2022-2023学年江苏省徐州市高二年级上册学期期末数学试题及答案

2022-2023学年度第一学期期末抽测

高二年级数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.抛物线4），的准线方程是（）

A.y=2B.y=-2C.y=lD.y=-l

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线准线方程的概念即可选出选项.

【详解】解:由题知无2=4>,所以〃=2，且抛物线开口向上，

所以其准线方程为:y=-l.

故选:D

2.双曲线九2-21=1的渐近线方程是（）

3

Q1

A.y=±?xB.y=±^3xc.y=±3xD.y=±-x

【答案】B

【解析】

【分析】由双曲线的标准方程可直接求得双曲线的渐近线的方程.

2

【详解】在双曲线/-q_=i中，。=1,b=6,因此，该双曲线的渐近线方程为y=±百x.

故选：B.

【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，属于基础题.

3.在y轴上截距为-2,倾斜角为60的直线方程为O

A.y/3x-y-2-0B.》-伤-24=0

C.y/3x-y+2=()D.x-\/3+2-0

【答案】A

【解析】

【分析】根据斜截式直接整理可得.

【详解】因为倾斜角为60°,所以斜率％=

由斜截式可得直线方程为：yfx-2,即百光—y-2=0.

故选：A

4.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.意思是说有

一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第七天

走的里数为()

35070014002800

A.-----B.——D.

127127127~127

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知，每天行走的里程数成等比数列，利用等比数列的前”项和公式即可求得结果.

【详解】由题意得，马每天行走的里程数成等比数列，

设第〃天行走的里数为勺，则数列｛4｝是公比为q=g的等比数列;

由七天一共行走了里可得

7004+/+…+%=—,Ki700'

“44800一一|64480017(X)

解得。=m,所以___x__—___

%=4-

212764127

即该马第七天走的里数为=.

故选：B

序可一小

5.已知函数/(x)=sin2x,则()

lim

Ax

_1_C也

A.~2B.1D.G

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数的定义以及复合函数的求导法则即可求解.

【详解】由导数的定义可知

又/'(x)=2cos2x,

故嘴=2?；1,

故选：B

6.已知集合A和B分别是由数列｛4"+3｝和｛3"｝的前100项组成，则AC8中元素的和为O

A.270B.273C.363D.6831

【答案】A

【解析】

【分析】先求出数列｛4〃+3｝和｛3"｝的公共项，满足公共项小于等于数列｛4〃+3｝的100项，求出项数,

然后再求和.

【详解】设数列｛4“+3｝的第优项与数列｛3"｝的第"页相等，

即4〃?+3=3'，所以

,_|0

_(4-1/-3_C型(―1)°+C：4，T(-1)'+C；4-2(一\++C;-'4'(-1)+C；4(-l/-3

tn——

44

又因为根,〃GN*,所以f=2〃+l(〃eN"),

所以数列｛4〃+3｝与数列｛3"｝的公共项构成的数列为花””｝.

又因为｛4〃+3｝的第100项为403,

而3?"+i<403的〃=1,2,

所以则AcB中元素的和为：32*1+1+32*2”=27+243=270.

故选：A

22

7.已知45分别为椭圆C：=+]=l（a>Z,>0）的左、右顶点，点P在直线x=。上，直线丛与C的另

a-b

外一个交点为为坐标原点，若。尸，8Q,则C的离心率为（）

.1B1ceDg

3222

【答案】C

【解析】

【分析】由题，设尸（。1）,可得直线雨方程为：y=—（x+a）,将其与椭圆方程联立，后利用韦达

2av/

定理可表示出Q坐标，后利用OPBQ=0可得答案.

【详解】由题，设因4（—a,0）,则直线以方程为：>-=—（X+a\.

2a7

V=——（X+。）

将其与椭圆方程联立:消去y并化简得:

bv=,

222

222a（r-4b）

（4〃2+r）J+2atx+err-Aab0,由韦达定理有：Xx.又与=-a,

4b2+t2

a（4/?2-r）

则X

XQ4〃+t2

a（4/-）4th2

代入y可得Q

4b2+t24b2+t2

7

4fb2

则PQ,OP=（a,f）.又OP上BQ,

4b2+t2'4b2+t2,

uunuuu4th2-2ta2

则0PBQ==0n»

4〃+/

fflli2c-a'-h-b'1V2

则e=—=-----=―-=—=>«?=----

a2a22b222

故选：C

8已知a=0.99—ln0.99,b=l,c=1.01—1.011nl.01,则()

A.a<b<cB.c<b<a

C.h<c<aD.b<a<c

【答案】B

【解析】

【分析】设/(x)=x-lnx,x>0,利用导数可得/(x)在(0,1)上单调递减，从而有/(0.99)>/(1)=1,即

a>b；令g(x)=x-xlnx(x>0),利用导数可得g(x)在工+o。)上单调递减,从而有g(1.01)<g⑴=1,

即c<8,即可得答案.

【详解】设/(x)=x-lnx,x>0,则有f'(x)=i一上=二」，

XX

所以当0<x<l时，r(x)<0,/(x)单调递减；当X>1时，f\x)>0,/(X)单调递增；

所以/(0.99)>/(1)=1,

即有0.99—In0.99>1,

故a>b；

令g(x)=x-xlnx(x>0),则g'(x)=l-(lnx+l)=-lnx,

所以当0〈元<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当％>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减：

所以g(1.01)<g⑴=1,

BPl,01-1.0Unl.01<l.

故c<b,

综上所述，则有c<b<a.

故选：B

【点睛】方法点睛：对于比较大小的题目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函数的单调性进

行比较.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知曲线c：_J+2L=i,则下列说法正确的是()

m"+1m

A.若C是椭圆，则其长轴长为

B.若加＜0,则C是双曲线

C.C不可能表示一个圆

D.若加=1,则C上的点到焦点的最短距离为也

2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据m2+1〉加可知若为椭圆，则焦点在X轴上，进而可判断A,进而可判断BC,根据椭圆的几何

性质可判断D.

【详解】由于I"?+1一m=+—＞0,所以〃『+1＞相，

I2)4

22

对于A,当加＞0时，故C：_^_+21=1表示焦点在x轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为2府石，故A

m+1m

错误，

对于B,当mvO时，C是双曲线，故B正确，

对于C,由于加2+1＞机，故。不可能表示一个圆，故C正确，

22

对于D,加=1时，C:—+^-=1,表示焦点在x轴上的椭圆，且此时足=2,从=1,。2=1,

21

故椭圆上的点到焦点的最小距离为a_c=&-1，故D错误，

故选:BC

nn+

10.已知数列｛%｝满足4+24++2~'an=n-2',则()

A.4=4

B.｛%｝的前10项和为150

C.｛(T)"%｝的前11项和为一14

D.｛|q-10|｝的前16项和为168

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据递推公式得q=2〃+2,进而根据等差数列的求和公式即可判断AB,根据并项求和可判断C,根

据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D.

/,2n

【详解】由4+24+-+2”%“=〃-2用得：当〃22时，4+2%++2-a„_1=(/i-l)-2,两式相

减得2"-%”=〃2向一(〃一1)2"=(“+1)2",

故=2〃+2,(〃？2),当〃=1时，q=4也符合，故a“=2〃+2,

对于A,4=4,故A正确,

对于B,｛《,｝的前10项和为("22)xl°=]30,故B错误,

对于C,｛(一1)〃。〃｝的前11项和为-4+〃2-%+々4--4=-4+5?(2)=-14,故C正确,

对于D,当。“-10=2〃—8>0,解得〃>4

10-tzz/,l<n<3

所以,〃-io[=<,nGN"

。“-10,九>4

所以M—10|｝的前16项和为(10-%)+(10-%)+(10-a,)+(a4-10)+(a5-10)+(4-10)

(6+4+2)+(0+2+4++24)=12+(°+2??二=168,故D正确,

故选：ACD

11.连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用.若

的图象是一条连续不断的曲线,的导函数/'(x)都存在，且/'(x)的导函数7'"(%)

也都存在.若玉。e(a,b)，使得/(X。)=0,且在%的左、右附近,/"(X)异号,则称点(毛,〃/))为曲线

>=/(%)的拐点.则以下函数具有唯一拐点的是()

A./(x)=(x+l)2B.f(x)^x3+2x2+3x

C.f(x)—xe'D./(x)=lnx+x2+sinx

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据拐点的定义及零点存在定理对选项求二阶导函数，判断其是否有异号零点即可.

【详解】关于选项A:〃x)=(x+l)2,所以/'(x)=2(x+l),

(x)=2。(),根据拐点定义可知,y=/(x)没有拐点；

关于选项B：/(x)=f*+2x2+3x,所以/'(1)=3X2+4%+3,

2

即/"(%)=6%+4=0,解得彳=-§,

且XW卜时,/"(x)<O,xe]-|,+co)时,/"(x)>0,

故(一：,/(一。)为y=/(x)的拐点；

关于选项C:/(x)=xe',/'(x)=(x+l)e”,

令f"(x)=(x+2)e*=0,解得x=—2,

且xe(y,-2)时,/"(%)<0,%€(-2,—8)时,/"(%)>0,

故(-2J(-2))为y="X)的拐点；

关于选项D:/(x)=lnx+x2+sinx,/z(x)=—+2x+cosx,

/"(%)=--y+2-sinx,

因为/〃[!)=一2—sing<0,/"(l)=l—sinl>(),

所以骂,使得了"(为)=0成立，

由于/"(%)在(°，+8)是连续不断可导的，

所以/"(/)在(0,+e)有异号函数值，

故》=/(%)存在拐点.

故选:BCD

22

12.在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆土+汇=1的左、右焦点分别为耳，居，点A,在椭圆上,

43

且OAJ_O3,贝U()

A.当P不在x轴上时，△「后用的周长为6

B.使△P6玛是直角三角形的点P有4个

C.^^-<AB<2yf2

7

117

DT---T=—

OA20B212

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据椭圆的焦点三角形即可判断AB,根据坐标运算以及两点间距离公式即可判断D,由D的结论，

结合不等式以及坐标运算即可判断C.

22

【详解】土+乙=1中a=2,6=>A,c=l,

43

对于A,△PF；鸟的周长为忸制+|。闾+忻用=2«+2c=6,故A正确，

对于B,当点P在椭圆的上下顶点时，止匕时|P制=|P闾=由周=2,故/月产工=60,因此当点尸在椭圆

上时，NFfK不可能为直角，故当△P6E为直角三角形时，此时26，耳鸟或P6故满足条

件的尸有4个，故B正确，

设A6,y),3(£,%),由于。4OB,则由于。4•OB=+X%=°，，进而得(又用『=(y%丫，即可

(%々)2=9J和)1一些),化简得;(M+Z。.-意超之片,

-1-I---1---1-------|-----1----------1----：——T------111

A?OB-+々2+2(2)

1

A：/+3I---x2+3

2222

3+上+3+23+工+3+26+"小

44=44=

函苧|*+画)(笳焉)

4721

，当且仅当，即|Q4|=|0B|时取等号，故|A卸3又

7

22

AB「=xj+必2+x/+乂2=xj+/2+3%一工+3嘉-+6=7———X2Xj,故当方,％2

渤4松4，4、一)144~

有一个为0时，|AB|取最大值为近，故|AB|i，故C错误,

故选：ABD

【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范

围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.另外在解析几何中还要注意

向量的应用，如本题中根据向量垂直得坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线4:(〃?+3)x+5y=5,：(m+6)x+2y=8,若IJ/%,则，"的值为.

【答案】-8

【解析】

【分析】根据两直线平行满足的关系即可求解.

【详解】由可得〈］入/得加=一8,

一8(〃2+3)7-5(，”+6)

故答案为：-8

14.已知等差数列｛4｝的公差4工()，若4,%，%成等比数列，则幺的值为.

d

【答案】《

【解析】

【分析】根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可化简求解.

【详解】由4，。2M6得%之=%4=>(4+〃)2=%(4+5d)=d=3q,所以幺=；,

故答案为：—

3

15.已知函数/(x)=hu—ox—1,若恒成立，则实数。的取值范围为.

5,+8

【答案】

【解析】

恒成立即a>在上恒成立，只aNlnx-1

【分析】〃x）V0@F（0,+8）需即可，构造新函数求导求

xmax

单调性及最大值即可.

【详解】解:由题知〃无）《。恒成立,

印Inx-ov-l40在（0,+8）上恒成立，

即。之色土」•在（0,+8）上恒成立，即aN------,

"I"/max

记g（X）=见上]，所以g'（x）=上吗二^="也

XXX

当x«0,e2）时g'（x）>0,g（x）单调递增，

当xe付+8）时,g[x）<0,g（x）单调递减，

所以8（力2=8©）=2,

所以4ZG1，+00]

故答案为：*

16.已知抛物线E:y2=4x的焦点为为后上一点，以线段M尸为直径的圆C与E交于另外一点N,C

为圆心，。为坐标原点.当MV〃OC时，ON的长为，点C到）'轴的距离为.

【答案】①.1②.江叵

2

【解析】

【分析】易知焦点厂（1,0）,根据M,N在抛物线上设出坐标，易知圆心C为M尸的中点即可求出

C七匚，三1，由MN〃OC利用斜率相等可得=4,再根据直径所对的圆周角为90可得MN工NF,

82

即利用向量数量积为0可得为2—y：+16=0,联立及可解得凶2=8+电，根据两点间距

离公式可得|QV|=1,点C到y轴的距离为其横坐标的绝对值等于告叵

【详解】由题意知M,N在抛物线上，设M如下图所示:

[2人

抛物线焦点尸(1,0),圆心C为的中点，所以c2二匚，二

A

y.—y,9

由MN//OC可得kMN=k",即号-£=2".

2L_22_斤+4

448

44乂

整理可得------=—―7，即%当=4；

ya%y+4

又因为为直径，且点N在圆C上，所以

又因为MN//OC,所以OC_LNE,可得OC・FN=0，

乂

I3，J14)

即上山X&T+型1=0,整理得%2—y：+i6=0,

842''

联立必出=4可得y：—16y2-]6=0,解得y；=8+46或y：=8—46<0(舍)

所以五一色一」——」一

所以4一了一8+4逐一2+逐’

,V2

因此|ON|=+%=79-475+4(^/5-2)=1;

点C到y轴的距离为C点横坐标的绝对值，即”3=8+4，+4=

882

故答案为：］,1±苴

2

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何关系实现从形到数的转化，将直线平行转化成斜率相等，

将直径所对的圆周角为直角转化成向量数量积为0,从而得出坐标之间的等量关系在进行计算求解.

四、解答题：本题6小题，共70分.解答应写出件字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①的=9,②S5=20,③勺+6=13这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等

差数列｛4｝的前〃项和为5„,neN\,.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设/=-——，求数列｛〃｝的前〃项和J

anan+\

注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

【答案】E

(1)an=〃+1,〃N*

N

⑵小T

【解析】

【分析】(1)根据｛q｝是等差数列,设出公差为d,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本

量，写出通项公式；

根据中的通项公式，写出的通项，利用裂项相消即可求得前〃项和

(2)(1)｛2｝Tn.

【小问1详解】

由于｛4｝等差数列，设公差为d,

0=q+7d=9a.=2

当选①②时：＜g，解得《

S5=5q+10J=20a=1

所以｛4｝的通项公式4,=2+(〃-l)xl=〃+l,〃wN*.

%=q+7d=9a.=2

选①③时：＜，解得已

%+q)=2q+9d=13d=1

所以｛%｝的通项公式a“=2+("—l)*l=〃+l,〃eN*.

S=5q+10d=204=2

选②③时：＜5，解得L।

生+佝=2q+9d=13d=1

所以｛q｝的通项公式4=2+("—l)xl=〃+l,"eN”.

【小问2详解】

由(1)知，%=72+1,Z?GN\

,1111

所以“=-----=(,o\=~T7〃

«„«n+i(〃+1)(〃+2)n+\+2'

11_n

2-/1+2-2(/?+2),

18.已知圆G：x~+y~+2x—6y+5=0,圆C?:x~+一10%+5=0.

(1)判断C1与C2的位置关系；

(2)若过点(3,4)的直线/被G、。2截得的弦长之比为1：2,求直线/的方程.

【答案】⑴外切⑵x-y+l=O或x+5y-23=0

【解析】

【分析】(1)计算出|GG|,利用几何法可判断两圆的位置关系；

(2)对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，在直线/的斜率不存在时，直线验证即可；在直线/的斜率存

在时，设直线/的方程为依-y+4-3%=0,利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于攵的方程，

解出人的值，即可得出直线/的方程.

【小问1详解】

解：圆匕：(%+1)2+()-3)2=5的圆心为4(—1,3),半径为/；=石，

圆C2:(x—5『+/=20的圆心为C2(5,0),半径为4=2石.

因为心。21=J(T-5p+(3-Op=3石=/+&，所以圆G与圆。2外切.

【小问2详解】

解：当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=3,直线/与圆G相离，不符合题意;

当直线/的斜率存在时，设/的方程为y=%(x-3)+4,即依一y+4-3左=0,

|1一4用|2女+4|

则圆心C到直线/的距离为4='1，圆心G到直线/的距离为&二,，

JX+1，公+1

所以，直线/被圆G截得的弦长为2

直线/被圆。2截得的弦长为2,20-

由题意可得J一什的［=

即4(1—44)2=(2&+4)2,解得上=1或&=一(，

经检验，左=1或4=—；均符合题意.

所以直线/的方程为％-丁+1=0或x+5y-23=0.

19.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线

的一段，的中垂线恰是该抛物线的对称轴，。是的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区

域种植草坪，其中均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点尸到直路AB

的距离为40米.以。为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.

(1)求该段抛物线的方程；

(2)当CO长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD面积最大?

2

【答案】⑴y=——x2+40,-3®30

45

(2)20米

【解析】

【分析】（1）卜=依2+，，把B（30,0）,P（0,40）两点坐标代入求解即可:

⑵cfx,40——x2

，由梯形的面积公式，可得梯形A8CD的面积为

S=2（x+30）（20x],0<x<30,构造函数/（x）=（x+30）（20x）,。<x<30,求导可知

当x=10时，该函数/（x）有唯一的极大值点，则改点也是函数的最大值点，即可求解.

【小问1详解】

设该抛物线的方程为y=o?+c,由条件知，B（30,0）,P（0,40）,

c=40

c=40

所以《”，仆，解得2，

ax30~+c=40a=-----

45

2

故该段抛物线的方程为y=--%2+40,-30<%<30.

45

【小问2详解】

由（1）可设。[乐40一1一），所以梯形ABC。的面积

（）（1=2（x+30）（20-g2）

5=12x+6040-0<x<30,

45

设/（力=（；1+30）（2（）_5/

,0<x<30,

则r（x）=-，x2-gx+20=-I^_I?!”""，令/'（x）=0，解得x=10,

当0<x<10时，,/（x）>0J（x）在（0,10）上是增函数；

当10<x<30时，Z（x）<0,/（x）在（10,30）上是减函数.

所以当x=l（）时，/（x）取得极大值，也是最大值.

故当8长为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大.

20.已知曲线C:y=M在点（怎,yn）（x„>0）处的切线与x轴的交点为（居+1,0）,“eN*,且％=g.

（1）求数列｛x“｝的通项公式;

（2）设S〃为数列｛小七｝的前〃项和，求使得S“〉《：成立的正整数〃的最小值.

64

【答案】（1）.3

（2）8

【解析】

【分析】（1）根据切线方程的求解得切线方程为y=2怎（x—当）+片，y=o得工用=1x„（x„>0）,即可

判断为等比数列，进而进行求解，

（2）根据错位相减法求解S”，即可根据S“的单调性求解.

【小问1详解】

因为>=》2,所以y'=2x,

所以曲线C上点（当,券）（工>0）处的切线方程为y=2%（x—%）+片.

1、X〃.+..1-1

令y=o,得x,用>0），即

「2’

又玉=g,所以｛七｝是以3为首项，g为公比的等比数列.

故｛七｝的通项公式为当---1-.

X

【小问2详解】

Lzn

由⑴知,n-xn=—,

所以s“=，+4+.+-^,-S=-^2n

n一+梦+…+产’

两式相减得，-s=-+4+4+1n2^2"Jn1n

+n+1n+I

2n2222322«-,12向2"2

2

所以S“=2—*・

因为〃•元"==>0，所以S“+1>S“，

▽c-7+2247/250_8+2251125

又S，=2-丁=*<瓦，风=2-亍=花〉瓦，

125

所以使得S〃>—成立的正整数〃的最小值为8.

64

22

21.已知双曲线C:]-方=1(4>0油>0)的左、右焦点分别为耳，鸟，且后周=4,过G的直线/与C的左

支交于A,B两点，当直线/垂直于X轴时，|A6|=2e.

(1)求C的标准方程；

(2)设。为坐标原点，线段AB的中点为E，射线0E交直线尸一1于点。，点G在射线0E上，且

\OGf^2\OD\-\OE\,设直线《G,gG的斜率分别为匕#2,求尢•&的值.

22

【答案】(1)二-匕=1

22

(2)1

【解析】

【分析】(1)根据题意列出关于。功的方程，解出即可得结果；

(2)设直线/的方程为了=阳-2,联立直线与双曲线的方程结合韦达定理求出E点坐标，根据题意得出第，

犬,由斜率计算公式即可得结果.

【小问1详解】

b2

将X=C代入双曲线可得x=±幺,

a

a2+b2=4

由条件知」2〃r~解得储="=2.

——二2j2

Ia

22

所以C的标准方程为2-匕=1.

22

【小问2详解】

设直线/的方程为％=加丁-2,

\22

£__2L=1

联立《22—消去x并整理得，（加2-1）y一4m），+2=0,

x=my-2

in2-1<0,

则《,7,X

16/7?2-8（/n2-l）>0,

设A（x，y）,3（w，y2），则y+%=r

m-

ll_2m