2022-2023学年江苏省苏州市张家港市高三上学期12月阶段性调研数学试题（解析版）

张家港市2022-2023学年高三上学期12月阶段性调研

数学

注意事项：

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）多项选择题（第9题~第12

题）填空题（第13题~第16题）解答题（第17题~第22题）本卷满分150分，

考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填

写在答题卡的规定位置。

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作

答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚。

一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的

1.已知集合5={S|S=2〃+1,〃£Z},T={r|/=4〃+l,〃£Z},则SDT=

A.0B.SC.TD.Z

2.若0>°，°>°,则“a+bW4"是"abW4”

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2

cosa=一

3.在平面直角坐标系xO），中，角a以Ox为始边，且3。把角a的终边烧端点O按

71

逆时针方向旋转2弧度，这时终边对应的角是0,则sinp=

出

22

A.B.-C.D.3

333

4.若直线y=%（x+i）—1与曲线y="相切，直线-1与曲线相切，

则kik2的值为

J_

A.2B.1C.eD.e

5.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）三

角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A.B,

C三点，且A,B.C在同一水平面上的投影A',B',C'满足NA'C'5'=45°,NA'B'C=60。

由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45,，则A,

C两点到水平面ABC的高度差AA'—CC'约为(G=1.732)

A473B.446C373D.346

/X"电)-"")>2022

6.已知函2数叫对任意的罚">0,有工2一5恒成立，

则实数k的取值范围为

ion101产ioiF

A.[0,+8)B.(2,+oo)C.[2,+oo)D.[2,-RO)

7.在AABC中，AB=2fAC=3,ZBAC=60°,N为线段BC的中点，M为线段AC上

靠近点A的三等分点，两条直线AN与BM相交于点P,则福•比=

579n

A.4B.4c.4D.4

22A

8.在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线厂—A=4右支上的一个动点，若点M到直线

x—y+2=°的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为

A.1B.&C.2D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分。

9.设ZGC,在复平面内z对应的点为Z,则下列条件的点Z的集合是圆的有

A.z-z-\B.|z-l|=|z+l|

C.|z—1|=2|z+11D.|z-l|+|z+l|-2

10.在棱长为2的正方体ABCD—48CQ|中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一

点，且配=ZG［0,1J,N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是

A.CN与QM异面

B.三棱锥A—DMN的体积跟X的取值无关

C.不存在人使得

2=19

D.当2时，过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的面积为5

11.已知f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且g(x)=1(x),则

A.f(x)关于直线X=1对称B.g(x)关于点(2,0)中心对称

C.g(6)=0D,g(l)=°

12.设函数f(x)=sin(3x+g)(3>0),已知f(x)在［0,2旬有且仅有4个零点，下述四

个结论正确的是

A.f(x)在(0,2兀)有且仅有3个极大值点

B.f(x)在(0,2兀)有且仅有2个极小值点

1912

C.3的取值范围是［1°,5)

冗

D.f(x)在(0,12)上单调递增

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)="+aex为偶函数，则不等式f\m-2)+/(4-m2)<0的解集为—。

14.已知直线/：办+y-l=0是圆C：X?+y2-2x-4y+1=0的对称轴，过点A(—3,a)

作圆C的两条切线，切点分别为M,N,则直线MN的方程是。

15.在四边形ABCD中，AB=BC=1,ZABC=90°,Z\ACD为等边三角形，将4ACD沿边

AC折起，使得80=6,则三棱锥D-ABC外接球的体积为o

——+=1(。>/7>0)

16.已知O为坐标原点，椭圆矿旷的左、右焦点分别是R、F2,过点B

且斜率为k的直线与圆工+丁交于A,B两点(点B在x轴上方)，线段RB与椭圆

交于点M,M延长线与椭圆交于点N,且|AM|=|BF/,|MF2|=2层川,则椭圆的离心

率为，直线AFi的斜率为«

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

17(10分)已知数列｛q｝的前门项和为5“，且5"="一，数列｛1?11｝满足1511=3bnr+2(n>2),

且b1=a1+1°

(1)求数列｛4｝和｛bj的通项公式:

(2)设数列｛g｝满足Cn=an(bn+1)，求数列｛,｝的前n项和T”。

18.(1)共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，

有点类似于在租车行业里的短时间的租车。它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订

车某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体

验者，让他们根据体验效果进行评分

(1)设消费者的年龄为x,对共享汽车的体验评分为y若根据统计数据，用最小二乘法得

到y关于x的线性回归方程为9=1.5x+15,且年龄x的方差为酸=9,评分y的方差为学=

25。求y与x的相关系数r,并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱(当

时，认为相关性强，否则认为相关性弱)；

(2)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差

评”。整理得到如下数据，请将2x2列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共

享汽车的评价与年龄有关。

好评差评合计

青年16

中老年12

台计44100

6=屋里型2二21

附：回归直线9=Ax+&的斜率

f(七一元)(%一刃

相关系数r=।J“

］另(西-了)2£(丫.-亍)2

Vi=\i=\

独立性检验中的k2=n(ad-bc)2苴中〃=Q+Z?+C+d

(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)'1

临界值表:

P(K2>ko)0.0500.0100.001

k。3.846.63510.828

19.(1)已知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，且bcosC+V3bsinC=a+c。

(I)求B；

(2)若aABC为锐角三角形，且。=2,求aABC的面积S的取值范围。

20.(1)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正

三角形，侧面PAD,底面ABCD,M是PD的中点

(1)若平面ABM与棱PC交于点N,求证：N是PC的中点；

(2)求二面角A—PC—D的正切值。

21.(1)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的方程为丁=2*(〃>°),直线1经过抛

物线的焦点F与抛物线交于点A,B,经过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于

点D。

(1)①求OA.OB的斜率之积；②求IOAHOBI的取值范围；

(2)求证：直线BD平行于抛物线的对称轴。

22.(1)已知函数f(X)=-xZ+(a-j)x+a-3(X>0)

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(X)存在两个极值点XI，*2,记h(X/X2)=f(Xi)f(X2),求h(XI，X2)的

取值范围。

张家港市2022-2023学年高三上学期12月阶段性调研

数学答案解析

注意事项：

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）多项选择题（第9题~第12

题）填空题（第13题~第16题）解答题（第17题~第22题）本卷满分150分，

考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填

写在答题卡的规定位置。

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作

答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚。

一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的

1.已知集合5={5|$=2〃+1,〃€2},T={r|r=4〃+l,〃wZ},则snT=

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【解析】TjS,ScT=T,选c

2若a>O,b>°,则“a+b44"是“abW4”

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】“a+bW4"时+疝，贝gbW4,充分

“而44”时，取。=i,b=4,则。+力=5>4,不必要，选A。

2

cosa=一

3.在平面直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，且3。把角a的终边烧端点O按

71

逆时针方向旋转2弧度，这时终边对应的角是|3,则sin|3=

A.二B.ZC.-正D.T

333

【答案】B

・0.(万、2

sinp=sin一+a=cosa=—

【解析】<2)3,选B

4.若直线>="""+1)-1与曲线y=e*相切，直线>=/("+1)—1与曲线y=Mx相切，

则k#2的值为

\_

A.2B.1C.eD.e'

【答案】B

【解析】直线h：>=匕(*+1)-1过定点人(一1,—1)是丁=，的切线，切点设为B(xi，

exl),y'=ex,%[=/',切线y-e*1=c*'(x—M)过A(―1，—1),

—1一泊=e』(一1—%)，.•一©"=1,直线b：y=&(x+1)—1过定点A(—1,一1)是

y=In%的切线，切点为和为C(X2,lnx2),>'=-，k>=—,切线：y—Inx2=—(x—x9)

xx2x2

过A(—1,—1),

=

—1—Inx2—(一]—“2)

.x2.%21nx2=1,则工2>]

令/(x)=xlnx(x>1),/z(x)=lnx+l>0,f(x)在(L+oo)/,

1x

/(x,)=')=1,x2-e*,k、k>—e'—=1,选B。

5.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)三

角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,

C三点，且A,B.C在同一水平面上的投影A',B，,C满足NA'C'B'=45°,ZA'B'C^60°。

由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45,则A,

C两点到水平面ABC的高度差A4'—CC约为(百=1.732)

D.346

【答案】C

【解析】如图过C作COLBB',垂足为D,过B作BE_LA4',垂足为E。

BD100100

CD==100(2+⑹

tan15~CD~~CD2-G

RtABCD中,

.100(2+®_A*.A0=100G+100

...BE=100G+100=AE

后6F'..

W

.A4,-CC=A4,-(BB,-10())=A7V,-B5,+100

=AE+100=100V3+200=373；选c

/(.A/("J>2022

6.已知函数“x)=r对任意的占">0,有

々一%恒成立,

则实数k的取值范围为

ion101FIOIF

22

A.io,+oo)B.(,+oo)c.［2,+8)D.I,+oo)

【答案】D

323>2022

［解析］玉>玉>0有々一石，.♦./(马)一2022/>/(%)—2022%

・・g(%)=/(%)-2022x在((),+oo)/,g，(x)=Y+%in%-2022%

k

g'(x)=2%+——2022>010112

x恒成立，2/一20221+220,^->0

2

%上

2，选D。

7.在AABC中，AB=2,AC=3,N84C=60°,N为线段BC的中点，M为线段AC上

靠近点A的三等分点，两条直线AN与BM相交于点P,则衣­BC=

W工2U

A.4B.4c.4D.4

【答案】A

【解析】

A3/1,

---1-----=11__1___1___

VB,P,M三点共线，22,则；［=一，丽=二通+—恁

244

而屁=（厚+；回（/一硝=；网一珂=；

8.在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线/一产=4右支上的一个动点，若点M到直线

X-y+2=0的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为

A.1B.&C.2D.2及

【答案】B

【解析】双曲线X一）'=4,渐近线：y=x

d5/2厂

y=x与x_y+2=0的距离72,则〃?Wj2,即根,皿=及，选B。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分。

9.设ZGC,在复平面内z对应的点为Z,则下列条件的点Z的集合是圆的有

A.z-z-\B.|z-l|=|z+l|

C.|z-1|=21z+11D.|z-l|+|z+l|-2

【答案】AC

【解析】令2=%+）力彳=%一.

对A,z・N=（x+yi）（x-yi）=x2+J=1表示圆，A对。

对B,|z-lHz+l|,则d+（y—i1=x2+（y+i）2,则y=。不是圆，B错。

对于C,|z—l|=2|z+]|,则尤2+（,_1）2=4*+（,+]）2]

，（5丫」6

化简得13）9表示圆，c对。

对于D,|z+l|+|z_l|=Jx2+（y+i）2+也2+&_1）2=2表示线段,D错。

10.在棱长为2的正方体ABCD—中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一

点，且丽=4^4ZG[0,1J,N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是

A.CN与QM异面

B.三棱锥A—DMN的体积跟X的取值无关

C.不存在入使得AM_LQAZ

D.当2时，过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的面积为2

【答案】BD

【解析】连AC,CQ,则M,N分别为AC,AQ的中点，MN为aAQC的中位线。

MN//CQ,则CN,QM共面，A错。

VA-DMN^N-ADM=]SA4£>M[=§为定值，B对。

如图建系。I(0,0,2),Al(2,0,2),加=4取1'，则Q(21,0,2)

W=(-1,1,0),=(1-22,1,-2),AM-2M=22-1+1=22,

4=0时，AMA.OM,C错。

截面如图所示，图形ACFQ,过Q作AC的垂线垂足为G。

S1(0+2⑹乎《

D对。

11.已知f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且8(*)=''('),贝!!

A.f(x)关于直线X=1对称B.g(x)关于点(2,0)中心对称

C.g(6)=0D.g(l)=°

【答案】BC

【解析】f(x+4)=f(x)=f(-x),；.f(x)关于X=2对称，A错。

f'(x+4)=-f'(-x),即g(x+4)=-g(-x),...g(x+4)+g(-x)=0,

即g(x)关于(2,0)对称，B对。

/(x+4)=/(x),.•.f,(x+4)=f/(x),即g(x+4)=g(x),g(x)的周期为4,

虱6)=g(2)=0,C对。

无法判断g(1)是否为0,D错，选BC。

12.设函数f(x)=sin(3x+](3>0),已知f(x)在[0,2兀]有且仅有4个零点，下述四

个结论正确的是

A.f(x)在(0,2n)有且仅有3个极大值点

B.f(x)在(0,2TI)有且仅有2个极小值点

1912

C.3的取值范围是[1°,5)

兀

D.f(x)在(0,12)上单调递增

【答案】BCD

【解析】。342万，则牌3X+牌2713+(，f(X)有4个零点,

兀1912

则2加yd£69G[—,—),C对

5105

f(x)有两个极小值点，2个或3个极大值点，A错，B对

八7C717171717C71.43"2、27C

0<X<—,一<5+一<—①+一，一69+—G[---，一乃)，—7K—

1255125125120552

71

：.f(x)在(0,12)/,D对，选BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数f(x)="+ae-x为偶函数，则不等式/(m-2)+/(4-/n2)<0的解集为

【答案】(—,-1)52,+8)

【解析】/(%)=ex+ae-x为偶函数，则a=l,f(x)=ex+e~x,f'(x)="—为奇函数在

R上/,/'(机—2)+/'(4—m2)<0,则/'(6-2)<—/'(4一，〃2)=/'(加2-4)

m—2<m2—4,加>2或m<—I

14.已知直线/：av+y-l=O是圆C：x?+y2-2x-4y+1=0的对称轴，过点A(—3,a)

作圆C的两条切线，切点分别为M,N,则直线MN的方程是.

［答案】4x+3y-6=。

【解析】圆9+V一2x—4y+l=°,圆心c(1,2),半径为2,1是圆C的对称轴，则

。+2—1=0,.•.a=-l,A(—3,—1),过A作圆C：(l)+(丁—2)=4的切线，

切点为M,N,切点弦MN：(-3-1)6-1)+(—1-2)。-2)=4,即4%+3丁-6=°。

15.在四边形ABCD中，AB=BC=1,4ABe=90。，Z^ACD为等边三角形，将AACD沿边

AC折起，使得80=6,则三棱锥D—ABC外接球的体积为。

6兀

【答案】2

【解析】取AC中点M,连BM,DMo

13

4+3-1V6V3

乙l~~—=—，sinzDBM=—

2x^xV333

过D作平面ABC的垂线，垂足为N,.•.DN=gx掾=1,BN=V2,MN=y

22

fOM+i=RQ.r=

设外接球半径为R,则12，则R=虫，V=£TTR3=每

((1-0M)2+工=R2232

——+=l(ct>/?>0)

16.已知O为坐标原点，椭圆矿旷的左、右焦点分别是R、F2,过点B

且斜率为k的直线与圆工+丁交于A,B两点(点B在x轴上方)，线段RB与椭圆

交于点M,M6延长线与椭圆交于点N,且|AM|=|BFi|,IMF2I=2|FzN|,则椭圆的离心

率为，直线AFi的斜率为«

【答案】~\

【解析】取中点G,则由|AM|=|BF/nAF]=BM,且由F】G=GMnAG=GB,，G

为AB中点，/.OG±ABt又：o为F1F2中点，，0G||MF2nMFi1MF2,设F?N=X,

.*.MF2=2x,.\MF1=2a—2x,NF】=2a—Xo

在RtAMFiN中，(2a—2x)2+9x2=(2a—x)2=-8ax+13x2=-4ax4-x2=>x=|,

MFi=：a,MF2=在Rt^MFiFz中，竺a2+把=4c?

3399

c石

=椭圆离心率a3,图中1<AB=tan。=£=：(0=4MF1F2),

5a2

当AB斜率为负时，画图知显然不满足，舍去。

综上应填：3；2。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

17(10分)已知数列｛an｝的前n项和为S“，且〜一〃，数列｛bn｝满足以=3bn_1+2(n>2),

且b]—a1+1o

(1)求数列｛%｝和｛孤｝的通项公式；

(2)设数列｛/｝满足Cn=an(bn+1)，求数列｛品｝的前n项和T”。

【解析】

(I)当〃=1时，4=5=1,

22

当n32时，an=Sn-Sn_t=n—(n—l)=2n—1,

因为《符合%,所以

因为bn=3bn.1+2(n>2),所以(以+1=3(bn_1+l)(n>2),

又bi=a1+1=2,所以bn_i+1H0,所以[跖+占=3(n>2),

bn-l+l

所以数列｛bn+1｝是首项为3,公比为3的等比数列。

所以bn=3-3n-l-l=3n-lo

n

(2)Cn=an(bn+1)=(2n-l)3,

23n

Tn=1x3+3x3+5x3+-+(2n-1)x3

234n+1

3Tn=1x3+3x3+5X3+-+(2n-1)X3

23nn+1

-2Tn=1x3+2X3+2x3+-+2X3-(2n-1)X3

=-3+2(3+32+…+3n)-(2n-1)X3n+1=-3+2x二；)-(2n-1)x3n+1

1—3

=-6+3n+1-(2n-l)x3n+1=-6+(2-2n)x3n+1,

所以Tn=(n-1)x3n+1+3

18.(1)共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，

有点类似于在租车行业里的短时间的租车。它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订

车某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体

验者，让他们根据体验效果进行评分

(1)设消费者的年龄为x,对共享汽车的体验评分为y若根据统计数据，用最小二乘法得

到y关于x的线性回归方程为歹=1.5x+15,且年龄x的方差为殴=9,评分y的方差为苏=

25。求y与x的相关系数r,并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱(当

W时，认为相关性强，否则认为相关性弱)；

(2)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差

评”。整理得到如下数据，请将2x2列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共

享汽车的评价与年龄有关。

好评差评合计

青年16

中老年12

台计44100

6二ZL（七一可（.一刃

附：回归直线3=6%+&的斜率’）

£（七一元）（％一9）

相关系数r=「“

（不-方了力（R-才

V/=1/=1

独立性检验中的k2=g+b）黑）蒜©»其中i，+c+d。

临界值表：

P(K2>ko)0.0500.0100.001

k。3.846.63510.828

【解析】

100

Z(Xj-X)ioo

(1)因为S；=卫---------=9,所以£(七一君2=900,

100/=!

100

Z(x-y)2

因为s；=旦7G—=25,所以Z(y—力2=2500,

lUv/=1

100

Z(x,D(y,一刃

因为石二反而-----------=1.5，

£(%-元)2

/=!

100100

所以Z(x,—君(％—9)=L5xZ(%—君2=1.5x900=1350,

/=1/=!

100

13501350“

所以相关系数，二哥------而——-----------------------------------------=(_)9

£（%——£（y-y）27900x250030x50

i=\/=1

因为0.9>0.75,所以可以判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强

（2）根据题意可得2x2列联表如下：

好评差评合计

青年163248

中老年401252

合计5644100

因为K?=际貌篝蕾就西=1925>10,828,所以有99.9%的把握认为对共享汽

车的评价与年龄有关。

19.(1)已知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，且bcosC+遍bsinCa4-Co

(1)求B；

(2)若AABC为锐角三角形，且。=2,求AABC的面积S的取值范围。

【解析】

abJ=2R

(1)VbcosC+V3bsinC=a+c,由正弦定理sinAsinBsinC

边化角得sinBcosC+百sinBsinC=sinA+sinC

=sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC,

V3sinBsinC+sinC=cosBsinC,

•：CG(0,71),sinCw(),

V3sinB=cosB+1

.,.2sin(B-^)=1

B=—

又B所以B-旨也即3。

n兀4-2万

B=—A+C=——

(2)3,3,即八=票一(：，又c=2,

2sin(竽-C)_V3cosC+sinC一百+1

二由正弦定理得a=煞一元+1，

sinCsinC

•FABC=jacsinB=as吗*唆+1),

0<A<一

2

TTTT

VAABC为锐角三角形,0<C<-,解得多<c<—

262

2万

--C

3

从而tanCe(——,+oo),.-.Se

20.(1)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正

三角形，侧面PAD_L底面ABCD,M是PD的中点

(1)若平面ABM与棱PC交于点N,求证：N是PC的中点；

(2)求二面角A—PC—D的正切值。

【解析】

(I)•••底面ABCD为正方形，...AB〃C£),

：ABa面PCD,DCu面PCD,；.AB〃面PCD,

：ABU面ABM,平面ABM与面PCD交于直线MN,A8/MN,

'JAB//CD,：.MN//CD,

由M是PD的中点，得N是PC的中点

(2)方法一：•.•底面ABCD为正方形，CD'AE

•.,侧面PAD_L底面ABCD,侧面PADC1底面MCZ)=AD,CDu底面ABCD.

ACDlffiPAD,；AMU面PAD,ACD1AM

•.•面PAD是正三角形，M是PD的中点，PDLAAf,

而CDCIPD=D,CD,PDU面PCD,，AMJ_面PCD,

在4PCD内过M作MH1PC于点H,连接AH,

由AMJ_面PCD,PCcffiPCD,所以AMIPC。

由MH1PC,AMnMH=M,所以PC_L平面AMH,

又AHU平面AMH,所以PCIAH。

所以NAHM为二面角A-PC-。的平面角，tan4AHM=需，

由？A=2,则AM=g,MH=—PM=—,

22

tanZ.AHM=—=牛=A/6O

MHV2

方法二

建系如图所示,

AP=(0-1>V3),AC=(2,2,0),平面APC的一个法向量n=(V3,一百，1)；

CP=(-2>-l<V3),DP=(0,-1,V3),平面APC的一个法向量m=

(0>V3>1)；cos(m-n)=-^=,tan0=V6»

21.(1)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的方程为y2=2px(p>°),直线1经过抛

物线的焦点F与抛物线交于点A,B,经过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于

点D。

(1)①求OA.OB的斜率之积；②求IOAMOBI的取值范围：

(2)求证：直线BD平行于抛物线的对称轴。

【解析】解析一

<1)设A舄，yi),B*,y2),所以直线AB的方程为2px-(y1+y2)y+丫佻=0，因

-P_2

为直线1过焦点(2,0),所以％必=一',

①k°A,k°B=—=—~—J"=T，所以OA,OB的斜率之积为一4o

=4/17+4/」+!)〉(丁尸丛)

4\y,?24

所以例的取值范围是［乎，+00)

4

x--pp.

(2)直线OA的方程是y=含x,抛物线的准线为2,所以D(―2,_2-),又yB=

丫2=所以yB=yD

所以直线BD平行于抛物线的对称轴。

x=my+—

解析二：(1)①设直线1方程为2,A(xi，yi),B(x2,%),

x=my+—2c2c

-2=>y—2pmy-p~=0,

.V=2px

d.yipi

•■•yiY2=—p2,x”2=

2p2p-4

4

②KM=令=女，'

2kM%

2P

；•I°AI=小+磊卬-Ji+磊㈤=p2ji+=+表(川+4)

I1i'5-

NP9J"而+羽二卜佻口正

当且仅当弘=一%时取“="，即A5_Lx轴时取"="。

.••I0AHOBI取值范围为gp2,+00)。

(2)0人方程丫=型*,令*=一巳=丫口=一巳=y2，ABD||x,证毕!

Yi2Yi

-x2+(a-2)x+a-3

22.(1)已知函数f(x)(x>0；

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)存在两个极值点X1，尤2,记h(X/X2)=f(xjf(x2),求h(Xl,X2)的

取值范围。

【解析】解析一

(1)f(x)的定义域为(0,+00),对f(X)求导得：

_ex(-2x+a-2)-ex[-xz+(a-2)x+a-3]_x2-ax+l

jX=-，

令g(x)=x2—ax+1,X>0

(i)若〃贝即r(x)>o,所以f(X)在(0,+8)上单调递增。

(ji)若a>0,g(0)=1

①当△<()时，即0<aW2,则即所以