2022-2023学年度北师大版八年级数学上册第一章勾股定理定向测试试题(含答案解析版)

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理定向测试

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分io。分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3,答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1,如图，在2X2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B,在余下的点中任取一点C,使

△ABC为直角三角形的概率是（）

2、在aABC中，AB=10,AC=2疝T,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于（）

A.10B.8C.6或10D.8或10

3、若直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x的可能值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、如图，已知点E在正方形ABCD内，满足/AEBW0。，AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是（）

A.48B.60

C.76D.80

5、我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭生其中央，出水

一尺，引葭赴岸，适与岸齐.水深、葭长各几何？”.其大意是：如图，有一个水池，水面是一

个边长为10尺(丈、尺是长度单位，1丈=10尺)的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出

水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根

芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是()

A.IO2+(X—1)2=X2B.102+(x—1)2=(x+l)2

C.52+(X—1)2=X2D.52+(x—1)2=(x+l)2

6、在aABC中，ZA,ZB,NC的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是

()

A.如果NA-/B=NC,那么aABC是直角三角形

B.如果anbz—C2,那么AABC是直角三角形，且NC=90°

C.如果NA：ZB:ZC=1：3：2,那么△ABC是直角三角形

D.如果山：b2:C2=9：16：25,那么aABC是直角三角形

7、若a,b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是

)

8、如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子

露在外面的长为hem,则h的取值范围是（）

A.0<hWllB.C.h212D.0<hW12

9、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开4m

后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A.7mB.7.5mC.8mD.9m

10、如图，长方形43co中，A8=5,AO=25,将此长方形折叠，使点。与点8重合，折痕为EF,

则BE的长为（)

A.12B.8C.10D.13

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在RtaABC中，ZC=90°,且AC：BC=1：7,AB=100米，则AC=米.

2、在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的

池塘边.另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则

这棵树高米.

3、如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1.点A、B,C都在格点上，若BD是△加（：的高，则

BD的长为.

4、如图，在中，ZACB=90%于点D.E为线段BD上一点，连结CE,将边BC沿CE

折叠，使点B的对称点*落在CD的延长线上.若A8=5,8c=4,则dCE的面积为.

5^已知Rt/\ABC中，NC=90°,a+b=14cm,c=10cm,则Rt_AABC的面积等于cm2.

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b,斜边为c,再做一个边长为c的正

方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理.

2、如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，D4=10km,CB=15km,DALAB

于A,CB_LA8于B,现要在AB上建一个中转站E,使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距

A多远处？

3、某海上有一小岛，为了测量小岛两端A,B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B

是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且NCED=90°,测得AE=16.6海里，DE=60海里，CE=80

海里.

(1)求小岛两端A,B的距离.

⑵过点C作CF±AB交AB的延长线于点F,求:值.

BC

4、阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题：NMBN=30°,点A为射线BM上一点，且AB=4,点C为射线BN上动点,

连接AC,以AC为边在AC右侧作等边三角形ACD,连接BD.当AC_LBN时，求BD的长.

小明发现：以AB为边在左侧作等边三角形ABE,连接CE,能得到一对全等的三角形，再利用NEBC=

90°,从而将问题解决(如图1).

请回答:

(1)在图1中，小明得到的全等三角形是△；BD的长为

⑵动点C在射线BN上运动，当运动到AC=J7时，求BD的长;

(3)动点C在射线BN上运动，求aABD周长最小值.

5、如图，在AABC和aDEB中，AC〃BE,NC=90°,AB=DE,点D为BC的中点，AC=-BC.

2

(1)求证：^ABC丝4DEB.

(2)连结AE,若BC=4,直接写出AE的长.

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可.

【详解】

解：如图，/q均可与点A和8组成直角三角形.

故选：C.

【考点】

本题考查了概率公式，解题的关键是掌握如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其

中事件A出现机种结果，那么事件A的概率P（A）=-.

n

2、C

【解析】

【详解】

分两种情况：

在图①中，由勾股定理，得

BD=JAB?-AD?=-62=8；

CD=(AC2-Q=J(2加2-62=2；

.*.BC=BD+CD=8+2=10.

在图②中，由勾股定理，得

BD=V/IB2-AD2=1/102-62=8；

CD=^AC2-AD2=1(2加)2-62=2；

.,.BC=BD-CD=8-2=6.

故选C.

3、B

【解析】

【详解】

分析：x可为斜边也可为直角边，因此解本题时要对x的取值进行讨论.

解答：解：当X为斜边时，X2=22+4Z=20,所以X=2/；

当4为斜边时，X2=16-4=12,x=2#\

故选B.

点评：本题考查了勾股定理的应用，注意要分两种情况讨论.

4、C

【解析】

【详解】

解：VZAEB=90°,AE=6,BE=8,

AB=qAE2+BE2=5/62+82=10

AS=SABCD-SRtAABE=102--x6x8

阴影部分正方形2

=100-24

=76.

故选：C.

5、C

【解析】

【分析】

设这跟芦苇的长度为x尺，根据勾股定理，即可求解.

【详解】

解：设这跟芦苇的长度为X尺，根据题意得：

5z4-(x—1)2=X2

故选：C

【考点】

本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键.

6、B

【解析】

【分

根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可.

【详解】

解：A、VZA-ZB=ZC,

.*.ZA=ZB+ZC,

VZA+ZB+ZC=180°,

/.ZA=90°,

.•.△ABC是直角三角形，此选项正确；

B、如果m=bz-c2,

az+C2=b2,

...△ABC是直角三角形且/B=90°,此选项不正确；

C、如果NA：ZB：ZC=1：3：2,

设NA=x,则NB=3X,ZC=2X,则x+3x+2x=180°,

解得：x=30°,则3x=90°,

...△ABC是直角三角形，此选项正确；

D、如果山：b2：C2=9：16：25,则az+b2=C2,

...△ABC是直角三角形，此选项正确；

故选：B.

【考点】

本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a,b,c满足S2+b2=C2,那么这

个三角形就是直角三角形.

7、A

【解

【分析】

由题意根据图形的面积得出。力,c的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案

【详解】

解：A、不能利用图形面积证明勾股定理；

B、根据面积得到C2=4x,ab+(a-b>=°2+4；

2

C、根据面积得到(a+b)2=4x：ab+c2,整理得“2+62=02;

D、根据面积得到：(a+b)2=：c'2+2x：a/?,整理得42+82=02.

222

故选：A.

【考点】

本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出Ac的关系，即可证明勾股定理.

8、B

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可.

【详解】

解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm.

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

如图所示：

此时，AB=/4O+BC2=V122+52=13cm,

Ah=24-13=llcm.

.'.h的取值范围是llcmWhWl2cm.

故选：B.

【考点】

本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小

值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度.

9、B

【解析】

【分析】

根据题意，画出图形，设旗杆AB=x米，则AC=(x+1)米，在Rt^ABC中，根据勾股定理的方程

(x+l)2=X2+42,解方程求得X的值即可.

【详解】

如图所示：

设旗杆AB=x米,则AC=(x+l)米,

在RtaABC中，AC2=AB2+BC2,即(x+l)2=X2+4Z,

解得：x=7.5.

故选B

【考点】

本题考查了勾股定理的应用，解决本题的基本思路是是画出示意图，利用勾股定理列方程求解.

10、D

【解析】

【分析】

设BE为x,则AE为25-x,在RrzMBE由勾股定理有Bb=Aa+AE2，即可求得B及13.

【详解】

设BE为x,则DE为x,AE为25-x

•.•四边形ABC。为长方形

ZEAB=90°

...在Rt/\ABE中由勾股定理有BEi=AB2+AE?

即X2=52+(25-X)2

化简得50x=650

解得x=13

故选：D.

【考点】

本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形

的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解.

二、填空题

1、10万

【解析】

【分析】

首先根据BC,AC的比设出BC,AC,然后利用勾股定理列式计算求得a,即可求解.

【详解】

解：VAC：BC=1：7,

/.设AC=a,贝！］BC=7a,

VZC=90°,

/.AB2=AC2+BC2,

/.1002—3.2+(7a)2,

解得：a=lO0,

.,.AC=IO77米.

故答案为：10户.

【考点】

本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.

2、7.5

【解析】

【分析】

由题意知AD+DB=BC+CA,设BD=x,则AD=15—x,且在直角4ACD中。。+。2=人。2,代入勾股

定理公式中即可求x的值，树高CD=(5+x)米即可.

【详解】

解：由题意知AD+DB=BC+CA,且CA=10米，BC=5米，

设BD=x,则AD=15—x,

•..在RtAACD中，由勾股定理可得：CD2+CA2=AD>,

即(15-J=(5+J+102,

解得x=2.5米，故树高为CD=5+x=7.5(米)，

答：树高为7.5米.

故答案为：7.5.

【考点】

本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD+DB=BC+CA的等量关系，并根据勾股定

理C£)2+C42=4O2列方程求解是解题的关键.

3、撞布

55

【解析】

【分析】

根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结

论.

【详解】

1解：由勾股定理得：4，

VSAABC=3X4-工X1X2-工X3X2-Lx2义4=4,

222

.-.1AC«BD=4,

2

gX2V?BD=4,

.・.BD=也,

5

故答案为：w

【考点】

本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

18

4,

【解析】

【分析】

在aABC中由等面积求出C£>=晟，£>8=日进而得到O8=C8-C£>=5-曰=£,设BE=x,进而

DE=DB-BE=y-x,最后在RfAB,DE中使用勾股定理求出x即可求解.

【详解】

解：在MAABC中由勾股定理可知：AC=qAB2-BC2=3,

：-ACxBC=-ABxCD,

22

：.CD=^L12

ABT

DB=CB-CD^4--=-,

55

AD=^AC2-CD2=FI=r

在中由勾股定理可知:

916

，DB=AB-AD=5--=—,

55

设BE=x,由折叠可知：BE=B'E且DE=DB-BE=1-x,

在R/ADEB'中由勾股定理可知：DEi+BD2=BE2＞代入数据:

（l；-x"+（：）2=x2,解得x=2.

AE=AB-BE=5-2=3,

111218

：.SAExCD=X3X=

AACE2255

故答案为：y

【考点】

本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求

线段长.

5、24

【解析】

【分析】

利用勾股定理，可得：a2+ba=C2=100,即(a+b)2-2ab=100,可得ab=48,即可得出面积.

【详解】

解：..”二!)。。，

.,.a2+b2=C2=100,

(a+b)2-2ab=100,

，196-2ab=100,

ab=48,

SMiC——ah=24cmz；

△2

故答案为：24.

【考点】

本题考查勾股定理、完全平方公式的变形求值、三角形面积计算的运用，熟知勾股定理是解题的关

键.

三、解答题

1、见详解.

【解析】

【分析】

利用4个直角三角形全等，根据S,,ES+S…列式，整理即可.

止方形A8CQAEH止方形EFGH

【详解】

证明：如图，AE=BF=CG=DH=a,AH=DG=CF=BE=b,HE=EF=FG=GH=c,

S=45+S,HpG+Z?)2=4---ab+c2

正方形48C。AAEH正方形QG〃2

。2+2Q》+02=2ab+c2，

+/?2=C2・

【考点】

本题考查了勾股定理的验证，运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证

勾股定理是解决本题的关键.

2、E应建在距A点15km处

【解析】

【分析】

设4E=x,贝ljBE=25-x,根据勾股定理求得。后2和CE2,再根据QE=CE列式计算即可；

【详解】

设AE=x,则8E=25-x,

由勾股定理得：在中，

DE2=AD24-AE2=+X2,

在RtXBCE中,

C£2=j5C2+B£2=152+(25-X)2,

由题意可知：DE=CE,

所以：l(h+尤2=152+(25-x>,

解得：x=\5km.

所以，E应建在距A点15km处.

【考点】

本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键.

3、(1)33.4海里

⑵二

25

【解析】

【分析】

(1)利用勾股定理求出CD,再根据斜边的中线等于斜边的一半求出BE,则AB可求；

(2)设BF=x海里.利用勾股定理先表示出CF2,在RtaCFE中，NCFE=90°,利用勾股定理有CF?

+EF2=CE2,即2500-X2+(50+X)2=6400,解方程即可得解.

(1)

在ADCE中，ZCED=90°,DE=60海里，CE=80海里，

由勾股定理可得CD=Jc&z+DE2=100(海里)，

•••B是CD的中点，

ABE=-CD=50(海里)，

2

.\AB=BE-AE=50-16.6=33.4(海里)

答：小岛两端A、B的距离是33.4海里；

(2)

设BF=x海里.

在Rt/\CFB中，ZCFB=90°,

.•.CF2=CB2-BF2=502-X2=2500-X2,

在RtZXCFE中，NCFE=90°,

CF2+EF2=CE2,HP2500-%2+(5O+x)2=6400,

解得x=14,

.BF7

,,BC25

答：2值为工.

BC25

【考点】

本题主要考查了勾股定理的实际应用的知识，在直角三角形中灵活利用勾股定理是解答本题的关键.

4、(l)ABD,ACE,26；

(2)BD的长为A；

⑶4+4.

【解析】

【分析】

(1)根据SAS可证4AB3aACE,得出BD=CE,利用勾股定理求出CE即可得出BD的长度；

(2)作AHLBC于点H,以AB为边在左侧作等边AABE,连接CE,求出BH,HC即BC的长度,再利用

勾股定理即可求出CE的长度，由(1)知BD=CE,据此得解；

(3)作AHLBC于点H,以AB为边在左侧作等边4ABE,延长EB至F,使BF=EB,连接AF交BN于

C',连接EC',此时BD+AC'有最小值即为AF,此时aABD周长=AF+AB最小，求出AF即可.

(1)

解：•••△ACD和aABE是等边三角形，

NEAB=ZDAC=60°,AD=AC,

・・.ZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC,即ZEAC=ZBAD,

在AABD和aAEC中，

AB=AE

<ABAD=ZEAC,

AD=AC

AAABD^AACE(SAS),

/.BD=CE,

VAB=4,ZMBN=30°,

；・AC=2,

；.BC=442-22=2万，

**-BD=CE==J42+