2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二年级上册学期期末数学试题及答案

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题

一、单选题

I.已知平面a的一个法向量勺=（3,0,2）,平面夕的一个法向量〃2=（2/,6）,若。，分，则2=（）

9

A.—B.4C.—1D.1

2

【答案】C

【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可

得到结果.

【详解】因为a，/?,则可得〃|，生，

且〃1=（3,0,4）,/?,=（2,1,6）,

则可得6+62=0,解得2=7

故选:C

2.若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（）

A.—B.3C.5D.—

22

【答案】C

【分析】根据题意，设中间的边为。，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到。的值，从而得到

结果.

【详解】由题意设中间的边为。，则三边依次为a-2,a,a+2

由勾股定理可得（a+2）2=（4—2）2+/,解得且=8或a=0（舍）

即斜边为。+2=10,所以外接圆的半径为9=5

故选:C

3.己知P为双曲线=l与抛物线y?=2x的交点，则P点的横坐标为（）

A.3B.2C.76D.-1

【答案】A

【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.

（y2=2x[x=3

【详解】依题意，2x=y2zo,则由，o解得

[x2-y2=3[y=±\l6

所以户点的横坐标为3.

故选：A

4.若直线3x+4y+，"=0与圆f+y2-2y=0相切，则实数加取值的集合为（）

A.{-1,1}B.{-9,1}C.{1}D.{-8,2}

【答案】B

【分析】根据题意，由直线与圆相切可得”=厂，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结

果.

【详解】由圆一+），2-2）；=0可得表示圆心为（0,1）,半径为1的圆，

则圆心到直线3x+4y+根=0的距离d=）+”,

V32+42

因为直线3x+4y+机=0与圆^+y.》句相切，

所以4=r,即1=1,解得m=1或加=-9,

V32+42

即实数〃，取值的集合为{-9,1}

故选:B

5.已知数列{%}首项为2,且凡"-4=2"“，则可=（）

A.2"B.2"-'+1C.2"-2D.2"+,-2

【答案】D

【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.

【详解】由已知得/M-4=2""，4=2,则当“22时，有

%=（«"一"”-2）++（。2_《）=2"+2"T+.+2~,

%=2"+2'i++22+a,=2n+2'-'++22+2=^-|J=2,,+l-2

经检验当”=1时也符合该式.；•«„=2n+l-2.

故选：D

6.如图，在直三棱柱ABC-AAC中，CA=CB,P为48的中点，。为棱（?G的中点，则下列结论

不正确的是（）

小G

B

A.PQ1\BB.AC〃平面48。

C.PQ1CC,D.P。//平面ABC

【答案】B

【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系，

B选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.

C选项先通过类似A选项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断，

D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明，

【详解】不妨设棱柱的高为26,AC=CB=x.

B选项，根据棱柱性质，\C.HAC,而AQc平面=若AC//平面A8Q,无论怎样平移直

线4C,都不会和平面ABQ只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；

A选项，计算可得，QA=QB=G+*,又尸为AB的中点，故（三线合一），A选项正

确；

22

C选项，连接Q4，Q4,Ag,根据平行四边形性质，A4过P,计算可得，QA=QBl=ylx+h,又P

为A用的中点，故PQLAg（三线合一），结合A选项，PQ±AtB,AB,\B=P,Aq，A8u平

面故平面ABB/,由A4,u平面A8BM，故棱柱的侧棱AA/CC-故

PQ-LCCt,C选项正确：

D选项，取A8中点E,连接尸E,CE,结合P为A/的中点可知，PE为△AM,中位线，故依〃抽，

且=即依〃CQ,且尸E=CQ,故四边形尸ECQ为平行四边形，故PQ〃CE,由平

面ABC,CEu平面ABC,故尸。〃平面ABC,D选项正确.

故选：B

小G

7.在数列｛%｝中，若存在不小于2的正整数k使得见且久<4”则称数列｛q｝为“4-数列

下列数列中为数列''的是()

A.b„=nB.bn=2"

C.h=n+—D.b=---

nnn"2n-3

【答案】C

【分析】利用“-数列”定义逐项判断可得答案.

【详解】对于A,hn=n,b^=n+\,h^-b„=n+\-n=\>0,数列｛»｝是单调递增数列，

所以数列也｝不是“人数列”，故A错误；

对于B,2=2",%=2向，％-2=2向-2"=2">0,数列也｝是单调递增数列，

所以数列也｝不是“人数列”，故B错误；

对于C,对于函数/(x)=x+2(x>0),令占>々>3,/(寸)-〃小)=(%-*2户*二°,

Xx\x2

xx—9

因为所以内-%>°，*/2>9,(xt-x2)-..>0,所以(%),

X\X2

〃x)在xe(3,4«)上为单调递增函数，

x%29

令0<々<不<3,/(^i)-/(2)=(^~^2)^-,

X\X2

因为0c々<不<3,所以占-々>°，0<&*2<9,(为-9)”*9<0,所以，〃x)在

X\X2

xe(0,3)上为单调递减函数，

n

所以对于"=〃+二当24”43时，有力<如，当〃23时，有存在％=3使得数列也｝是

n

'”-数列”，故C正确；

对于D,4=-1,“22时，因为｛2〃-3｝的单调递增数列，［5匕1是单调递减数列，所以不存在不

小于2的正整数％使得％且4所以数列他,｝不是'"-数列"，故D错误.

故选：C.

8.已知0为坐标原点，A点坐标为（2,0）,尸是抛物线C：V=Jx在第一象限内图象上一点，M是

线段的的中点，则。例斜率的取值范围是（）

【答案】A

V

【分析】设P（2k，y）（y>0）,可得自的=诟彳°，再利用基本不等式可得答案.

【详解】设网2旦丫）（丫>0）,所以加卜〜]看

z

2y1

所以弓"=了寸=不可4

V+7

当且仅当y=!即y=1时等号成立,

y

则。“斜率的取值范围是（o,；.

故选：A.

二、多选题

9.已知正四面体的棱长均为1,分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中

两两的数量积可能是（）

A.0B.C.2D.73

【答案】AB

【分析】由4仍=卜卜卜卜8$,@=3（4,。][-1,1],排除C、D；^La=AD,b=BC,求出a$=0;

取a=A2b=AC,求出=g.即可判断A、B.

【详解】在正四面体A8CO中，棱长均为1.

D

任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1.

任取两个向量。,人则

所以4乃=卜卜上卜8$（4,/2）=8$（0,今€[-1,1].故C、D错误；

取a=AO,%=BC.设8c中点为E,连接4E,OE.

因为A8C£＞为正四面体，所以AEL8cOELBC.

因为AEOE=E,AEu面ADE,OEu面AOE,

所以8c上面AOE.

因为4）u面ADE,所以BC_LA£＞,所以《,今=90。.

所以a-/?=cos（a,6）=cos90°=0.故A正确；

^La=AD,b=AC,则（叫=60。.

所以a-b=cos（a,A）=cos6（T=J.故B正确.

故选：AB

10.己知椭圆C:£+\=l（a＞匕＞0）的离心率为左，右焦点分别为A，Q,尸为椭圆上一点（异

于左，右顶点），且玛的周长为6,则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的焦距为1B.椭圆C的短轴长为2百

C.△尸耳6面积的最大值为GD.椭圆C上存在点P,使得N耳P入=90

【答案】BC

【分析】根据e=g,2a+2c=6解得可判断AB；设。伍,几），由此呻,=g闺用|%|知当P点

为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C；假设椭圆C上存在点P,设

\PF]\=m,\PF2\=n,求出〃?+"、mn,见及可看作方程/-4》+6=0,求出判别式△可判断D.

【详解】由已知得e=£=,，2«+2c=6,解得a=2,c=l,b2=a2-c2=3,

a2

对于A,椭圆C的焦距为2c=2,故A错误；

对于B,椭圆C的短轴长为劫=26，故B正确；

对于C,设夕（X。,/）,5"伤=3忻国闾=0闻，当尸点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，

此时IW=b=K，所以面积的最大值为G，故c正确；

对于D,假设椭圆C上存在点尸，使得NKP鸟=90,设归用=加产用=〃，

所以加+"=2fl=4,+〃2=16-2/w?=4c、2=4,mn=6,

所以加，〃是方程X2-4X+6=0,其判别式△=16-24<0,所以方程无解，故假设不成立，故D错误.

故选：BC.

11.在棱长为2的正方体ABC。-AAGA中，下列结论正确的是（）

A.异面直线A4与8所成角的为45

B.异面直线A片与AG所成角的为45

C.直线AG与平面A所成角的正弦值为立

3

D,二面角G-AO-B的大小为45

【答案】ACD

【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB选项；利用线面角的定义可判断C选项；利用二面

角的定义可判断D选项.

【详解】如下图所示：

对于A选项，CD//AB,贝I"用与8所成的角为=45,A对;

对于B选项，AB〃AB、,所以，A&与A蜴所成角为NBAR或其补角，

因为A8=2,BC]=y[iBC=2叵,AC,=y/3AB=2-^3,AB。+BC；=AC；,

则ABLBC,,所以，tan/BAG=毁=&,故/847户45,B错；

AB

对于c选项，BC，平面44^8,故直线AG与平面ABBd所成角为NB|AG，

Agu平面AAgB,则所以，sinZB,AC.=^L=Jlt

AC｝3

因此，直线AG与平面所成角的正弦值为也，C对；

3

对于D选项，4)_1_平面CGRD,CD、CQu平面CGA。，则A£)_LC£),ADlCtD,

所以，二面角G—4。-8的平面角为NCDG=45。，D对.

故选：ACD.

12.已知数列｛叫的前〃项和S“=〃2,数列｛%｝是首项和公比均为2的等比数列,将数列｛4｝和他｝

中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列｛g｝,则下列结论正确的是()

A.%=16B.数列匕｝中々与%之间共有2，i项

C.瓦“=%D.b”=c*

【答案】AB

【分析】根据题意可得：数列｛%｝是以1为首项，2为公差的等差数列，则q=2〃-1,2=2",然

后根据数列的性质逐项判断即可求解.

【详解】由题意可知：数列｛为｝的前〃项和S,=〃2,当〃=1时，4=6=1；

当〃22时，a„=S„-Sn_,=2n-l；经检验，当〃=1时也满足，所以

又因为数列他,｝是首项和公比均为2的等比数列，所以2=2".

则数列｛&｝为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,,

所以a=16,故选项A正确；

数列｛4｝是由连续奇数组成的数列，”,匕用都是偶数，所以口与之间包含的奇数个数为

2"W.=2j故选项B正确；

因为2=2",则%,=2?"为偶数，但%“=2x2"-1=2""-1为奇数，所以邑H%”，故选项C错误;

因为2=2",前面相邻的一个奇数为2"-1，令为=2"-1=24-1,解得：k=2'-',

所以数列｛。｝从1到2"共有2"T+〃，也即JT+“=2"=2,故选项D错误，

故选：AB

三、填空题

13.已知等差数列｛4｝前3项的和为6,前6项的和为21,则其前12项的和为.

【答案】78

【分析】先求得等差数列｛”“｝的首项和公差，然后求得前12项和.

【详解】设等差数列的公差为d,

+3(/=6

则"L01，解得q="=1'

+15J=21

所以前12项的和为12q+66d=78.

故答案为：78

14.以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共帆双曲线.已知双曲线C的

共扼双曲线的离心率为3,则双曲线C的离心率为.

【答案】逑

4

【分析】不妨设双曲线C的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c,根据双曲线的离心率公式可得出

b=2贬a，进而可求得双曲线C的共辗双曲线的离心率.

【详解】不妨设双曲线C的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c,则£=出书=3，可得8=2缶，

所以，双曲线C的共规双曲线的实轴长为2以虚轴长为2a,焦距为2777^=2°，

因此，双曲线c的共朝双曲线的离心率为£=、忙更、叵”=随.

b\b2V8«24

故答案为：观.

4

15.已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为.

9

【答案】一##0.28125

【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案.

【详解】画出轴截面如下图所示,

圆锥的轴截面为正三角形ABC,

设球心为。，圆锥底面圆心为0-球的半径为R,

则圆锥的高为=底面半径为3R,

222

I（电丫3〃

-X7tx——Rx—R

所以圆锥与球的体积之比为312J2=9.

四、双空题

16.摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相

比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（量缱）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类

型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点

户运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆。的方程为丁+丁=/?2（«>0）,半径为1的动圆M内切于

定圆。作无滑动的滚动，切点尸的初始位置为（氏0）.若R=4,则归。|的最小值为；若R=2,

且已知线段MP的中点N的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为.

《+炉=1

［答案］22,

44

【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案.

【详解】当R=4时，w。|的最小值为R—2x1=4—2=2.

当7?=2时，N初始位置为（|,0；

圆。的四分之一弧长为卜2nx2=it,

圆A7的半周长为工x2?txl=兀,

2

所以N的轨迹过点N'(0,；),

所以a=g,6=!，椭圆焦点在X轴上,

22

江+《=1

所以椭圆方程为9+11.

44

•>2

,21-1

故答案为：2;91一

44

五、解答题

17.如图，孙是三棱锥P-4BC的高，线段BC的中点为且他上AC,AB=AC=PA=2.

(1)证明：平面RA"；

(2)求A到平面PBC的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)组.

3

【分析】(1)根据已知条件证明5CLAM,PALBC,由直线与平面垂直的判定定理即可证明.

(2)法一：在平面PAM中，过A点作A“_LPM,证明AH_L平面PBC,再求值即可；法二：A到

平面尸8c的距离，是三棱锥A-P8C的高，利用等体积法求解.

【详解】(1)因为AB=AC,线段8c的中点为所以BCLAM.

因为P4是三棱锥P-ABC的高，所以PA，平面ABC,

因为8Cu平面A6C,所以PAL8c.

因为%u平面总"，AMu平面24",PAAM=A,所以8C1平面/VLW

（2）法一：（综合法）

在平面R4M中，过A点作AH_LPM,如图所示，

因为8C1平面R4M,AHu平面P4W,所以3C_LA”.

因为BCu平面P8C,PMu平面P8C,PM8C=M，所以AH_L平面尸5c.

在Rt-BAC中，AM=-BC=-X/AF+ACT=-X74+4=72.

222

所以在Rt_RAM中，PM=\IP#+AM?=」4+2=的，

所以4〃=生也=平=毡，所以A到平面PBC的距离为亚.

PM近33

法二：（等体积法）

设A到平面P3C的距离为d,则在Rt.BAC中，AM=-BC^-4AB-+AC2=1X74+4=72.

222

在RLE4M中，

1114

因为以是三棱锥P-A5c的高，所以/T6c=3S,cxPA=§X5x2x2x2=§,

%-ABC=^A-PBC-§S&PBC*"=§*5*2夜x屈解得d=“f,

所以A到平面PBC的距离为毡.

3

18.已知等比数列｛%｝的首项为2,前〃项和为5,,且2s2-3邑+5=0.

⑴求知；

⑵己知数列圾｝满足：b„=na„,求数列圾｝的前〃项和，.

【答案】（1）4=2"

(2)7；,=(〃_1>2向+2

【分析】(1)根据题意，由2s2-3S3+S」=0可得公比夕，再由等比数列的通项公式即可得到结果；

(2)根据题意，由错位相减法即可求得结果.

【详解】(1)设等比数列｛%｝的公比为4，

因为252-353+S,=(),所以2区—53)+'一$3=0，

所以。4=2«3,所以q=2,所以4,=。q二=2".

(2)由(1)得，b„=nx2n,所以［=1x2+2x22++nx2".....①

所以2^=1x22+2x23++(«-l)x2,,+rtx2n+l,...②

+2><2n+,,+1

①-②,得一(=2+22++2"-nx2"'=^~-nx2'=(l-n)x2-2-

所以北=(〃-1>2向+2.

22Q

19.已知双曲线C:0-*l(a>O力>0)的实轴长为2,右焦点F到X，的距离为

(1)求双曲线C的方程；

⑵若直线y=x-l与双曲线C交于M,N两点，求―尸的面积.

【答案】(1)/_工=1

3

尾

【分析】(1)由双曲线实轴长为2可得。=1,再利用右焦点F到X=|的距离为3可得c=2,即可

求得双曲线C的方程；

(2)联立直线和双曲线方程容易解出〃，N两点坐标即可求得,MV尸的面积.

【详解】(1)设双曲线C的焦距为2c(c>0),

因为双曲线C的实轴长为2,所以2a=2,解得“=1.

因为右焦点F到x的距离为所以解得c=l或c=2.

因为所以C=2.可得以=七-02=4-1=3

所以双曲线C的方程为/-£=1.

3

(2)设"(％,Y)，N(x2,y2),

[y=x-\

联立直线和双曲线匕_._]可得3/-"-1)2-3=0,

即丁+犬-2=0,x=l或x=-2

不妨设西=1,々=一2,所以M=0,必=一3.

所以工.产3削尸卜河=*一％卜回|=1,卜3='.

即一MNF的面积为。

2

20.已知数列｛4｝的首项为1,前,项和为S“，且满足.

①&2=2,an+2-an=2-②2S.=(n+1)%；③〃S“+1=("+2)S”.

从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：

⑴求。“；

(2)求数列」一的前n项和T„.

aa

[,.„+2)

【答案】(1)%=〃

【分析】(1)当选①时，分〃为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据S,与应的

关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到Ltb是常数数列，从而得到结果；

(2)根据题意，由裂项相消法即可得到结果.

【详解】(1)选①

〃—1

因为4+2-%=2,所以当"为奇数时，4,=4+2x—了=〃：

同理，当〃为偶数时，a“=%+2x-^=〃.

所以4=".

选②

因为2s“=(〃+1)4,(*)所以当〃22时，2sM=〃/_,(**)

(*)-(**),得(〃-1)4=解1，即%■=

nn-\

所以数列｛21是首项为1的常数列，

所以4,=〃.

选③

Ssfol

因为吗=(〃+2)S,,所以(〃+2/+|)=而而，所以数列|肃高是首项呜的常数列,

所以S.二当D所以当“22时，­1=用

当〃=1时，也符合上式.所以

111(11、

(2)由(1)得，-----=(-----二，

的“+2"("+2)2\nn+2)

rr"If.1111111Alf311>

"2^32435nn+2)2(2n+1n+2)

21.三棱柱A8C-AAG中，AB=AB1=A4,=4C=2,ZBAC=120,线段AM的中点为M,且

2

(2)点P在线段Bg上，且片尸求二面角尸-BIA-A的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵迹

13

【分析】(1)由ABLA/、BC,AM根据线面垂直的判定定理可得平面ABC；

(2)以A为原点，以AN、AC、40所在的直线为x、y、z建立空间直角坐标系，求出平面线惧、

平面A的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.

【详解】(1)三棱柱ABC-AAG中，AB"AB’,

在△AB|A中，AB|=441,线段AS的中点为M,所以AA^AM,所以A8_LAM；

因为8c_L4W,3Cu平面ABC,ABu平面ABC,ABcBC=B,AB、3Cu平面ABC,所以4W1

平面ABC；

(2)做ANJ_AC交BC于N点，

以A为原点，以AN、AC、AM所在的直线为x、Az建立空间直角坐标系，

则A((),0,0),B(73-1,0),8情,

C(0,2,0),历(0,0,矶

所以破=倍，-;，6,BC=(-73,3,0),AM=(0,0,@,

22

因为用尸=号与。I=§30=

所以AP=JW4,石

62

“/AS=*X|_gy+Gz|=0

设平面6例的一个法向量=a，*,zj,则，

“•AM=任=0

解得4=0,令y、=拒,则占=1,所以勺=(1,6,0),

3i—

•AP=----x+—必+v3z,=0

622

设平面PBtA的一个法向量%=(x2,y2,z2),则.

n

2.Ag二高工2一；％+=0

令y2=上,则“2=3,、=T,所以叼=(3,百，一1),

设二面角尸-4A-A的平面角为。(0464180),则

n-n_6_3>/13

COS。=C0S（"],"2）=y2

时同2x后13'

由图知二面角P-B.A-A.的平面角为锐角，

所以二面角P/A-A的