),

^W22+(-l)2-4x2-4x(-l)+4+/l[22+(-l)2-4]=0,解得：4=—5

所以所求圆的方程为：x2+y2+x+y-6=0

故选：A

【题型二】求圆2：外接圆

【典例分析】

(2022•福建漳州•高二期末)在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为

该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最

小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A(-2,0),8(2,0),C(0,4),则一A8C的最小覆盖圆的半

径为()

35

A.—B.2C.-D.3

22

【答案】c

【分析】根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】,4-2,0),8(2,0),

C(0,4),

AABC为锐角三角形，・•.AABC的外接圆就是它的最小覆盖圆,

4-2D+F=00=0

设,ABC外接圆方程为V+V+m+Ey+F=(),则,4+2。+尸=0,解得,E=-3

16+4£+F=0F=-4

•1."ABC的最小覆盖圆方程为V+/-3y-4=0,即x2+(y-^)2,

.•.△ABC的最小覆盖圆的半径为|■.故选：C

【提分秘籍】

基本规律

求外接圆：

1.利用一般方程,把三个点代入求解

2.外接圆是三边中垂线的交点，可以分别求出两边的中垂线方程，接触交点坐标即为圆

心。

【变式训练】

1.(2022・全国•高二专题练习)已知AABC的顶点坐标分别为A(1,3),8(-2,2),C(1,

-7),则该三角形外接圆的圆心及半径分别为()

A.(2,-2),V5B.(1,-2),75

C.(1,-2),5D.(2,-2),5

【答案】C

【分析】根据题意，设三角形外接圆的圆心为M,其坐标为(a,b),半径为广，由|M4|=|MC]

和求出“、力的值，可得圆心坐标，进而可得，•的值，即可得答案.

【详解】根据题意，设三角形外接圆的圆心为其坐标为(a,b),半径为r,

△ABC的顶点坐标分别为A(1,3),8(-2,2),C(I,-7),

\MA\=\MC\,必有==-2,

则有(a-1)2+25=(。+2)2+16,解可得。=1,

则r=|M4|=5；

即圆心为(1,-2),半径r=5；

故选：C.

2.(2021・全国•高二专题练习)已知曲线y=x?+X-2020与x轴交于M,N两点，与y轴交于

P点,则外接圆的方程为()

A.x2+/+x-2019y-2020=0B.x2+/+x-2021>>-2020=0

C.x2+j2+^+2019y-2020=0D.x2+/+x+2021.y-2020=0

【答案】C

【分析】设NWZVP外接圆的方程为/+/+6+出+F=0,分别令x=O,y=O,结合韦达定

理求得DE,F,代入即可求得圆的方程.

【详解】设△MNP外接圆的方程为/+/+6+助+尸=0,点。是AWVP的外接圆与)，轴

的另一个交点，

2

分别令x=0,y=0,则/+6+尸=0,X+DX+F=0.

设加(玉,0),%(々,0),/>(0,%)。(0,%)，则中2=弘％,又曲线丫=X：!+》-2020与工轴交于M,

N两点，

则为巧=-2020,xt+x2=-],yt=-2020,£)=1,F=-2020,所以必=1，

E=-(y1+y2)=-(-2020+l)=2019,

故AMNP夕卜接圆的方程/+/+x+2019)，一2020=0.

故选：C.

3.(2022•江苏•高二单元测试)已知圆C:(x-l)2+(y-l)2=4,P为直线/：2x+y+2=0上的

动点，过点尸作圆C的切线F4,切点为A,当△R4C的面积最小时，△A4C的外接圆的方

程为()

【答案】C

【分析】先确定△R4C的面积最小时尸点坐标，再由△R4C是直角三角形求出外接圆的圆

心和半径，即可求出外接圆方程.

S.=啊•|AC|=|P4|=J|PC『TAC|2=一4,要使△PAC的面积最小,即PC最小,

PC的最小值为点C(U)到直线/：2x+y+2=0的距离景?=右,即当尸点运动到

PC，/时，S%c最小，直线/的斜率为一2,此时直线PC的方程为y-l=g(x-l),由

_(-

V1=―2、X1,)，解得；二，所以限2,因为“AC是直角三角形，所以斜边PC的

[2x+y+2=0

中点坐标为(0，；

,而附|=J(l+])2+(1-0)2=石,所以△B4C的外接圆圆心为

半径为堂，所以△H4C的外接圆的方程为x2+(y_gj=1.

故选：C.

【题型三】求圆3：内切圆

【典例分析】

(2022•全国•高二单元测试)已知三角形三边所在直线的方程分别为)，=0、x-y+2=0和

x+y-4=0,求这个三角形的内切圆圆心和半径.

【答案】圆心(1,30-3)；半径为3夜-3.

【分析】由三角形所在位置设出其内切圆圆心坐标，利用三角形内切圆性质列方程，求解作

答.

[y=0

【详解】依题意，由广。八得直线y=o与％-"2=0的交点8(-2,0),

[x-y+2=0

[y=0

由《)八得直线y=o与1+>-4=0的交点C(4,0),

[x+y-4=0

fx-y+2=0-

由《彳八得直线17+2=0与%+'—4=0的交点41,3),

[x+y-4=0

显然4?，他，且|4(7|=|48|=3&,即aABC是等腰直角三角形，则直线x=l平分ZB4C,

设4ABe的内切圆圆心为“(1,力，0<b<3,则6=|*3=七*4,解得6=3点-3,

即用(1,30-3),半径心=3层3,

所以这个三角形的内切圆圆心和半径分别为圆心(1,3夜-3),372-3.

【提分秘籍】

基本规律

求内切圆：

1.内切圆是角平分线的交点，可以求出三角形两条角平分线，解出交点即为圆心

2.待定系数法，到三边距离相等的点即为内心

【变式训练】

1.(2022•全国•高二课时练习)若直线3x+4y+12=0与两坐标轴分别交于A,B两点，。为

坐标原点，则A4QB的内切圆的标准方程为.

【答案】(x+l)2+(y+l)2=l

【分析】结合三角形面积计算公式，建立等式，计算半径r,得到圆方程，即可.

【详解】设内切圆的半径为「，结合面积公祐3"+"5”M8.冉34

则r=l因而圆心坐标为（-1,一1）,圆的方程为（x+炉+（y+l）2=1

2.（2022•重庆南开中学高二阶段练习）平面直角坐标系中，点A卜6,3）、川-8,-3）、

C（2A/3,0）,动点P在ABC的内切圆上，则;|尸。|-|尸山的最小值为.

【答案】一地##-3"

22

【分析】求出ABC的内切圆方程，设点尸（X,力，计算得出|PC|=2四，其中点E俘,o],

k7

数形结合可求得g|PC|-|PA|的最小值.

【详解】由两点间的距离公式可知\AB\=\BC]=\AC]=6,则AABC是边长为6的等边三角形,

设，ABC的内切圆的半径为r,则5小叱=¥'62=｝，18,解得r=百，

因为点A、8关于x轴对称，所以，ABC的内切圆圆心在x轴上，

易知直线AB的方程为x=-G,原点。到直线AB的距离为6，

所以，ABC的内切圆为圆0:/+丫2=3,设点尸（x,y）,

|PC|=4x-2琦+V=6+9―4&+12=也丁-4后+3+4/

=J（2x-6）+4）2=2/x~~^~+；/=2归同，其中点E会，

所以，^|PC|-|PA|=|PE|-|PA|>-|AE|=-^-^-^+W=-平，

当且仅当点尸为射线AE与圆。的交点时，等号成立，故JPC|-|P4|的最小值为-乎.

故答案为：-亚.

2

3.（2016・重庆•一模（理））已知直线4：x+2y=a+2和直线/2：21-丁=2〃-1分别与圆

(x-4)2+(y-1)2=16相交于A8和C,。，则四边形ACBD的内切圆的面积为.

【答案】8兀

【分析】由两直线方程，得出两直线垂直且交于点结合圆的几何性质判断出四边形

AC8D是边长为40的正方形，其内切圆半径为2夜，由此可求得答案.

x+2y=a+2x-a

【详解】联立2—解得

y=i

即宜线4：x+2y=a+2和直线/2：2》-丫=2〃-1互相垂直且交于点3,1),

而(凡1)恰好是圆(x-〃)2+(>-1)2=16的圆心，

则A8,C力为圆的两条互相垂直的直径，且AB=C£>=8,

所以，四边形AC8O是边长为4人的正方形，

因此其内切圆半径是2夜，面积是无、(2&)2=阮，

故答案为：8限

【题型四】点与圆的关系

【典例分析】

(2021•全国•高二课时练习)如果直线2依-勿+14=0(4>0,。>0)和函数

f(x)=，”川+1("?>0,m*1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆

(x-a+l)2+(y+b-2)2=25的内部或圆上,那么2的取值范围是()

a

34

A.B.14'3

4,3

34

C.。•瑞)

4,3

【答案】C

【分析】由已知可得°+。=7,(4>0力>0).再由由点(―1,2)在圆(x-a+l)2+(y+8-2)2=25

内部或圆上可得a2+b2<25(«>0,fe>0).由此可解得点(。力)在以A(3,4)和8(4,3)为端点

的线段上运动.由，表示以A(3,4)和8(4,3)为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可

得选项.

【详解】函数/(x)="”+l恒过定点(-1,2).将点(-1,2)代入直线2依-外+14=0可得

-2a-2b+\4-0,即a+6=7,(a>0,6>0).

由点(T,2)在圆(x-a+l)2+(y+6-2)2=25内部或圆上可得(T-a+iy+(2+b-2)2s25,

a+b=Ja=3：=所以点(4⑼在以A(3,4)和

即〃+从＜25(。＞0力＞0).a2+b2=2508=4或

0=3

矶4,3)为端点的线段上运动.

，表示以4(3,4)和3(4,3)为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率.所以

_3-0_3传)_4-0_4而

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

圆的标准方程（X—4+。一〃）2=户，一般方程/+产+以+4+尸=0,点M（xo,州），则有:

（1）点在圆上：（期一〃）2+（yo-6）2=八,x^+y^+Dx（）+Eyo+F=O；

（2）点在圆外：（枇一。）2+（V0一8）2>户,x（）2+yo2+Dxo+Eyo+F>0；

（3）点在圆内：。一“A+（为一/?）2<户,xo2+yo2+Dxo+Eyo+F<O.

【变式训练】

1.（2022.安徽.合肥市第八中学高二开学考试）若点NT?）在圆C：x2+y-2x-2y+a=0

的外部，则实数〃的取值范围为（）

A.av-3B.a>—3C.—3vav2D.—2vav3

［答案］C

【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式求解，并注意方程表示圆所满足的条件.

【详解】因为点R（—l,2）在圆C：Y+y2-2x-2y+a=0的外部，

所以1+4+2-4+a>0,

解得a>-3,

又方程*2+;/-2x-2y+a=0表示圆，

所以（-2）2+（-2）2-4a>0,

解得a<2,

故实数a的取值范围为-3<“<2.

故选：C

2.（2020.河北.高二期中）直线侬+〃>』与圆Y+y2=1有两个公共点，那么点.力）与圆f+y2=l

的位置关系是（）

A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定

【答案】A

【解析】直线m+gr与圆V+V=l有两个公共点，可得/J丁<1,即为

•4a-+b-

由此可得点与圆的位置关系.

【详解】因为直线小方=|与圆x?+y2=i有两个公共点，

所以有71'，</，即CTP'AI，因为点（上。）与W+y2=l的圆心的距离为主，

\ja+b

圆/+丁=4的半径为1,所以点P在圆外.故选：A.

3.（2021.辽宁.沈阳市第一中学高二阶段练习）已知三点A（3,2）,8（5,-3）,C（—1,3）,以尸（2,-1）

为圆心作一个圆，使得A,B,C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外,

则这个圆的标准方程为.

【答案】（x-2）2+（y+l）2=13

【分析】计算PAP8,PC,根据大小确定半径，即可求出圆的方程.

【详解】「始=屈，PB=V13,PC=5,

:.PA<PB<PC,

故所求圆以尸8为半径，方程为2）2+（y+1）2=13.

故答案为：（x-2）2+（y+l）2=13

【题型五】弦长与弦心距

【典例分析】

（2021•江苏•滨海县八滩中学高二期中）已知圆C：（x-3j+（y-2）2=16,直线/：y=x+t

与圆C交于A,B两点，且.ABC的面积为8,则直线/的方程为（）

A.y=x-3^y=x-5B.y=x+3或y=x+5

C.y=x+3或y=x-5D.y=x-3或y=x+5

【答案】c

【分析】由三角形面积定理求出等腰三角形顶角，进而求出其高，再用点到直线距离得解.

【详解】由圆C的方程可得圆心C的坐标为（3,2）,半径为4.•••ABC的面积为

—x4x4sinZACB=8,

2

ZACB=90°,：.CBLCA,.•.点C至U直线AB的距离为2夜.

由点到直线的距离公式可得点C到直线的距离为IM=2&,

，f=3或f=-5,；./的方.程为y=X+3或y=x-5.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

弦长问题：用勾股，即圆的半径为「，弦心距为4弦长为/,则根据勾股得住下=/一/

【变式训练】

1.（2021・江苏•高二期中）己知的「QWV三个顶点为。（0,0）,“（6,0）,N（8,4）,过点（3,5）

作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC,BD,则四边形ABC。的面积为（）

A.1（）76B.2。瓜C.30瓜D.4076

【答案】B

【分析】由己知。，M,N三点的坐标可得OMN外接圆的方程，根据题意可知，过（3,

5）的最长弦为直径，最短弦为过（3,5）且垂直于该直径的弦，利用对角线垂直的四边形

的面积等于对角线乘积的一半即可求得面积.

【详解】设OMN的外接圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=凡

由O（0,0）,M（6,0）,N（8,4）,得

a2+b2=r2卜=3

-（6-«）2+fe2=r2,解得»=4.

（8-a『+（4-6/=r［r=5

.•.圆的标准方程为（x-3）2+（y-4）2=52,

点（3,5）在圆内部，

由题意得最长的弦|AC1=2X5=10,

点（3,5）到圆心（3,4）的距离为1.

根据勾股定理得最短的弦|5。|=2行二［=4几，且ACLBD,

四边形ABCD的面积S=g|Aq・|8D|=gx1Ox4#=20限.

故选:B.

2.（2022•四川成都•高二开学考试（文））直线/与圆（x-2）2+V=4相交于A,B两点，则弦

长|4叫=26且在两坐标轴上截距相等的直线/共有（）.

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

【玄析】先利用题意得到圆心到直线/的距离，然后分直线过原点和不过原点进行假设直线

方程，结合弦长即可得到答案；

【详解】解：由（x-2）2+f=4可得圆心为（2,0）,半径为2,

所以圆心到直线I的距离为d=在一向2=1，

当直线不过原点时，设直线/的方程为由+上=1即彳+>-«=0,

aa

所以圆心到直线/的距离为d=上雪=1,解得”=2土血，

Vl2+12

此时直线/为x+）-2+0=O或x+y-2-&=0；

当直线过原点时，设直线/的方程为即丘-y=0,

\2k\A

所以圆心到直线/的距离为d=历"斤=1，解得％=±与，

此时直线/为y=曰犬或丫=-第X；

综上所述，直线/共有4条，

故选：D.

3.（2022•江西南昌・模拟预测（文））若直线x=20y-3&与圆/+V=4相交于A8两点，

。为坐标原点，则。4—AB=（）

A.2A/2B.4C.-2>/2D.—4

【答案】D

【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求出|AB|，然后利用

向量的数量积的定义及几何意义可求得结果.

［详解】由题意得圆%2+/=4的圆心。（0,0）到直线%=2忘），-3忘的距离为

13夜|=亚,所以网=^4-（&尸=0,所以|AB|=2夜，

在+（2回22

所以O4A8—O⑷A@cos（乃-NOAB）=TOMA@COSNOAB二口@=4故选：口

【题型六】到直线距离为定值的圆上点个数

【典例分析】

(2021.天津市西青区杨柳青第一中学高二期中)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=9上存在四个

点到直线/：x-y+O=O的距离等于2,则实数8范围是()

A.(-oo,l-5>/2)u(l+5^,+oo)B.(1-5N/2,1+55/2)

C.(f1-应)=0+"+8)D.(1-72,1+72)

【答案】D

【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于1,即求.

【详解】由C:(x-iy+(y—2)2=9知圆心<：(1,2),半径为3,

若圆C:(x-1)2+(y-2)2=9上存在四个点到直线/：x-y+人=0的距离等于2,

.匕2+.々

则点C到直线/：x-y+b=o的距离d<l,...1-夜<6<1+应.故选:D.

【变式训练】

1.(2020•全国•高二课时练习)己知圆(x-2)2+(y+l/=12上恰有三个点到直线/:丘+y=0

距离等于G，则直线/的斜率为()

A.2±B.—2+瓜C.yfb±2D.—>/6±2

【答案】A

【分析】由于圆(x-2y+(y+l)2=i2上恰有三个点到直线/:Ax+y=0距离等于6,而圆的

半径为2石，所以只要圆心到直线/的距离等于半径的一半即可，然后利用点到直线的距离

公式列方程可求出直线的斜率.

|21|

【详解】解：由题意，圆心到直线/的距离等于半径的一半,所以，解得k=2±瓜，

42+1

故选：A.

2.(2016•湖北黄石•高二阶段练习)能够使得圆V+y2-2x+4y+l=0上恰好有两个点到直线

2x+y+c=0的距离等于1的一个c值为

A.2B.石C.3D.3石

【答案】C

【分析】根据当例到直线/：2v+y+c=0的距离4G(1,3)时，0M上恰有两个点到直线/

的距离等于1求解.

【详解】解：圆的方程可化为：(x-iy+(y+2)2=4,

所以圆心A/(1,-2),半径，=2,

由题意知：当M到直线/：2r+y+c=0的距离de(1,3)时，OM上恰有两个点到直线/的

距离等于1,

d喝€(1.3),得ce(-3技-@5石,3回而非<3<3非,所以满足题意的c可以是

3故选：C

3.(2021•山东・日照青山学校高二期末)定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等

于1,那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”.则下列直线是圆C:(x+iy+(y-2)2=4的“相

关直线”的为()

A.y=lB.3x-4^+12=0

C.2x+y=0D.12x—5y—17=0

【答案】BC

【分析】分析可知，圆心C到“相关直线”的距离d满足4<1,然后计算出圆心到每个选项

中宜线的距离，即可得出合适的选项.

【详解】由题意可知，圆C的圆心为c（-1,2）,半径为r=2.

设圆心C至犷相关直线”的距离为d,由图可知1+1<2,可得“<1.

|3x(-l)-4x2+12|_1

对于A选项,〃=|1一2|=1,不合乎题意；对于B选项，d=合乎

F+E5，

题意;

-12-5x2-17.

对于C选项,d=O,合乎题意；对于D选项，d=­/、2=3,不合乎题意.故选:

BC.

【题型七】弦长与弦心距：弦心角

【典例分析】

（2022•江苏•高二课时练习）若直线y=%x+l与圆/+丁=1相交于A,B两点，且

4408=60（其中。为原点），则％的值为（）

A.一也或如B.f

C.-上或0D.72

33

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.

由NAOB=60可知，圆心（0,0）到直线y=%x+l的距离为走，根据点到直线的距

【详解】

1

离公式可得故选:

yli2+k22

【变式训练】

3

1.（2023•全国•高二专题练习）已知直线…+冲+1=。与圆下相交于不同的

两点A,B,若NAOB为锐角,则机的取值范围为（）

A.B.

33）

巫坦）

C.,+8D.亍，可

【答案】A

【分析】以N40B为直角时为临界，此时圆心。到直线/的距离d==半，根据

VI+w22V2

题意可得f<d<@,代入求解.

2A/22

【详解】因为直线/：X+阳+1=0经过定点（—1,0）,圆。f+y2=T的半径为立，

当NAO5为直角时，此时圆心。到直线/的距离4=了三=系，解得加上半，

则当ZAOB为锐角时，网<半.

又直线与圆相交于A,B两点,则4="^〈堂，即同>走，

y/1+m22113

所以一巫<〃i〈一立或且〈加〈巫，故选：A.

3333

【题型八】圆过定点

【典例分析】

（2022.江苏.高二课时练习）点P（x,y）是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，则

以0P为直径的圆经过定点（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【答案】D

【分析】设点尸（r,5-2r）,求出以OP为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点

坐标.

【详解】设点尸（r,5-2f）,则线段OP的中点为一｝

M+(5-2f)2_V5r-20z+25

圆M的半彳仝为=

―T~

所以，以OP为直径为圆的方程为［x—；J+（y—三J=5/一:/+25

即X2+y2-/X+(2r-5)y=0,即(x?+y2-5y)+r(2y-x)=0,

2y-x=0、=°或,x=2

由,解得

—十丁-5y=0y=0y=i

因此，以OP为直径的圆经过定点坐标为（0,0）、（2,1）.

故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

f(x,y)=0

类比含参直线过定点。形如f（x,y）+4g（x,y）=0,则圆恒过<

g(x,y)=0交点

【变式训练】

1.

(2022•河北沧州•高二期末)己知点A为直线2x+y-10=0上任意一点，。为坐标原点.则

以。4为直径的圆除过定点(0,0)外还过定点()

A.(10,0)B.(0,10)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】D

【分析】设。3垂直于直线2x+y-10=0,可知圆恒过垂足8：两条直线方程联立可求得5

点坐标.

【详解】设。8垂直于直线2x+y-10=0,垂足为B,则直线08方程为：y=gx,

由圆的性质可知：以04为直径的圆恒过点8,

2x+y-10=0

工=4

由41,=2，•.・以04为直径的圆恒过定点(4,2).

y=­x

I2

故选：D.

2.(2022.宁夏.银川一中高二期末)如果直线2以一与+14=0(a>0力>0)和函数

/(九)=机㈤+1(m>0,mw1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆

(x-a+l)2+(y+/?-2)2=25的内部或圆上，那么2的取值范围是()

a

【答案】C

【分析】由已知可得a+6=7,(a>0,6>0).再由由点(—1,2)在圆(、-。+1)2+G+匕-2)2=25

内部或圆上可得/+b2<25(«>0,&>0).由此可解得点(。力)在以4(3,4)和8(4,3)为端点

的线段上运动.由，表示以A(3,4)和8(4,3)为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可

得选项.

【详解】函数/(x)="W+l恒过定点(-1,2).将点(-1,2)代入直线2or-分+14=0可得

一2“一2人+14=0,即a+6=7,（a>0,6>0）.

由点（―1,2）在圆（x-a+l）2+（y+6—2）2=25内部或圆上可得（一1-〃+1）2+（2+0-2）2425,

/、[a+b=l[a=3f«=4,、zx

即〃+从425（。>0力>0）..2+62=25=i或b=3.所以点（.㈤在以、。，4）和

B（4,3）为端点的线段上运动.

，表示以4(3,4)和8(4,3)为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率.所以

磔,4)

、石a,3)

bI4—043Z?4

4-04’1/k三所叼宁#选《

3.(2022•全国•高二)若动圆C过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8,则动圆圆心

C的轨迹方程是()

A.--^-=1B.—-21=i(y>2)C./=8xD.y2=8x(x40)

412412V7'

【答案】C

【分析】设c(x,y)并作CE_Ly轴于E，中垂径定理得|M©=4，又|CA『=|CM「=|ME「+但。「，

利用两点间的距离公式化简，即可得结果.

【详解】设圆心C的坐标为(％y)，过C作CE_Ly轴，垂足为E，则|加=4,

.-.|C4|2=|CM|2=|ME|2+|£C|2,

.'.(x-4)2+y2=42+x2,得y2=8x.

故选：C.

【题型九】两圆位置关系

【典例分析】

(2021•浙江•兰溪市厚仁中学高二期中)己知圆C1：x2+y2=16和圆C2：

(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),则()

A./*=2时，两圆相交B.厂=1时，两圆内切

C./'=9时，两圆外切D.r=10时，两圆内含

【答案】AD

【分析】根据题意得两圆圆心距为|GG|=5,圆G半径R=4,再依次讨论求解即可得答案.

【详解】解：由题知圆x?+y2=16的圆心为(0,0),半径R=4；

圆C2：(x-3)2+(>-4)2=》(「>0)的圆心为(3,4),半径「,

所以两圆圆心距为IGG|=5,

故对于A选项，当r=2,2=/?-r<|C,C2|=5<7?+r=6,故两圆相交，正确；

对于B选项，当r=l,|GG|=5=R+〃，故两圆外切，错误；

对于C选项，当r=9,r-R=|GG|=5,故两圆内切，错误；

对于D选项，当r=10,r-/?>|C,C2|,故两圆内含，正确.

故选：AD

【提分秘籍】

基本规律

圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为4,两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判

断方法如下：

位

置

关外离外切相交内切内含

系

图

示*(o

d与

弓，

1C,c\>r+r=r+r|CG|>|4-弓1

r22x2ICG\i2

的

关

系

(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.

圆G方程］

圆C?方程j消元，一元二次方程

△＞0n相交一

-A=On内切或外切

△＜0=＞外离或内含

【变式训练】

1.(2020•湖南省邵东市第一中学高二期末)已知圆。/:。一4)2+。一切2=4,02：。一。一

+(y—h—2)2—\(a,R),则两圆的位置关系是()

A.内含B.内切C.相交D.外切

【答案】C

【详解】两圆圆心之间的距离为|。/。2尸后，由1＜行＜2+1=3,所以两圆相交，答案

C

2.(2022•全国・高二专题练习)分别求当实数k为何值时，两圆C/：f+y2+4x—6y+12=0,

C：x2+V一统一14了+左=0相交和相切.

【2答案】答案见解布

【分析】根据两圆的位置关系，可得圆心距和半径之间的关系，由两圆半径分别为1和

同二I,以及圆心距|C/C2|=5,进行比较即可得解.

【详解】将两圆的一般方程化为标准方程，

Cl：(x+2)2+(y—3)2=1,

C2：(X-1)2+。-7)2=50—鼠

圆。的圆心为。(一2,3),半径长〃=1；

圆C2的圆心为C2(l,7),半径长，-2=J50-Aa<50),

从而|GC2|=J(-2_1尸+(3-7)2=5,

当1+J50-4=5,即左=34时，两圆外切.

当IJ50-Z—1|=5,即J50-&=6,

即％=14时，两圆内切.

当W50-Z-1|<5<1+y/50-k.

即14〈氏<34时，两圆相交，

...当《=14或％=34时，两圆相切，当14Vz<34时，两圆相交.

【题型十】两圆公共弦

【典例分析】

(2022•全国•高二课时练习)已知圆G：/+>2-履-2>=0和圆C2：x?+y2-2妙-2=0相交，贝I」

圆C1和圆J的公共弦所在的直线恒过的定点为()

A.(2,2)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,1)

[答案]B

【分析】根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案.

【详解】根据题意，圆G：/+产一日-2y=。和圆a：/+)3一2@-2=0相交，

fx24-y2-Ax-2y=0