
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文档简介
2022-2023学年四川省泸州市泸县高二下学期开学考试数学(理)试
题
一、单选题
1.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随
机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为
A.IIB.12C.13D.14
【答案】B
【详解】试题分析:使用系统抽样方法,从840人中抽取42人,即从20人抽取1人.
,从编号1-480的人中,恰好抽取480/20=24人,
接着从编号481〜720共240人中抽取240/20=12人
【解析】系统抽样
2.抛物线>=4/的焦点坐标是()
A.(0,1)B.(1,0)C.口.佶,。]
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准方程,由此可得抛物线的焦点坐标.
【详解】将抛物线y=4/的化为标准方程为*2=p二,开口向上,焦点在y轴的正半轴上,
4o
所以焦点坐标为
故选:C.
3.已知两直线4:x-y+6=O与4:-3x+3y-2=0,则4与4间的距离为()
A.&B.—C.GD.处
33
【答案】B
【分析】把直线4的方程化简,再利用平行线间距离公式直接计算得解.
2
【详解】直线4的方程化为:%->'+-=0,显然,“儿,
|6_2
所以/,与人间的距离为啦.
W+(-D23
故选:B
4.执行如图所示的程序框图,如果输入。的值为-1,则输出5=()
A.2B.-3C.3D.-4
【答案】B
【分析】利用程序框图的循环结构依次计算即可
【详解】初始化数值a=-1,k=l,S=0,循环结果执行如下:
第一次:S=0-1=-1,a=\,k=2;
第二次:S=-1+2=1,a=—\,k=3;
第三次:S=l-3=—2,a=l,k=4;
第四次:S——2+4=2,a=—l,k=5;
第五次:S=2—5=—3,«=1,k=6;
结束循环,输出S=-3.
故选:B.
5.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数,则事件“这个三位数是偶数”与事件”这个三位数大
于342”()
A.是互斥但不对立事件B.不是互斥事件
C.是对立事件D.是不可能事件
【答案】B
【分析】根据题意列举出所有可能性,进而根据各类事件的定义求得答案.
【详解】由题意,将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有:
{234,243,324,342,423,432},其中偶数有{234,324,342,432},大于342的有{423,432}.
所以两个事件不是互斥事件,也不是对立事件.
故选:B.
6.",">6"是"方程+),2-的+4了+优+7=0是圆的方程”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】若方程f+y?-皿+4y+»?+7=0表示圆,则(-加)2+42-4(机+7)>0,
即>-4机-12>0,解得,,?>6或加<-2,
故是“方程/+/_尔+45+胆+7=0是圆的方程”的充分不必要条件,
故选:A
7.命题。:若a>6,且必>0,则命题4:在._ABC中,若力>3,则sinA>sinB.下列命题
b
中为真命题的是()
A.(-ip)AqB.PMC.pA(-.^)D.Jp)A(-iq)
【答案】A
【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性判断命题〃的真假,根据大角对大边及正弦定理可
判断命题4的真假,再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.
【详解】解:若。>〃,且他>0,则0<£,
b
当a>6>0时,f>1,所以Inf>0,
bb
当0>a>b时,0<g<1,所以ln@<0,
bb
综上命题。为假命题,则r,为真命题,
在“AfiC中,若力>B,则a>b,
由正弦定理得sinA>sinB,
所以命题夕为真命题,F为假命题,
所以('P)A4为真命题,0A4,pA(—>^),(―>p)人(―《7)为假命题.
故选:A.
8.在矩形ABC。中,AB=\,BC=O,Q4J_平面ABC。,。4=1,则PC与平面ABCD所成角是.
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系,求出平面A8CD的法向量以及直线PC方向向量,利用空间向量夹角
余弦公式可求出PC与平面ABC£>所成角.
建立如图所示的空间直角坐标系,
则PC=(l,x/2,-l),
易知平面ABC。的一个法向量为”((),0,1),
,尸C与平面A8CD所成的角为30,故选A.
【点睛】求直线与平面所成的角由两种方法:一是传统法,证明线面垂直找到直线与平面所成的角,
利用平面几何知识解答;二是利用空间向量,求出直线的方向向量以及平面的方向向量,利用空间
向量夹角余弦公式求解即可.
9.已知直线/:y=x+〃z与曲线x=47有两个公共点,则实数加的取值范围是()
A.B.卜2"-2]C.[2,20)D.(-272,2]
【答案】B
【分析】画出图像,当直线/过点A8时,求出加值;当直线/与曲线x=正于相切时•求出m,即可得出
",的取值范围.
【详解】画出如下图像:
曲线X=巧手有两个公共点;
直线/与曲线相切时,相=-2&,
因此当-20<机4-2时,直线/与
曲线犬=产了有两个公共点.
故选B
【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思
想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.
10.已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,且P4L平面ABC,AB=2,AC=\,
ZACB=9O°,若该棱锥的体积为辿,则此球的表面积为()
3
A.164B.20zrC.8"D.5万
【答案】B
【解析】作出三棱锥,找出球心的位置,进而求出球的半径,根据球的表面积公式即可求解.
【详解】作出三棱锥P-ABC,如图:
因为A4_L平面A6C,则24L3C,
又因为NACB=90。,所以8C_LAC,由ACcR4=A,
所以BC1平面P4C,所以3CLPC,
所以PCB为直角三角形,
又.w为直角三角形,
所以三棱锥P-ABC的外接球球心在M的中点上,
%u)c=;SMC,PA=;X;X1X6-PA=¥,解得"=4,
所以P8=,42+22=2石,
故三棱锥P-ABC的外接球半径r=下,
所以外接球表面积为4万产=4»x5=20〃.
故选:B
11.设40力),点B为双曲线。:£-1=1(。>0疝>0)的左顶点,线段A3交双曲线一条渐近线于C点,
crlr
3
且满足cosNOC3=g,则该双曲线的离心率为()
A.BB.6C.ID.石
23
【答案】D
【解析】先求出点C的坐标,再根据余弦定理即可求出.
【详解】解:&0,力,8(-a,0),
b
・,・直线A3的方程为y=—x+b,
a
抛物线的一条渐近线方程为y=--x,
a
整理可得5〃=/,
即e=£=底
a
故选:D.
【点睛】本题考查了双曲线的简单性质,以及余弦定理和离心率公式,属于中档题.
12.如图,在单位正方体A8CO-A4GP中,点P在线段AA上运动,给出以下四个命题:
①异面直线4尸与间的距离为定值;
②三棱锥O-BPG的体积为定值;
③异面直线Cf与直线c用所成的角为定值;
④二面角P-BC.-D的大小为定值.
其中真命题有
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【详解】对于①,异面直线4尸与gq间的距离即为两平行平面AQRA和平面8CC圈间的距离,即
为正方体的棱长,为定值.故①正确.
对于②,由于K&-BPG="P-DBG,而Sgg为定值,又PeA£)l,4£>1〃平面8ZJC1,所以点P到该平
面的距离即为正方体的棱长,所以三棱锥。-BPG的体积为定值.故②正确.
对于③,由题意得在正方体ABCQ-AAGR中,B1C,平面ABC1O1,而CIPu平面ABC1ZJ1,所
以81cLe1P,故这两条异面直线所成的角为90。.故③正确;
对于④,因为二面角尸-BCl-O的大小,即为平面A8C1D1与平面所成的二面角的大小,而
这两个平面位置固定不变,故二面角尸-Bq-。的大小为定值.故④正确.
综上①②③④正确.选D.
二、填空题
13.已知圆G:/+)广+2x+3y+1=0,圆C2:x?+厂+4x+3y+2=0,则圆G与圆。2的位置关系
是.
【答案】相交
【分析】把两个圆的方程化为标准方程,分别找出两圆的圆心坐标和半径,利用两点间的距离公式
求出两圆心的距离,与半径和与差的关系比较即可知两圆位置关系.
【详解】”2+),2+2*+3"1=0化为(》+1)2+卜+|)2=(,
22
C2:X+y+4x+3y+2=0化为(x+2)2+(),+')=:,
则两圆圆心分别为:C2,2,-|}半径分别为:R=|,r=阴
圆心距为d=i,业业-3,
2222
所以两圆相交.
故答案为:相交.
14.某公司的班车在8:00准时发车,小田与小方均在7:40至8:00之间到达发车点乘坐班车,
且到达发车点的时刻是随机的,则小田比小方至少早5分钟到达发车点的概率为.
【答案】巳9
【分析】设小田到达发车点的时间为x,小方到达发车点的时间为y,(x,y)所构成的区域为
Q={(x,y)|40<x<60,40<y<60},小田比小方至少早5分钟到达发车点为事件
A={(x,y)ly-X1},作出示意图,利用面积型的几何概型的概率计算公式计算即可.
【详解】设小田到达发车点的时间为X,小方到达发车点的时间为y,(X,y)所构成的区域为
H={(x,y)|40<x<60,40<y<60},对应的面积5=20x20=400,则小田比小方至
少早5分钟到达发车点为事件4={(羽),)及-》25},作出示意图,则符合题意的区域为
及其内部区域,联立解得c(55,60),联立解得3(40,45),
[y=60[y=40
1225
则SA8c=5x15x15=^,由几何概型的概率计算公式,知小田比小方至少早5分钟到
225
达发车点的概率为万二9.
400-32
【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率计算,考查学生的基本计算能力,是一道中档题.
15.设函数兀¥)=|%+。1,g(x)=x—1,对于任意的x£R,不等式7U)沟(%)恒成立,则实数。的取值范
围是.
【答案】[-1,+oo)
【分析】对于VxeR,不等式〃x”g(x)恒成立,等价于/(x)=|x+a|的图象在g(x)=x-l的图象
上方,根据数形结合可求出实数a的取值范围.
『f(x)=\x+a\
【详解】X/I*
不等式逐幻与(X)恒成立
如图,作出函数人X)=lx+a|与g(x)=x-l的图象,
观察图象可知:当且仅当一把1,即生一1时,不等式於)途(x)恒成立,
因此a的取值范围是[-1,+oo).故答案为[―1,+oo).
【点睛】本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题,属于中档题.不等式恒成立问题常见
方法:①分离参数aN/(x)恒成立(aN/(x)nw(即可)或恒成立(而即可);②数
形结合(y=/(x)图象在y=g(x)上方即可);③讨论最值/(力1nhi20或在(耳侬40恒成立;④讨
论参数.
16.过抛物线/=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线/交抛物线于A,B两点(A在5的上方),
且/与准线交于点C,若CB=3BF,则&=_________.
IBF\
【答案】2
【解析】分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为A,B,,由黑=裳=总可求.
【详解】分别过A,8作准线的垂线,垂足分别为A,Bt,
设|BF|=x,\AF\=y,则黑=焉=用,
|BC\|BC\IAC\
.y=<1=2=2
"y+x+3x3'--|BF|x-
故答案为:2.
三、解答题
17.已知P:X2-7X+10<0,q:4皿+3加2<0,其中加>0.
(1)若帆=4且。人口为真,求x的取值范围;
(2)若F是力的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
【答案】(1)4<x<5;(2)|<m<2
【分析】(1)由。八4为真,可知PM都为真,进而求出命题。应,可得到答案;
(2)先求出命题P,q,由r是9的充分不必要条件,可得。是q的充分不必要条件,进而可列出
不等式,求出实数机的取值范围.
【详解】由*2-7工+10<0,解得2cx<5,所以P:2<x<5,
又V-4/nr+3m2<0,且机>0,解得所以夕:m<x<3>m.
(1)当〃?=4时,q:4cx<12,
因为PAq为真,所以p,4都为真,所以4cx<5.
(2)因为F是心的充分不必要条件,所以P是4的充分不必要条件,
m<2
因为0:2<x<5,q:m<x<3m,所以,3,〃25,解得;4542.
m>0
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,考查利用复合命题的真假求参数的范围,考查充分不必
要条件的应用,考查学生的计算求解能力与推理能力,属于中档题.
18.从某小区随机抽取40个家庭,收集了这40个家庭去年的月均用水量(单位:吨)的数据,整
理得到频数分布表和频率分布直方图.
分组频数
[2,4)2
[4,6)10
[6,8)16
[8,10)8
[10,12]4
合计40
(1)求频率分布直方图中4,/?的值;
(2)从该小区随机选取一个家庭,试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率;
(3)在这40个家庭中,用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的
样本,将该样本看成一个总体,从中任意选取2个家庭,求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于
8吨的概率.
4
【答案】⑴°:-'-0*;(2)0.7;(3)~.
【详解】试题分析:(1)利用频率分布直方图中小矩形的高的实际意义进行求解;(2)利用频率来估计
概率;(3)先利用分层抽样得到各层抽得的人数,列举出所有基本事件和满足要求的基本事件,再
利用古典概型的概率公式进行求解.
试题解析:(1)因为样本中家庭月均用水量在A6)上的频率为线=0.25,
40
在[6,8)上的频率为£=0.4,
40
所以。=0'25=0.]25,h=0—4=0.2
22
(2)根据频数分布表,40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个,
所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是黑=0.7.
利用样本估计总体,从该小区随机选取一个家庭,可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的
概率约为0.7
(3)在这40个家庭中,用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的
样本,
则在俗,8)上应抽取7x%=4人,记为A,8,C,。,
Q
在[8,10)上应抽取7x^=2人,记为E,F,
4
在口0,12]上应抽取7x^=1人,记为G
28
设”从中任意选取2个家庭,求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件,
则所有基本事件有:{A,B},{A,C},{A,D},{AE},{AF},{A,G},{B,C},{B,
[B,G],{C,D},{C,E],{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{凡G},共21种.
事件包含的基本事件有:{A,E},{AQ,{A,G},
{B,E},{B,F},{仇G},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},^12种.
所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为苏12=半4
【解析】1.频率分布直方图;2.分层抽样;3.古典概型.
19.从某居民区随机抽取2021年的10个家庭,获得第i个家庭的月收入x,(单位:千元)与月储蓄%(单
10101010
位:千元)的数据资料•,计算得2占=80,Z»=20,2>戊=184,2、;=720.
/=1/=1r=li=l
⑴求家庭的月储蓄)'对月收入x的线性回归方程¥=及+机
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
(3)利用(1)中的回归方程,分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况,并预测当该
居民区某家庭月收入为7千元,该家庭的月储蓄额.附:线性回归方程系数公式.
"__
~nxy
y=中,b=£-------,a=y-bxy其中x,y为样本平均值.
^xf-nx
i=\
【答案】(Dy=0.3x-0.4
⑵正相关
(3)1.7千元
【分析】(1)由题意得到"=10,求得„进而求得写出回归方程;.
⑵由5=0.3>0判断;
(3)将x=7代入回归方程求解.
【详解】(1)由题意知
一1g80-1A20c
n=10,x=——/x=—=o8,y=——>y;=—=2,
lOtT:110io£10
则b=---------=0.3,<5=y-bx=-0.4,
-心了
/=1
所以所求回归方程为y=0.3x—0.4.
(2)因为〃=0.3>0,
所以变量>'的值随x的值增加而增加,故x与y之间是正相关.
(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3x7—0.4=1.7(千元).
20.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为尸,过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A,B两点,\AB\
=4.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点尸的直线/交抛物线于P,Q两点,若AOP。的面积为4,求直线/的斜率(其中。为坐
标原点).
【答案】(1)/=4x;(2)士且.
3
【分析】(1)根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得2P=4,从而可得结果;(2)设直线/的
方程为y=%(x—1)/(%,乂),。(七,必),x=1+l代入y?=4x,得卜?_4=0,利用弦长公式,结
KK
合韦达定理可得的户。|值,由点到直线的距离公式,根据三角形面积公式可得
c1.2^/^771
=4,从而可得结果.
【详解】(1)由抛物线的定义得A、B到准线的距离都是p,
所以H阴=2p=4,
所以抛物线的方程为V=4x.
(2)设直线/的方程为y=&(x-l),P(xhyi),。(必y2).
因为直线I与抛物线有两个交点,
所以际0,得"二>’代入人孤得人2-4=。,且A=?I6>°恒成立,
4
则乂+%=
I
所以|PQ|=J+部-y2|='.)
又点。到直线/的距离d=
所以S“2=;・|P0-4=当巨=4,解得公=g,即%=±乎.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题,意在考查综合利用所学知识解决问题
能力和较强的运算求解能力,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,然后
应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.
21.如图所示,4E_L平面A8C。,四边形如中为矩形,BCAD,BAVAD,
AE=M=2AB=28C=4.
E
⑴求证:CF〃平面AOE;
(2)求平面CDF与平面AE7话所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
⑵:
【分析】(1)由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE,再证CF〃平面ADE即可;
(2)建立空间直角坐标系如图,由向量法即可求
【详解】⑴证明:四边形A£7话为矩形,/AE,又BC〃AD,AE.AOu平面ADE,BF、BCu
平面ADE,故BF平面ADE,BC/平面ADE,
又BC=B,BF、8Cu平面BFC,平面BFC平面ADE,
*.•CFu平面BFC,:.C/〃平面ADE;
(2)建立空间直角坐标系如图,则C(2,2,0),0(0,4,0),f'(2,0,4),OF=(2,T,4),OC=(2,—2,0),
,、m-DF=2x-4y+4z=0(\A
设平面CCF的法向量为s=(x,y,z,则•,取x=l得根=1,13
[m-DC=2x-2y=0I2)
平面AEF8的法向量为“
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