金融市场中的维纳过程及小事件概率培训讲义

第七章

金融市场中的维纳过程和小概率事件第一节随机环境中的微分第二节两个一般模型第三节罕见和正常事件的描述第四节小概率事件的模型设一资产价格为时间上随机变量第一节随机环境中的微分则在给定的时间段上资产价格的变化是随机的，其随机微分形式为首页先构建离散时间的随机微分等式分成长度为h的n等份,则在这些有限间隔内价格的观察值和增量为：一、随机微分的构建首页其中表示在间隔结束时的可得信息的情况下，完全不可知；反映在第k个间隔内资产价格的真实变化。表示在间隔结束时的可得信息的期望条件，反映在给出信息集情况下市场参与者的预期。则是中的一部分，称为“革新项”革新项具有特征1、在间隔结束时未知，而在间隔k结束时可观察到。即知道信息，就能说出其确切值，且首页表示在鞅过程中的变化，称作鞅微分。2在给出时刻的信息集的情况下，其值是不可测的。3即对于所有的k记累加的误差过程：原因是首页对于一个金融市场参与者来说，其在资产价格中的重要信息是。这些不可测的信息连续发生并且能被在线观察到。因此，资产价格的在线运动就由控制。说明二、递增误差的大小革新项表示一个不可测的变化，其平方项是不可忽略的。（这与传统微分不同）设的方差为，即累积误差的方差且之间不相关，以及干扰项的期望是0。首页假设1默顿方法注此假设对证券价格的可变性附加了一个下限，即当间隔被分成越来越小的子间隔，累积误差的方差是正的。也就是越来越频繁的观察证券价格不会消除所有的风险，即资产价格具有不确定性。假设2注这个假设对累积误差的方差附加了一个上限。当时间段被分成越来越小的间隔，更频繁的交易是允许的。这样的交易对系统不会带来非限制的不稳定性。首页在假设1，2，3的前提下，的方差与h有关：假设3注假设表明金融市场的不确定性在一些特殊的阶段是不集中的。无论市场什么时候开始，至少会存在一些可变性。即说明在金融市场上可预测不确定性定理1其中是一个有限的定数，它并不取决于h而取决于时刻的信息.首页证明由假设3在所有的间隔上对两边同时求和：由假设2即又因则故得出有取决于h的上限.首页由假设1得即再假设3得故得出有取决于h的下限.因此这意味着能找到一个取决于k的定数，使与h成比例：即可表为首页其中在间隔开始给出信息的情况下是不可测的设是任意一个的随机过程定理可以引申为其相应的期望存在，则在有限的间隔t内，有三、随机微分等式为构建时间连续的随机微分等式，对上式右边第一项进行估计：是一个资产价格变化的预期，其变化的大小取决于最近的信息集和所考虑的时间间隔的长度。首页它可写成如果时间就会跳过，并且在资产价格的预测变化就是0。即同普通微分一样，处理随机微分等式时余项可忽略不计，即故首页其中是漂移项，扩散项。从而有令得即为随机微分等式。返回首页第二节两个一般模型一、维纳过程在连续时间下，正常事件可用维纳过程或布朗运动来建模.（一）讨论维纳过程的方法1设一个随机变量且则当有弱收敛于一个维纳过程首页设为一具有有限方差的连续过程，说明维纳过程是在概率意义下，对独立同分布的随机变量的总和求极限得到的，而这些增量的可能出现的结果，当时会变得越来越小。可知维纳过程服从高斯（正态）分布。把维纳过程视为一个连续的平方可积鞅来进行分析2且在给定信息集下，具有不可预测的增量，即是一维纳过程首页（二）利用鞅来定义维纳过程（1）定义1（2）则称是一维纳过程首页对于具有不可预测的增量和随时间连续运动的资产价格，维纳过程是一个很好的描述模型。定义2若满足即则称为布朗运动。首页注维纳过程假定是一个平方可积鞅，没有提到的分布问题；而布朗运动假定服从正态分布。但这两个过程没有差异，这可由著名的Levy定理来说明。定理1在信息集下的任何维纳过程都是布朗运动过程。（三）维纳过程特征（补充内容）特征1在很小的时间间隔内，维纳过程的变化增量为其中表示从标准正态分布中的一种随机抽取。或首页特征2特征3维纳过程是连续的。任意两个不同时间区间内的值都是相互独立的。（因是鞅，而鞅具有不可预测的增量）在无穷小的间隔内，的变化也是无穷小的意味着维纳过程是遵循马尔可夫过程。注期望是正态分布，且方差标准差首页注2期望在一段较长时间T内，维纳过程服从的正态分布，且有方差标准差例1假设某资产的价值变化遵循维纳过程，其初始值为25，估算的时间为一年。在一年结束时，若资产价值按正态分布，其期望值为25，标准差为1，那么在两年期结束时，资产价值依然是期望值为25，但标准差是。即在未来某一时间（时间间隔T），资产价值的期望值等于现值，不确定性由标准差估算。首页表示附加到S轨迹上的噪声或波动率，且这些噪声或波动率的值为维纳过程的b倍表示S变量在单位时间的漂移率期望值为a（四）一般化的维纳过程（补充内容）基本维纳过程讨论的变量是漂移率为零，方差率为1的过程。下面将维纳过程推广到任意的变量S，则它的定义可以由表示为（a和b是常数）其中若在小的时间间隔，则S的变化可表示为其中表示从标准正态分布中的一种随机抽取。首页具有正态分布，且同样若在任意时间间隔T后，则S的变化具有正态分布，且期望方差标准差期望方差标准差首页因此一般化的维纳过程描述的是的漂移率（单位时间的平均漂移）为a，方差率（单位时间的方差）为的正态分布。这就是说，若零时刻变量的值是S，则在T时刻它变为均值为，标准差为的正态分布。例2假定某公司的现金头寸（以千美元计算）遵循一般性维纳过程，每年的漂移率为20，每年的方差为900。若最初的现金头寸为50，则在六个月月末的现金头寸将具有均值为60，方差为450的正态分布；在第一年末将具有均值为70，方差为900的正态分布。首页（五）伊托过程（补充内容）若一般化的维纳过程中的参数a和b，分别是基础变量S和时间t的函数，即有则称它为伊托过程。伊托过程也是一种推广的维纳过程，它的漂移率和方差率是随着时间的变化而变化。在研究基础资产价格的变化时，我们通常用伊托过程来描述。如在研究不支付股息的股票时，其价格的变化特征可用下式表示：首页即瞬态漂移率和瞬态方差率都按股票价格的比例变化，这就是最为广泛的描述股价变化的模型，有时称为几何布朗运动模型。此模型的离散时间形式为其中表示股票价格S在很小的时间区间中的变化；表示从标准正态分布中的一种随机抽取；参数为单位时间内股票的预期收益率，参数为股票价格的波动率，且这两个参数都为常数。首页例3考虑一种无红利支付的股票，每年的漂移率为30%、预期收益率为15%（以连续复利计），即、，或设时间间隔长度为1周或0.0192年，股票价格的初始值为100美元，即则即表示股票价格的增加是均值为0.288美元，标准差为4.16美元的正态分布的随机抽样值。则股票价格的过程为首页二、泊松过程考虑一种与正常事件明显不同的随机环境，即在一段时间内，一个金融市场所发生的极端事件的总次数，且这些事件都是不可预测的。设表示所发生的极端事件的总次数，若只可能出现两种值，或是等于0，意味着没有新的重大事件发生；或是等于1，表示有重大事件发生。即可表为首页则是泊松过程若令且泊松过程与维纳过程间的比较（1）轨迹不同：（2）一次和二次量运动具有相同特征：两个过程的增量方差都比例于小的时间间隔h注首页（3）泊松过程的轨线比维纳过程轨线更规则。泊松过程在大部分时间内保持恒定，尽管有离散的跳跃，但在小的时间间隔，出现跳跃的概率会趋于0，即它的方差有界。因为维纳过程虽显示出无穷小的变化，且这些变化多的不可计量，因此，方差是无界的。由此可知定义维纳过程的积分比定义泊松过程积分困难的多。一般说泊松过程积分可用Riemann-Stieltjes来定义；维纳过程积分可用Ito积分来表示。返回首页第三节罕见和正常事件的描述设只会出现一些固定的可能值，假设4其中注分为两种类型：正常事件和小概率事件首页正常事件小概率事件假设对于标的资产是谷物期货的衍生品，很明显由这些罕见事件，引起的价格变化程度要比一个点大的多。否则，价格变化就是由正常事件所引起的。首页在假设4下，扩展这个结论：据假设4在假设1—3下，证明了一个很重要的结论：这意味着首页由于总和与h成比例，且每一数为非负数，则总和中的每一项都与h成比例或等于0，即有从而因此可得但与观测间隔长度

h无关。首页事件大小和概率都与间隔长度h有关.。当h越来越大时，所观测的价格变化尺度（绝对值）和概率也会越来越大，除非等于0。说明1当观测间隔越来越小时决定事件趋于0的速率，说明2两者可能消失,但不可能同时消失.从而有即意味着决定事件的概率趋于0的速率。首页故这样，只可能出现两种情况：(1)(2)第一种情况所引起的就是正常事件，第二种情况对应的就是小概率事件.注1注2所引起的也是正常事件首页1．正常事件当则决定发生结果的大小和概率函数分别为随着时间间隔h越来越小，事件的大小也会越来越小;而事件发生的概率与h无关。因此即当观测间隔越来越小时，发生结果的大小会很小且具有一个固定的概率，这就是正常事件。首页样本路径的特征（1）连续性当即一方面故所以另一方面当以上可看出，正常事件可产生连续时间路径。首页(2)不光滑性故在任何时间t,是不可导.即轨迹是不光滑的.意味着从而得知,资产价格变化是连续的却不规则首页2、小概率事件当则决定发生结果的大小和概率函数分别为随着时间间隔h越来越小，事件发生的概率也会越来越小,且因此而事件的大小与h无关。故是小概率事件.样本路径特征不连续性与h无关因所以即轨迹是不连续的.首页又因则出现跳跃的概率取决于h,当h越来越小时，跳跃出现的概率也会下降，即这些跳跃不是会经常出现.跳跃性3、正常事件（续）则样本路径是连续的却不光滑同正常事件的维纳过程因故不是小概率事件注意但只要它们的大小会越来越小，就不能称为小概率事件返回首页第四节小概率事件的模型维纳过程描述的随机微分方程，在小时间间隔内，不可预期的价格变化分布是正态分布。而正态分布具有一个无穷扩展的尾巴，当时间间隔越来越小，尾巴并没有完全消失，说明维纳过程所描述的价格变化也就越来越小，几乎不变。而小概率事件表示在极短的间隔内，价格运动能出现巨烈变动时，显然再用维纳过程所描述就不合适。因此需要加上一个可在极其短的时间间隔产生巨大变化的事件的干扰项，即需要一个可产生跳跃的过程，且这个过程所产生的结果要与h无关，这样，该过程的路径才与小概率事件相符合。首页一、资产价格的小概率事件模型离散间隔随机微分等式价格变化分两部分第一部分为在给定信息下可预测的，第二部分则是不可预测的。连续时间随机微分形式正常事件维纳过程首页描述小概率事件也可采用此微分形式：与维纳过程唯一不同点：样本路径的连续性。小概率事件的发生也是不可预测的，且它的方差也比例于时间间隔h，即第一部分相同。因此，只要对第二部分作一小的修改即可，建立新模型的随机不可预测误差项由于小概率事件，当时间间隔趋于0时，概率可忽略，但事件发生的大小并不是无穷小的。因此，新增项应该能代表资产价格变化中极少出现的跳跃，更进一步说，该模型应该能足够捕捉跳跃发生概率的任何潜在变化。首页首先把误差项分为两部分：其中表示由发生的正常事件引起的变化，表示由发生的跳跃事件引起的变化其次精确说明则在时刻有令设资产价格变化的跳跃大小为1，首页显然泊松过程特征（1）在小时间间隔h，最多有一个事件发生的概率接近于1（2）至时间t的信息不会有助于预测下一间隔h事件是否会发生；（3）在固定概率下发生。由于只有泊松过程能同时满足这些条件，所以用它来为不连续的跳跃事件建模是很好的选择，但还需要作两个修改。1某一资产价格的跳跃发生率会随时间变化，而泊松过程中为一固定的发生率，不能解释这种行为，有必要作些调整。首页2中的增量具有非零均值，而随机微分方程中的新增项只具有零均值，因此，需要作些修改以消除均值。考虑变量进一步则跳跃的大小就是独立于时间的。因此用来表示资产价格中不可预测的跳跃是很好的选择。意味着如果金融工具市场受零星发生的小概率事件影响，则随机微分方程可写为首页离散间隔随机微分等式注1这个随机微分方程可同时处理正常和小概率事件连续时间随机微分形式跳跃部分和维纳过程部分在每一时间t是独立的。当h越来越小时，正常事件的变化幅度会变得越小，而小概率事件的大小保持不变。在这些条件下，这两种事件相互之间没有关系，它们的瞬时相关性一定为0。注2首页二、考虑各次量对观测资料的处理都是直接或间接采用标的资产价格过程的适当“量”。“量”就是标的资产价格过程的各种期望值：如一次量二次量高次量方差能衡量价格的变动程度，三次量衡量的是价格变化分布的歪斜度，四次量衡量的是分布的宽尾巴。量反映过程的信息首页在分析无穷小间隔h的价格变化时，对正常事件只考虑了前两次量，高次项量被忽略了，然而，对小概率事件则需要考虑所有的量。其不可预测误差项前两次量为再看一下当一次量不等于0，有一次量1、正常事件首页则不可预期的价格变化的期望率当h越来越小时，上式会变得越来越大。当一次量不为0时，对小时间间隔，一次量的值会很大而不可忽略。结论二次量方差率首页当h变小时，方差率将保持不变。当时，方差不可忽略。即在正常事件中，即使在无穷小的时间间隔，方差也会提供有关标的资产随机性的重要信息。结论高次量其比率当h越来越小时，上式会变为0结论对小间隔，如果所有事件都为正常的，则不可预测的价格变化的高次量不会带来任何有用信息。首页依靠两个参数（其中一个表示一次量，另一个表示方差）的概率模型就足以捕捉价格资料的所有相关信息。因此，如果没有小概率事件，维纳过程是一个很好的选择。正常事件结论2、小概率事件二次量则方差率当h变小时，方差率将保持不变。故方差（二次量）不能忽略。首页高次量其比率概括结论当h变小时，比率也不会变小。故高次量不能忽略。这意味着如果价格受小概率事件影响，高次量会给市场参与者带来有用的信息。如果可以确信金融市场所发生的事件类型为正常事件，则仅用前两次量有关的分布函数来对价格变化作近似估计，即维纳过程。但如果是小概率事件，则需考虑高次量，即可用泊松过程来讨论。返回首页年度工作总结汇报ANNUALWORKREPORTSUMMARY信托业务发展与创新研究上海国际信托投资有限公司王信举目录信托业务发展现状研究01信托业务创新研究——两项导致信托业务突破性发展的重大革新02信托业务创新案例分析03信托业务发展现状研究一般理解政策与法律环境发展现状一般特点发展桎梏信托的一般理解以信为本以诚治业诚即真诚、诚实，信即守承诺、讲信用，讲诚信就是要守诺、践约、无欺。如果有人要问英国人在法学领域取得的最伟大、最独特的成就是什么，那就是历经数百年发展起来的信托理念…这不是因为信托体现了基本的道德原则，而是因为它的灵活性，它是一种具有极大弹性和普遍性的制度。——英国法学家梅特兰信托的应用范围可与人类的想像力相媲美。——美国信托法权威斯科特信托的一般理解贯通货币市场、资本市场和产业投资的独特优势最好的非IPO投资银行业务平台信托制度框架下突出的财产管理功能和资金融通功能政策与法律环境法律框架逐步完善《信托法》（2001.10）——信托法律制度体系的基本法《信托投资公司管理办法》（2002.6）——信托投资公司的经营管理规范《信托投资公司资金信托业务管理暂行办法》（2002.7）——信托主体业务的规范分类监管办法即将出台，诸多单项条例即将出台——信托证券专用帐户、信托公司及业务信息披露、房地产信托、信托公司治理指引、内控指引和信托核算等政策与法律环境监管思路逐步明晰信托公司分类监管原则、属地监管原则协调规划，统一监管尚需加强发展现状目前重新登记后的信托公司共59家，截至6月底，信托从业人员4600人近三年来，集合资金信托计划1053个，大部分获得了成功，信托公司接受管理的信托财产总额已近2000亿元人民币。84%的信托财产为资金信托，财产信托业务开始呈现良好的发展态势。——银监会非银部主任高传捷，中国长沙信托论坛(2004.10）一般特点由单一信托到集合信托由资金信托向财产信托过渡运用范围由单一领域到多领域运用工具由单一向多种工具相结合发展桎梏信托登记信托税收信托会计信托业务创新研究两项导致信托业务突破性发展的重大革新信托内部信用增级信托制度框架下的所有权解析内部信用增级外部信用增级由第三方提供信用担保，提供者包括政府、专业保险公司、金融机构、大型企业的财务公司等，增级工具主要有：政府承诺函、保险、企业担保、现金抵押帐户和信用证等。信托内部信用增级利用基础资产产生的部分现金流来实现,可避免利用外部信用增级工具较容易受信用增级提供者信用等级下降风险的影响的风险。增级工具主要有：构建优先/次级结构、利差帐户和超额抵押等。优先/次级结构就是根据一定的原则和需求，将信托或资产支撑的证券产品的收益权分为不同信用品质的档级，不同档级的受益权承担风险、享有利益及利益分配或退出的顺序有区别。内部信用增级——构建优先/次级结构遵照风险和收益相匹配的原则，通过组合策略，向选择不同风险-收益结构特征的投资者分配不同现金流的结构化设计，能保证不同层次受益权对应的现金流汇总能够复原为项目整体的现金流，摆脱了项目本身性质以及外部信用担保的制约，而仅仅依赖于项目自身权利和义务的重新分配就能在最大程度上保障优先收益的实现。可保障那些偏好于稳定收益的投资者能够在总体收益状况不是太好的情况下也能获得较稳定收益，同时使风险偏好型投资者在总体收益情况较差时自愿让渡财产以补贴保本型投资者，而在总体收益较好时获得独享较高收益的权利。信托制度框架下的所有权解析英美法系和大陆法系所有权制度的基本涵义中国信托法律框架下的所有权概念简析信托业务创新案例研究某国企国有股权退出信托解决方案华融资产管理公司不良资产证券化项目某酒店式公寓收购项目信托解决方案某国企改革信托解决方案项目情况根据有关部门对某大型国有企业进行资产重组的指示，经方案慎重比选，该企业欲将其下属某子公司通过信托方式转让，转让资金作为重组基金，从而实现国有资产在该公司的退出。经研究，决定发起集合资金信托计划，用于受让该企业持有的下属公司的股权。信托计划分别向优先投资者、普通投资者和战略投资者募集，并重组董事会和监事会，选聘经营者，同时在信托计划项下设立特别委员会（由部分普通投资者和战略投资者根据投资规模的大小派员参加的投资人代表大会组织）以应对公司经营过程中出现的重大以外问题。

某国企改革信托解决方案简要分析本项目的最大特点是创造性地运用了信托法律框架下的所有权的可分拆性和内部信用增级来探索国有企业改革之路。同时，该项目通过改组董事会和监事会，选聘经营者（职业经理人），对经营者进行业绩考核，并在信托计划项下设计特别委员会，以应对公司经营过程中出现的意外及重大事项的决策，创造性地将信托框架下的公司治理结构予以完善，同时满足了市场上各类投资者的收益及风险预期。华融不良资产证券化项目项目情况2003年6月,华融资产管理公司将涉及全国22个省市256户企业的132.5亿元人民币债权资产组成一个资产包，委托给中信信托设立财产信托，期限为3年，优先级受益权的预计收益率为4.17%。信托设立后，华融将全部信托受益权分为优先级受益权和次级受益权，其中10亿元优先受益权主要转让给机构投资者。华融拥有全部次级受益权，收益超过4.17%的部分全部归华融所有。中诚信国际评级公司预测，华融公司132.