2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期期末联考数学试题（解析版）

湖北省重点高中智学联盟2022年秋季高二年级期末联考

数学试题

命题学校:

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.数列｛“J满足，，+，1—%，4=3,则%02i=（）

25

A——

232

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求的021的值•

1-«,2

12

,数列｛a,,｝是以3为周期的周期数歹U,

―2+3*673=—5'

故选：A.

2.直线XCOSC+6y+2=0的倾斜角范围是

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，设直线的倾斜角为6,根据直线方程，求得一走vtanOW走，即可求

解.

【详解】由题意，设直线的倾斜角为e

cosa

直线xcosa+Gy+2=0的斜率为Z

6

即—走〈tanOW且，又由8e[0,乃），所以6G5

u一兀，兀

336

故选B.

【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考

查了推理与运算能力，属于基础题.

2

3.与双曲线＞2—?=1有相同的焦点，且短半轴长为2石的椭圆方程是O

【答案】B

【解析】

【分析】先求得双曲线的焦点坐标以及焦点所在坐标轴，然后求得椭圆的人，从而求得椭

圆方程.

【详解】双曲线y2—[=i的焦点在y轴上，且焦点为（0，土石），

所以椭圆的焦点在）‘轴上，且'=逐，

依题意，椭圆短半轴匕=26，则a=J8=5,

所以椭圆的方程为工+三=1.

2520

故选：B

4.等比数列｛。,,｝的各项均为实数，其前〃项和为S“，已知S,=14,$6=亍，则%=（）

1I

A.2B.gC.4D.-

24

【答案】B

【解析】

U

【分析】通过讨论夕的取值情况，确定利用等比数列的求和公式S"="-'）

i-q

建立方程组，求出夕=/和4=8,进而求得名的值.

【详解】当公比。=1时，S3=3q可得4=可，代入S6=6q=28,与矛盾，所

/\5=-^——^=14

,4（1一/）1—4

以qwl；由等比数列的前"项和公式5=』-U,可得《“，

'17q（lY）_63

56=-rr-=T

Q]

两式相除，得1+/=可解得g=

82

当4=,时，代入原式可求得弓=8,则由等比数列的通项公式

/1\41

4■/

qX48X

==I---

V272

故选：B

5.已知点F为抛物线C：9=2〃*5>0）的焦点，过点尸且倾斜角为60。的直线交抛物线。

于A,B两点，若|巧―|冏=3,贝UP=（）

3

A.：1B.1C.-D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线A3的方程，代入C的方程，设

4（%,另）,3（々,%），根据根与系数关系即可得出％+%2，玉々与，的关系，通过抛物线上

的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知|必|=]+%,|口目=^+々，代入

|£4|・]冏=3即可转化为关于P的二元一次方程，即可求解.

【详解】由题意知尸仁,OJ,A8的方程为y=G（x-g,代入。的方程，得

3x2-5px+^~=0,

设人（石,％）,3（孙％），则,+/=学，9工2=（二；

因怛川=£+/,同=£+々，且|项疗却=3,

_

所以(■^■+玉](^+无2]=3,整理得++x2)+xlx2=3,

所以2+4.江+2=3,结合，>0,解得〃==.

42342

故选：C

6.若M,N为圆。：(％-2)2+。-2)2=1上任意两点，尸为直线3x+4y-4=()上一个动

点，则/MPN的最大值是()

A.45°B.60C.90°D.12()。

【答案】B

【解析】

【分析】由图上易知，当尸不动时，PM,PN为两切线角最大,再将NMPN的最值问题

转化为PC的最值问题可求.

如图，PA,PB为两切线,p为直线3x+4y—4=()上一个点,

所以NMPN<NAPB当PM,PN为两切线是取等号；

又ZAPB=2NAPC,故只需求(sinZAPC)nux,

sri|3x2+4x2-4|

sin/APC="=-!-,又(PC).=d==2,

PCPC'7m,n

(sinZAPC)=ZAPC=ZAPB=

\"263

故选：B

7.在平面直角坐标系中，定义W+|y|称为点p(x,y)“方和”，其中O为坐标原点，对于

下列结论：(1)“b和''为1的点P(x,y)的轨迹围成的图形面积为2；(2)设p是直线

2x-y-4=0上任意一点,则点尸(尤,y)的“5和”的最小值为2；(3)设尸是直线

公—y+力=0上任意一点，则使得“b和''最小的点有无数个”的充要条件是。=1;(4)设P

是椭圆/+5=1上任意一点，贝『5和''的最大值为其中正确的结论序号为()

A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)

C.(1)(3)(4)D.(2)⑶(4)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据新定义“3和”，通过数形结合判断(1)正确，通过研究函数最值对选项(2)(3)(4)

逐一判断即可.

【详解】(1)当W+|y|=l时，点尸(x,y)的轨迹如图，其面积为2,正确；

(2)・.・P是直线2x-y-4=0上的一点，.・.y=2x—4,

4-3x,x<0,

・,・国+回=国+|2%一4|=<4一九,0<%<2,可知I,x<0,0cx<2时递减，xN2时递增,

3x-4,x>2,

故W+M的最小值在X=2时取得，(凶+3)而n=2,正确；

(3)同(2),W+N=W+|or+4,可知当a=±l时，都满足，“6和”最小的点有无数

个，故错误；

x=cos0,

(4)可设椭圆参数方程为〈•.|x|+|y|=|cos^|+|A/2sin0

y=41sin0,

易知其最大值为6,正确.

故选：B.

【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“3和”，再通过数形结合和函数最值的研

究逐一判断即突破难点.

(_1X77+2015

8.若数列{4},{2}的通项公式分别是4=(-1)"+2。1%,2=2+口------且a,,对任

n

意〃£N'恒成立，则实数。的取值范围是()

11}「。1)

A.—1,—B.-2,一D.

L2；L2；

【答案】C

【解析】

【分析】对〃分奇数和偶数进行讨论，结合/对任意〃eN"恒成立，即可求得实数“的

取值范围.

【详解】当"为奇数时，由已知为＜〃，所以一。＜2+,，a＞-\2+-,

n\n

因为＜2对任意n£N"怛成立，

所以“-（2+£|］，

L\,」max

所以。2—2,

当〃为偶数时，an=a,bn=2--,

n

因为q＜2对任意〃£N*恒成立，

3

所以。＜一,

2

3

综上：—2W。＜一.

2

故选：C

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得0分）

9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚正面朝上"，事件8="第二枚正

面朝上”，则下列结论正确的是（）

A.P（A）=；B.P（AB）=；C.事件A与8互斥D.事件A

与8相互独立

【答案】ABD

【解析】

【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定

义可知CD正误.

【详解】对于AB,抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有｛正，正｝,｛正，反｝,｛反,

正）,｛反，反｝,其中满足事件A的有｛正，正｝,｛正，反｝两种情况，事件A和事件8同时

发生的情况有且仅有｛正，正｝一种情况，

211

:.P（A）=z=],,A正确，B正确；

•.•事件A与事件8可以同时发生，，事件A与事件B不互斥，C错误；

•••事件A的发生不影响事件B的发生，，事件A与事件8相互独立，D正确.

故选：ABD.

10.关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）

2

A.若数列｛%｝的前〃项和Sn=an+hn+c（a,b,c为常数）则数列｛an｝为等差数列

B.若数列｛4｝的前〃项和Sn=2）1+|-2,则数列｛4｝为等差数列

C.数列｛%｝是等差数列，S“为前”项和，则S,,,§2〃—S“,S3,,-S?”…仍为等差数列

D.数列｛%｝是等比数列，S,,为前〃项和，则S”,S2”-S”,§3”-§2”,…仍为等比数列.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，结合等差数列、等比数列通项公式和前〃项和的性质，逐项判定，即可

求解.

【详解】根据题意，结合等差数列、等比数列的性质依次分析：

对于A中，若数列｛4｝的前〃项和S„=an2+bn+c,

当c=（）时，由等差数列的性质，可得数列｛4｝为等差数列；

当cwO时，则数列｛q｝从第二项其为等差数列，所以A不正确；

对于B中，若数列｛为｝的前〃项和5„=2向一2,

可得q=5]=2,%=52-Sj=4,=S3-S2=8,则4,%,生成等比数列，

则数列｛%｝不是等差数列，所以B不正确；

对于C中，数列｛4｝是等差数列，S,为前“项和，则S“,S2”-S”,S3“一S2.,…

a

即为q+4+…+a”，/+1+4+2+…+。2"，。2"+1+2„+2+…+

可得S2“-S“—S“=S3,—S2"-S2,,=・・二〃9（常数），仍为等差数列，所以C正确；

对于D中，数列｛4｝是等比数列，S.为前〃项和，

当“=一1时，若"为偶数时，5“,52,,-5“,邑，一52”,...均为0,不是等比数列，

所以｛%｝是等比数列，S,为前〃项和，则s”,s2n-sn,s3n-s?,,,…不一定为等比数列.

故选：ABD.

11.已知正方体ABC。—AAGA的棱长为2,M为。。的中点，N为正方形ABCQ所在

平面内一动点，则下列命题正确的有()

D\_______________C,

口T

:"'

。

*/z\、-

/，\

N

\\、

48

A.若MN=2,则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为兀

兀

B.若MN与平面A8CC所成的角为一，则N的轨迹为圆

3

C.若N到直线与直线CC距离相等，则N的轨迹为抛物线

D.若AN与AB所成的角为三，则N的轨迹为双曲线

【答案】BCD

【解析】

【分析】设中点为“，OM中点为°,连接尸。，计算出PQ可知P的轨迹为圆可判断A；

根据已知算出CW,可判断B；根据抛物线定义可判断C；以D4、DC、所在直线分别

为x轴、y轴、z轴，利用向量的夹角公式计算可判断D.

【详解】对于A,设中点为4,OM中点为Q,连接HQ,则HQ〃0N,且“。=g,

n

如图，若MN=2,则所以ON?=A/N2—OM2=4-1=3，DN=6，则”。=5-，

所以点H的轨迹是以。为圆心，半径为正的圆，面积5=兀产=电，故A错误；

24

,z

nv_DM一框

对于B,tanNMND=皿,ZMND=-则一K-T.所以N的轨迹是以。

DN3tan-

3

为圆心，半径为丑的圆，故B正确;

3

对于C,点N到直线8片的距离为8N,所以点N到定点8和直线。C的距离相等，且2点

不在直线。C上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确；

对于D,如图，以D4、DC.所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

设N(x,y,O),R(0,0,2),A(2,0,0),8(2,2,0),

D、N.AR忆N」

所以型=(x,y,—2),而=(0,2,0),cos60

DtN^AB+4x22

22

匕）=1

化简得3y2—f=4,即g4-i,所以N的轨迹为双曲线，故D正确;

3

故选：BCD.

22

12.已知椭圆C：1+方=1（。”>0）的左，右焦点分别是6,工，其中忻勾=2c.直

线/过左焦点耳与椭圆交于A,B两点，则下列说法中正确的有（）

A.若存在AABF?,则XABF］的周长为4a

b?

B.若A8的中点为M,则左二二

C.若斯•;*二？。？，则椭圆的离心率的取值范围是

D.若|A8|最小值为3c,则椭圆的离心率e=§

【答案】AC

【解析】

【分析】根据椭圆的定义判断A；用点差法判断B；先算出说.京=才+弁_。2,进而

22

根据A在椭圆上进行消元得到:玉2+/—2,2,然后结合桶圆的范围得到与玉2+a2_2c2

a'a~

2b2

的范围，最后求出离心率的范围；根据A8的最小值为通径的长度求得答案.

【详解】对A,根据椭圆的定义的周长为|AKI+|他|+|4鸟|+|8工|=4〃，故

A正确；

对B,设A&,y）,以孙必），则M［弋*，21?1］，所以后="&，k0M="土匹，

_0=(%+%)(%-%)

（再+九2）（可一巧）

+—=

kOM-k——-，故B错误;

a

2

对C,AF]-AF2=(-c-x1,-yl)(c-xi,-yi)=^+y^-c,根据W1一今

__r2

AF.-AF^—^+a1-2c1e[a2-2c2,a2-c2],贝U

G~~2c2<3c<tz2—c"=>e='—w――,一,故C正确；

a152

对D,容易知道，AB的最小值为通径长度祖，所以"1=3c,整理为

aa

2b2^3ac=>2（a2-c2）^3ac,即2c?+3ac—2a?=（）,两边同时除以得

2e2+3e-2=0,解得：e=~,或e=-2(舍)，所以椭圆的离心率e=L,故D错误.

22

故选：AC.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.设点M在直线x+y-1=()上，OM与y轴相切，且经过点(一2,2),则OM的半径为

【答案】1或5##5或1

【解析】

【分析】由点〃在直线尤+y—1=。上设圆与V轴相切，

应用数形结合可得出«与半径的关系，

再根据圆经过点(-2,2)也可写出。与半径的关系，求解即可.

【详解】由点M在直线了+)，-1=0上，设

又O"与y轴相切，且经过点(-2,2),

半径r=同=J(a+2)2+(l—a—2)2,且a<0.

解得a=-1或a=-5.则QM的半径为1或5.

故答案为：1或5

14.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数,

那么这个数列就叫做“和差等比数列已知｛4｝是“和差等比数列“，%=2,外=3,则

使得不等式>10的〃的最小值是.

【答案】5

【解析】

【分析】根据“和差等比数列”的定义，依次求得。3，4，%的值，从而求得正确答案.

2+45广

【详解】依题意，一-L=；=5，

a2~a\1

W+凡4+3-Q

―-=~―7=5,解得〃=不，

a3-a2%—32

9

%+%"+]c5但54

-----=---6=5,解得％=—，

%3a8

42

54

ClH------

%+4_s、8型＞1。

=5,解得生

-5432

58

所以使得不等式%＞10的〃的最小值是5.

故答案为：5

22

15.已知圆（x—2）2+y2=9与x轴的交点分别为双曲线C:卞•-方=1（。＞0力＞0）的顶点和

\PFtf

焦点，设分别为双曲线C的左，右焦点，P为。右支上任意一点，则JJ的取

熙1+4

值范围为.

9

【答案】（亭

【解析】

【分析】根据题意求出双曲线方程，令，=归£|口4,小），根据双曲线定义可得:

孱r1+十，然后利用函数的单调性即可求出结果.

【详解】因为（》一2）2+产=9与x轴交点的坐标分别为（—1,0）,（5,0）,

由题意可知：a=\,c=5,

因为P为C右支上任意一点，根据双曲线的定义有用一归用=2a=2,

即归耳|=归周+2,令。=忙闾€[4,中»）,则

|p用2_«+2)2_/+今+4_]+4

\PF2f+4~/+4一/+4一+/+3，

t

444

因为f+—在[4,+8)上为增函数，所以「+一24+—=5,

tt4

4八449陷|29

所以所以I+尸即

i---(2---e(1，­]■

IH—tH—

\PF2\+45

9

故答案为：（1,-].

16.在棱长为1的正方体ABC。—A片GA中，尸是线段BG上的点，过4的平面a与直

线PD垂直，当尸在线段BG上运动时，平面a截正方体ABC。-AAGA所得截面面积

的最小值是.

【答案】逅

2

【解析】

【分析】画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积最小即可.

【详解】当P在8点时，8D人平面ACGA，平面。截正方体48。£＞一4耳。］。所得的

截面面积为：1x0=是最大值.

当P在G点时，0G_L平面AAC8,平面a截正方体ABC。一AAG。所得的截面面积

为：1x0=血是最大值.

当P由8向C1移动时，平面a截正方体ABCD-AAGA所得的截面AEF,E由A向B

移动，当P到3G的中点时，取得最小值，如图

此时£：为48的中点，尸为。1G的中点，（P在底面ABCD上的射影为4是BC的

中点，此时EC1DH,可得DPIEC,同理可得DPLCF,可证明Z）P_L平面\ECF）,

AE=CE=^,AC=®EF=yfi，四边形4ECT是菱形，所以平面a截正方体

2

ABCD-ASGQ所得的截面面积为：--EF-AC=-x42xy/3=—是最小值.

222

故答案为：立

2

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.已知线段A6的端点8(4,3),端点A在圆C:(x+1)2+V=4上运动.

(1)点M在线段AB匕且前=1而，求点"的轨迹方程；

3

(2)若直线y=A(x—2)与点M的轨迹相交，求实数我的取值范围.

【答案】⑴^-|J+(y-l)2=^

、,7

(2)k<—

24

【解析】

【分析】(1)利用相关点法即可求得点M的轨迹方程；

(2)利用直线与圆相交列出关于实数Z的不等式，解之即可求得实数k的

【小问1详解】

设点A(%,%)、M(x,y),

3.

由题意可得前=—而，即J；可得33,

'丁一%=鼻(3-%)

%=5尸5

因为点A在圆C上，所以(%+1)2+巾=4,

+(yT)2=£,

【2)(2-2)13)

故点M的轨迹方程为(x—+(y—1)2=?.

【小问2详解】

由(1)得点M的轨迹方程为［x—|)+(y-l)2=16

---------f

9

此圆圆心坐标为半径为

由直线y=Mx-2）与点M的轨迹相交，可得（3J4,

V1+户<§

77

解之得上〈一，则实数上的取值范围为人<.

2424

18.甲、乙两人加工一批标准直径为50mm的钢球共1500个，其中甲加工了600个，乙加

工了900个.现分别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取50个进行误差检测，其结果如下：

直径误差（mm）-0.3-0.2-0.1040.140.240.3

从甲加工的钢球中抽到的个数26820563

从乙加工的钢球中抽到的个数14724662

（1）估计这批钢球中直径误差不超过±0.1mm的钢球的个数；

（2）以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为-0.2mm的钢

球中抽取5个，再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率；

（3）你认为甲、乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由.

【答案】（1）1062；

⑵—；

10

（3）乙更符合标准，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意表格中的数据，分别求出甲、乙加工钢球直径误差不超过±0.1mm

的个数即可；

（2）先求出比例，结合古典概型的概率计算即可；

（3）观察表格中的数据，即可下结论.

【小问1详解】

由题意知，加工直径误差不超过±0.1mm的钢球中，

3337

甲：二x600=396个，乙：二x900=666个，

5050

所以这批钢球中直径误差不超过±0.1mm的钢球一共有396+666=1062个：

【小问2详解】

甲、乙加工钢球的总数之比为600:900=2:3,

所以抽取的5个钢球中，甲占2个，记为A,B,,乙占3个，记为a,b,c,

从5个钢球中抽取的2个钢球的基本事件有：AB,Aa,Ah,Ac,Ba,Bh,Be,ah.ac,he,共十

个，

则全是乙加个的基本事件为：ab.ac,bc,共3个；

3

所以所求概率为P=一；

10

【小问3详解】

乙加工的钢球更符合标准.

理由：甲、乙各加工的50个钢球中直径误差为0mm的个数：甲有20个，乙有24个，20<24；

甲生产的钢球中误差达到如.3的个数较多.

19.已知双曲线C的焦点E（2,0）和离心率e=.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线=H+与曲线C恒有两个不同的交点A和8,且况•丽〉2，求人的

取值范围.

V-2

【答案】（1）-

3

【解析】

【分析】（1）利用双曲线焦点求出c,再通过离心率求出”，即可根据双曲线性质求出江

再通过焦点所在轴确定双曲线形式，代入“，人即可得出答案；

（2）联立直线与双曲线方程消去y利用已知结合判别式列出不等式转化求解得出％的初步

取值范围，再通过设出4,8坐标，利用韦达定理得出玉+Z与王々与《的关系，通过

OA^OB>2得出玉々+y,y2>2,再转化为k的不等式得出k的另一个范围，最后综合即

可得出答案.

【小问1详解】

・••双曲线C的焦点为F（2,0）,

：.c=2,且焦点在x轴上，

•••双曲线C的离心率e=2叵，

3

c28

—=----，

a3

a—\/3，

b=\/c2-a2=1，

2

.••双曲线C的方程为：--y2=l;

3

【小问2详解】

联立直线与双曲线方程消去y得：一60米一9=0,

•••直线/:y=京+0与曲线C恒有两个不同的交点A和B,

△=72^+36（1-3用>0

1-322Ao

解得公<1且公

3

设点A（%,y）,8（孙必），

6近k9

则玉+x2「

\-3k-1一3人2

x)x2+yxy2=XyX2+（g+应）（依2+立卜

左(百+

=(K+l)x/2+3x2)+2,

3二+7

-3A2T'

又OA»OB>2.

xtx2+yty2>2,

3心+7.

-—>2,

3公5-1

1,

解得一〈公<3,

3

.•.J</<1,

3

（1

则人的取值范围为：一1,——Uw，i.

20.已知正项数列｛a“｝的前〃项和S,,,满足S*=24-2（〃eN*）,数列也｝的前”项积为加.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

(2)令c,=a,伉，求数列J的前〃项和.

[c,£,+J

【答案】(1)a“=2"(〃eN*)

(2)前“项和为21〃+[；)i(〃eN*)

【解析】

【分析】(1)首先令〃=1,求出首项4=2,当〃22时，根据4=S“-S“T求出｛见｝为

等比数列，然后根据等比数列的通项公式进行求解即可.

(2)首先求出｛2｝的通项公式，进而通过(1)求出％的通项公式，代入」工后利用裂

项相消的方法进行求和即可.

【小问1详解】

由题意：,.•S”=2a“一2,(”eN*)①，

当〃=1时，可得4=2,

当2时，S“_|=2a“_|一2(〃22,〃€N")②，

由①-②得：an=2a“_|(〃22,"wN*),

由怎为正项数列，得｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列.

因此可得an=2-2"T=2"(〃eN*)

【小问2详解】

由于数列｛d｝的前〃项的乘积为〃!，

当〃=1时，得仇=1；

当〃22时，得.=(〃：；)!=〃(〃22,.GN)

=4=1符合通项，故得d=〃(〃eN*).

n

由⑴可知：cn=anbn=n-2,

k.(〃+2＞十一/11]

c“S+向【小2"("+1)2叫'

令。为〃+2的前〃项和,

T=4----------------1------------------1-----------------1-,••4--------------------------=2-------------------

"1122.222-223"3"4-24n-2"(n+l)-2,,HJ(n+l)-2n-''

21.图1是直角梯形ABC。，ABIICD,ZD=90°,四边形ABCE是边长为2的菱形，并且

NBCE=60。，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达G的位置，且AQ=而.

(1)求证：平面BGEJ•平面ABED

(2)在棱。G上是否存在点P，使得点P到平面ABG的距离为正？若存在，求出直线

5

EP与平面ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，叵

5

【解析】

【分析】(1)在图1中，连接AC,交BE于0,由几何关系可得AC,BE,OA=OC=6

结合图2易得NA0G是二面角A—BE-&的平面角，由勾股定理逆定理可证。4_LOG，

进而得证；

(2)以。4,OB,0G为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设赤=2万弓，/e[O,l],

印词

求得衣，同时求出平面ABG的法向量”=(x,y,z),由点面距离的向量公式1=

求得4,进而求得而，结合向量公式可求直线EP与平面所成角的正弦值.

【小问1详解】

如图所示：

E

图1图2

在图1中，连接AC，交3E于0,因为四边形ABCE是边长为2的菱形，并且NBCE=60°，

所以AC_LBE,且QA=0C=百.

在图2中，相交直线Q4,。&均与砥垂直，所以N&0G是二面角A-BE-G的平面

角，因为AG="，所以的2+0C；=AC,{,04_LOG,所以平面EJ_平面ABED；

【小问2详解】

由(1)知，分别以OB,0G为x,y,z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则

D惇G«),()词，

),0),5(0,1,0),E(0,-l,0),

\/

成」享㈤,而

J--1,0,通=卜后1,0),而=(一百,0,6),

222

1J12)

=(-73,-1,0).

设丽=2西,&[0,1],

则丽=诟+而=而+力西=(_，A昌33.r-.]

------Z,1—X,5/oX.

2222)

设平面ABC,的法向量为n=(x,y,z),

(ABn-0+y=0

则〈—.，即〈广广，取〃=(1,后1),

[AG•万=01-V3x+V3z=O

因为点P到平面ABG的距离为姮，

5

AP-n|-2V3+2V32、斤

所以d==J----『——一,解得4=—>

“V552

则丽/-挛所以而=:而一荏J也」,更1

442442

设直线EP与平面ABC,所成的角为e,

I/―._\]忸715

所以直线EP与平面ABC｝所成角的正弦值为sine=|cos（EP,〃