2022-2023学年四川省泸州市泸县高二年级下册学期开学考试数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省泸州市泸县高二下学期开学考试数学（理）试

题

一、单选题

1.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,…,840随

机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481,720］的人数为

A.IIB.12C.13D.14

【答案】B

【详解】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人.

,从编号1-480的人中，恰好抽取480/20=24人，

接着从编号481〜720共240人中抽取240/20=12人

【解析】系统抽样

2.抛物线>=4/的焦点坐标是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.口.佶,。］

【答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得抛物线的焦点坐标.

【详解】将抛物线y=4/的化为标准方程为*2=p二,开口向上，焦点在y轴的正半轴上,

4o

所以焦点坐标为

故选：C.

3.已知两直线4：x-y+6=O与4：-3x+3y-2=0,则4与4间的距离为（）

A.&B.—C.GD.处

33

【答案】B

【分析】把直线4的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.

2

【详解】直线4的方程化为：%->'+-=0,显然，“儿,

|6_2

所以/,与人间的距离为啦.

W+（-D23

故选：B

4.执行如图所示的程序框图，如果输入。的值为-1,则输出5=()

A.2B.-3C.3D.-4

【答案】B

【分析】利用程序框图的循环结构依次计算即可

【详解】初始化数值a=-1,k=l,S=0,循环结果执行如下：

第一次：S=0-1=-1,a=\,k=2；

第二次：S=-1+2=1,a=—\,k=3；

第三次：S=l-3=—2,a=l,k=4；

第四次：S——2+4=2,a=—l,k=5；

第五次：S=2—5=—3,«=1,k=6；

结束循环，输出S=-3.

故选:B.

5.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件”这个三位数大

于342”()

A.是互斥但不对立事件B.不是互斥事件

C.是对立事件D.是不可能事件

【答案】B

【分析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.

【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：

{234,243,324,342,423,432},其中偶数有{234,324,342,432},大于342的有{423,432}.

所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.

故选：B.

6."，">6"是"方程+),2-的+4了+优+7=0是圆的方程”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】若方程f+y?-皿+4y+»?+7=0表示圆，则(-加)2+42-4(机+7)>0,

即>-4机-12>0,解得，，?>6或加<-2,

故是“方程/+/_尔+45+胆+7=0是圆的方程”的充分不必要条件，

故选：A

7.命题。:若a>6,且必>0,则命题4：在._ABC中，若力>3,则sinA>sinB.下列命题

b

中为真命题的是()

A.(-ip)AqB.PMC.pA(-.^)D.Jp)A(-iq)

【答案】A

【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性判断命题〃的真假，根据大角对大边及正弦定理可

判断命题4的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.

【详解】解：若。>〃，且他>0,则0<£,

b

当a>6>0时，f>1,所以Inf>0,

bb

当0>a>b时，0<g<1,所以ln@<0,

bb

综上命题。为假命题，则r，为真命题，

在“AfiC中，若力>B,则a>b,

由正弦定理得sinA>sinB,

所以命题夕为真命题，F为假命题，

所以(­'P)A4为真命题，0A4,pA(—>^),(―>p)人(―《7)为假命题.

故选：A.

8.在矩形ABC。中，AB=\,BC=O,Q4J_平面ABC。，。4=1,则PC与平面ABCD所成角是.

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面A8CD的法向量以及直线PC方向向量，利用空间向量夹角

余弦公式可求出PC与平面ABC£＞所成角.

建立如图所示的空间直角坐标系，

则PC=(l,x/2,-l),

易知平面ABC。的一个法向量为”((),0,1),

，尸C与平面A8CD所成的角为30,故选A.

【点睛】求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角,

利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间

向量夹角余弦公式求解即可.

9.已知直线/：y=x+〃z与曲线x=47有两个公共点，则实数加的取值范围是()

A.B.卜2"-2]C.[2,20)D.(-272,2]

【答案】B

【分析】画出图像,当直线/过点A8时，求出加值;当直线/与曲线x=正于相切时•求出m，即可得出

"，的取值范围.

【详解】画出如下图像：

曲线X=巧手有两个公共点；

直线/与曲线相切时，相=-2&,

因此当-20＜机4-2时，直线/与

曲线犬=产了有两个公共点.

故选B

【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思

想，准确判断出曲线方程所表示曲线形状，且根据题意画出图形是解决问题的关键，属于中档题.

10.已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上，且P4L平面ABC,AB=2,AC=\,

ZACB=9O°,若该棱锥的体积为辿，则此球的表面积为（）

3

A.164B.20zrC.8"D.5万

【答案】B

【解析】作出三棱锥，找出球心的位置，进而求出球的半径，根据球的表面积公式即可求解.

【详解】作出三棱锥P-ABC,如图：

因为A4_L平面A6C,则24L3C,

又因为NACB=90。，所以8C_LAC,由ACcR4=A,

所以BC1平面P4C,所以3CLPC,

所以PCB为直角三角形,

又.w为直角三角形，

所以三棱锥P-ABC的外接球球心在M的中点上，

%u）c=；SMC,PA=；X；X1X6-PA=¥,解得"=4,

所以P8=,42+22=2石,

故三棱锥P-ABC的外接球半径r=下，

所以外接球表面积为4万产=4»x5=20〃.

故选：B

11.设40力），点B为双曲线。:£-1=1（。＞0疝＞0）的左顶点，线段A3交双曲线一条渐近线于C点,

crlr

3

且满足cosNOC3=g,则该双曲线的离心率为（）

A.BB.6C.ID.石

23

【答案】D

【解析】先求出点C的坐标，再根据余弦定理即可求出.

【详解】解：&0,力，8（-a,0）,

b

・,・直线A3的方程为y=—x+b,

a

抛物线的一条渐近线方程为y=--x,

a

整理可得5〃=/,

即e=£=底

a

故选：D.

【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及余弦定理和离心率公式，属于中档题.

12.如图，在单位正方体A8CO-A4GP中，点P在线段AA上运动，给出以下四个命题:

①异面直线4尸与间的距离为定值;

②三棱锥O-BPG的体积为定值；

③异面直线Cf与直线c用所成的角为定值；

④二面角P-BC.-D的大小为定值.

其中真命题有

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【详解】对于①，异面直线4尸与gq间的距离即为两平行平面AQRA和平面8CC圈间的距离，即

为正方体的棱长，为定值.故①正确.

对于②，由于K&-BPG="P-DBG，而Sgg为定值，又PeA£)l,4£>1〃平面8ZJC1,所以点P到该平

面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥。-BPG的体积为定值.故②正确.

对于③，由题意得在正方体ABCQ-AAGR中，B1C，平面ABC1O1,而CIPu平面ABC1ZJ1,所

以81cLe1P,故这两条异面直线所成的角为90。.故③正确；

对于④，因为二面角尸-BCl-O的大小，即为平面A8C1D1与平面所成的二面角的大小，而

这两个平面位置固定不变，故二面角尸-Bq-。的大小为定值.故④正确.

综上①②③④正确.选D.

二、填空题

13.已知圆G：/+)广+2x+3y+1=0,圆C2：x?+厂+4x+3y+2=0,则圆G与圆。2的位置关系

是.

【答案】相交

【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式

求出两圆心的距离，与半径和与差的关系比较即可知两圆位置关系.

【详解】”2+),2+2*+3"1=0化为(》+1)2+卜+|)2=(,

22

C2:X+y+4x+3y+2=0化为(x+2)2+(),+')=:,

则两圆圆心分别为:C2,2,-|｝半径分别为：R=|,r=阴

圆心距为d=i,业业-3,

2222

所以两圆相交.

故答案为：相交.

14.某公司的班车在8：00准时发车，小田与小方均在7：40至8：00之间到达发车点乘坐班车,

且到达发车点的时刻是随机的，则小田比小方至少早5分钟到达发车点的概率为.

【答案】巳9

【分析】设小田到达发车点的时间为x,小方到达发车点的时间为y,(x,y)所构成的区域为

Q={(x,y)|40<x<60,40<y<60},小田比小方至少早5分钟到达发车点为事件

A={(x,y)ly-X1},作出示意图，利用面积型的几何概型的概率计算公式计算即可.

【详解】设小田到达发车点的时间为X,小方到达发车点的时间为y,(X,y)所构成的区域为

H={(x,y)|40<x<60,40<y<60},对应的面积5=20x20=400,则小田比小方至

少早5分钟到达发车点为事件4={(羽)，)及-》25},作出示意图，则符合题意的区域为

及其内部区域，联立解得c(55,60),联立解得3(40,45),

[y=60[y=40

1225

则SA8c=5x15x15=^，由几何概型的概率计算公式，知小田比小方至少早5分钟到

225

达发车点的概率为万二9.

400-32

【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.

15.设函数兀¥)=|%+。1，g(x)=x—1，对于任意的x£R,不等式7U)沟(%)恒成立，则实数。的取值范

围是.

【答案】[-1,+oo)

【分析】对于VxeR,不等式〃x”g(x)恒成立，等价于/(x)=|x+a|的图象在g(x)=x-l的图象

上方，根据数形结合可求出实数a的取值范围.

『f(x)=\x+a\

【详解】X/I*

不等式逐幻与(X)恒成立

如图，作出函数人X)=lx+a|与g(x)=x-l的图象，

观察图象可知：当且仅当一把1,即生一1时，不等式於)途(x)恒成立，

因此a的取值范围是［-1,+oo).故答案为［―1,+oo).

【点睛】本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题.不等式恒成立问题常见

方法：①分离参数aN/(x)恒成立(aN/(x)nw(即可)或恒成立(而即可)；②数

形结合(y=/(x)图象在y=g(x)上方即可)；③讨论最值/(力1nhi20或在(耳侬40恒成立;④讨

论参数.

16.过抛物线/=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线/交抛物线于A,B两点(A在5的上方),

且/与准线交于点C,若CB=3BF，则&=_________.

IBF\

【答案】2

【解析】分别过A,B作准线的垂线，垂足分别为A，B,,由黑=裳=总可求.

【详解】分别过A,8作准线的垂线，垂足分别为A，Bt,

设|BF|=x,\AF\=y,则黑=焉=用,

|BC\|BC\IAC\

.y=<1=2=2

"y+x+3x3'--|BF|x-

故答案为：2.

三、解答题

17.已知P：X2-7X+10<0,q：4皿+3加2<0,其中加>0.

(1)若帆=4且。人口为真，求x的取值范围；

(2)若F是力的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)4<x<5；(2)|<m<2

【分析】(1)由。八4为真，可知PM都为真，进而求出命题。应，可得到答案；

(2)先求出命题P，q,由r是9的充分不必要条件，可得。是q的充分不必要条件，进而可列出

不等式，求出实数机的取值范围.

【详解】由*2-7工+10<0,解得2cx<5,所以P：2<x<5,

又V-4/nr+3m2<0,且机>0,解得所以夕：m<x<3>m.

(1)当〃?=4时，q：4cx<12,

因为PAq为真，所以p,4都为真，所以4cx<5.

(2)因为F是心的充分不必要条件，所以P是4的充分不必要条件，

m<2

因为0：2<x<5,q：m<x<3m,所以,3，〃25,解得;4542.

m>0

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必

要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.

18.从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量(单位：吨)的数据，整

理得到频数分布表和频率分布直方图.

分组频数

[2,4)2

[4,6)10

[6,8)16

[8,10)8

[10,12]4

合计40

（1）求频率分布直方图中4,/?的值；

（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；

（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的

样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于

8吨的概率.

4

【答案】⑴°：-'-0*；（2）0.7；（3）~.

【详解】试题分析：（1）利用频率分布直方图中小矩形的高的实际意义进行求解；（2）利用频率来估计

概率；（3）先利用分层抽样得到各层抽得的人数，列举出所有基本事件和满足要求的基本事件，再

利用古典概型的概率公式进行求解.

试题解析：（1）因为样本中家庭月均用水量在A6）上的频率为线=0.25,

40

在[6,8）上的频率为£=0.4,

40

所以。=0'25=0.]25,h=0—4=0.2

22

（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个，

所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是黑=0.7.

利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的

概率约为0.7

（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的

样本，

则在俗,8）上应抽取7x%=4人，记为A,8,C,。，

Q

在[8,10）上应抽取7x^=2人，记为E,F,

4

在口0,12]上应抽取7x^=1人,记为G

28

设”从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，

则所有基本事件有：{A,B},{A,C},{A,D},{AE},{AF},{A,G},{B,C},{B,

[B,G],{C,D},{C,E],{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G}，{凡G},共21种.

事件包含的基本事件有：{A,E}，{AQ，{A,G},

{B,E},{B,F},{仇G},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},^12种.

所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为苏12=半4

【解析】1.频率分布直方图；2.分层抽样；3.古典概型.

19.从某居民区随机抽取2021年的10个家庭，获得第i个家庭的月收入x,（单位:千元）与月储蓄%（单

10101010

位：千元）的数据资料•，计算得2占=80,Z»=20，2>戊=184,2、；=720.

/=1/=1r=li=l

⑴求家庭的月储蓄）'对月收入x的线性回归方程¥=及+机

（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

（3）利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该

居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额.附：线性回归方程系数公式.

"__

~nxy

y=中，b=£-------,a=y-bxy其中x，y为样本平均值.

^xf-nx

i=\

【答案】（Dy=0.3x-0.4

⑵正相关

（3）1.7千元

【分析】（1）由题意得到"=10,求得„进而求得写出回归方程；.

⑵由5=0.3>0判断;

（3）将x=7代入回归方程求解.

【详解】（1）由题意知

一1g80-1A20c

n=10,x=——/x=—=o8,y=——>y；=—=2,

lOtT:110io£10

则b=---------=0.3,<5=y-bx=-0.4,

-心了

/=1

所以所求回归方程为y=0.3x—0.4.

（2）因为〃=0.3>0，

所以变量>'的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.

（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3x7—0.4=1.7（千元）.

20.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为尸，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A,B两点，\AB\

=4.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点尸的直线/交抛物线于P,Q两点，若AOP。的面积为4,求直线/的斜率（其中。为坐

标原点）.

【答案】（1）/=4x；（2）士且.

3

【分析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得2P=4,从而可得结果；（2）设直线/的

方程为y=%（x—1）/（%,乂）,。（七,必），x=1+l代入y?=4x,得卜?_4=0,利用弦长公式，结

KK

合韦达定理可得的户。|值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得

c1.2^/^771

=4,从而可得结果.

【详解】（1）由抛物线的定义得A、B到准线的距离都是p,

所以H阴=2p=4,

所以抛物线的方程为V=4x.

（2）设直线/的方程为y=&（x-l）,P（xhyi）,。（必y2）.

因为直线I与抛物线有两个交点,

所以际0,得"二>’代入人孤得人2-4=。，且A=?I6>°恒成立,

4

则乂+%=

I

所以|PQ|=J+部-y2|='.)

又点。到直线/的距离d=

所以S“2=；・|P0-4=当巨=4,解得公=g,即％=±乎.

【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题

能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后

应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.

21.如图所示，4E_L平面A8C。，四边形如中为矩形，BCAD,BAVAD,

AE=M=2AB=28C=4.

E

⑴求证：CF〃平面AOE；

（2）求平面CDF与平面AE7话所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵:

【分析】（1）由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE,再证CF〃平面ADE即可；

（2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求

【详解】⑴证明：四边形A£7话为矩形，/AE,又BC〃AD,AE.AOu平面ADE,BF、BCu

平面ADE,故BF平面ADE,BC/平面ADE,

又BC=B,BF、8Cu平面BFC,平面BFC平面ADE,

*.•CFu平面BFC,：.C/〃平面ADE；

（2）建立空间直角坐标系如图，则C（2,2,0）,0（0,4,0）,f'（2,0,4）,OF=（2,T,4）,OC=（2,—2,0）,

,、m-DF=2x-4y+4z=0（\A

设平面CCF的法向量为s=（x,y,z,则•,取x=l得根=1,13

[m-DC=2x-2y=0I2）

平面AEF8的法向量为“