2022-2023学年四川省遂宁市校高二强基班上学期第二次半月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省遂宁市校高二强基班上学期第二次半月考数学

（理）试题

一、单选题

1.过点"（2/）且斜率为2的直线方程为（

A2x-y+3=0B2x-y-3=0

Dx-2y=0

【答案】B

【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】由题意可知所求直线的方程为丁-1=2（尤-2）,即2x-y-3=0

故选：B.

2.己知直线a，"。，若0力异面，b//c,则的位置关系是（）

A.异面B.相交C.平行或异面D.相交或异面

【答案】D

【分析】以正方体为载体说明即可.

【详解】如下图所示的正方体：

AB和DDX是异面直线，。R//84ABABB、=B

和OR是异面直线，DDJiCC\,力8与CG是异面直线

所以两直线。与6是异面直线，b//c,则“，c的位置关系是相交或异面.

故选：D

3.圆广+广-2'+4）-4=°的圆心坐标与半径分别是（

A.0，一2），2B.（T2）,2

C.（L-2）,3D.（T2）,3

【答案】C

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.

【详解】由题可知，圆的标准方程为（xT>+3+2>

所以圆心为O'*）,半径为3,

故选C.

4.如图，在正方体/8C°一/£GA中，异面直线℃与8。所成的角为（）

【答案】C

【分析】连接8自，B\C,由BD//BR,得/。。内是异面直线2c与8。所成的角，由

CD>=4乌=40,能求出异面直线RC与8。所成的角.

【详解】解：连接44,BC,如图，

"D国是异面直线D'c与BD所成的角,

CD、=B、D1=B、C

NC0£=60。

•.异面直线D'C与8。所成的角为60°.

故选：C.

5.现要完成下列3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从2000名

学生中抽取100名进行课后阅读情况调查；③从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，

80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是（）

A.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样B.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽

样

C.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽

样

【答案】D

【分析】根据系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念判断.

【详解】在①中，由于总体个数较少，故采用简单随机抽样即可；

在②中，由于总体个数较多，故采用系统抽样较好；

在③中，由于高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显，

故采用分层抽样较好.

故选：D.

【点睛】本题考查抽样的概念，掌握系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念是解题关键.

6.为参加CCTV举办的中国汉字听写大赛，某中学举行了一次大型选拔活动，随机统计了甲、乙

两班各6名学生的汉字听写的成绩如图所示，设甲、乙两班数据的平均数依次为玉，X2,标准差依

次为S|>S2）则（）

甲乙

861279

58813859

5142

A.芭>々，>x>x

S1S2B.>2,si<s2

C.%二七，S|>S2D.为=£,S]<S2

【答案】c

【分析】分别求出甲、乙两班数据的平均数和标准差，然后比较大小即可得到答案

一1

x=-x(3x8+6+2x5+120x2+130x3+140)=135

【详解】6

^=1x(2x9+7+8+5+2+120x2+130x3+140)=135

22222

s：=lx[(-7)+(-9)2+0+3+3+10

2222222

52=^X[(-8)+(-6)+3+0+4+7]=29

故选°

【点睛】本题主要考查了平均数和标准差，根据计算方法分别求出结果作出比较，较为基础.

7.在直三棱柱/8C-4AG中，底面是等腰直角三角形，BA=BC=3RBB、=m，则与平面

76显

C.4D.5

【答案】C

【分析】取"£的中点M,连接/例,8例，易证用V平面/4GC,进一步得到线面角，再解三

角形即可.

【详解】如图，取4G的中点M,连接力加，

三棱柱ABC~A'B'C'为直三棱柱，则AA'1平面A'B'C',又B\Mu平面44G,

所以8附:4,

又由题意可知△44G为等腰直角三角形，且"为斜边的中点，从而用

而4A/u平面"Mu平面44CC,且

所以4V平面44GC,则ZB/M为AB】与平面AA}C{C所成的角.在直角“B、M中,

BM_3_V6

sin/8/Af=}

/与-2a一4

故选：C

8.已知圆锥的表面积为12房,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）

4百8G

-------7V-------71

A.4万B.3C.81D.3

【答案】D

【分析】设圆锥的半径为,，母线长乙根据已知条件求出，-、/的值，可求得该圆锥的高，利用锥

体的体积公式可求得结果.

【详解】设圆锥的半径为『，母线长/,因为侧面展开图是一个半圆，则万/=2仃，即/=2r,

又圆锥的表面积为12万，则仃2+幻7=12万，解得r=2,/=4,

_____-3用=8©

则圆锥的高"==26,所以圆锥的体积一3"'‘一口一"，

故选：D.

9.如图，在三棱锥S—/8C中，SA=SC=AC=2>/2,AB=BC=SB=2则三棱锥S_/8C外接球

4-

A.12万B.4兀C.4&D.3

【答案】A

【分析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球,

再求解即可.

【详解】解：因为在三棱锥S-/8C中，SA=SC=AC=2y[2,AB=BC=SB=2f

所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2,

则体对角线长为2G,外接球的半径为R=g,

所以外接球的表面积为4万片=12万，

故选：A.

10.某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）

的时间为17：30-18：30,则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（）

73jj_

A.8B.4C.2D.4

【答案】A

【解析】根据题意，设学生出来的时间为x,家长到达学校的时间为y，转化成线性规划问题，利

用面积型几何概型求概率，即可求得概率.

【详解】解：根据题意，设学生出来的时间为x,家长到达学校的时间为V,

学生出来的时间为17：00-18：00,看作5W6,

家长到学校的时间为17：30-18：30,5.54^46.5,

要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要

J5<x<6

则相当于卜.54v46.5,即求的概率，

如图所示：

约束条件对应的可行域面积为：1,

,1117

1__x_x_=_

则可行域中的面积为阴影部分面积：222一8,

7

所以对应的概率为：丁&=8,2

7

即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：8.

故选：A.

【点睛】本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.

£+2=]

11.圆C：/+/=2,点尸为直线36"上的一个动点，过点尸向圆C作切线，切点分别为A、

B,则直线48过定点

A.品23B.（制33C.品32D.4333

【答案】B

【详解】不妨设00'°）,画出图象如下图所示，根据直角三角形射影定理可知

=00.3,0。=2x=-

V73,即直线方程为3,四个选项中，只有5选项符合，故选8.

二、填空题

12.已知随机事件A,8,C中，A与8互斥，5与C对立，且P(/)=0-3,°(C)=0.6,则

P(A+B)=

【答案】0.7

【分析】利用对立事件概率计算公式求出尸(B)="P(C)=04,再由互斥事件概率加法公式

能求出P("+8).

【详解】：随机事件A,8,C中，A与B互斥，B与C对立，且PJ)=0.3,P(C)=0.6,

■-P(B)=1-P(C)=0-4,

P(A+B)=P⑷+p(B)=03+0.4=0.7.

故答案为：0.7.

【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

13.若直线y=x+.与曲线y=3-‘4x-x，有公共点,贝a的取值范围是.

【答案】[1-2立3]

【解析】曲线y=3-"7二7表示圆心为(2,3),半径为2的半圆，画出图象，结合点到直线的距离

公式，得出的取值范围.

【详解】由4x-f》o,解得0QW4

根据二次函数的性质得出°wJ4x-iW2,即1«3

曲线y=3-"x-x?可化为(x-2)2+(y-3『=4,(0WxW4』&W3)

所以该曲线表示圆心为(2,3),半径为2的半圆

因为直线V=x+6与曲线y=3-"7=7有公共点，所以它位于44之间，如下图所示

当直线N=x+b运动到4时，过（°，3）,代入y=工+6得：6=3

当直线'6运动到‘2时，此时y=x+'与曲线相切

|2xl-3xl+/>||b-l|二

则712+12及，解得6=1-2上或1+2行（舍）

要使得直线y=X+b与曲线N=3_Zx-x2有公共点，则be[1_2也,3]

场较安为口-2立3]

故答案为：L」

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

14.在棱长为1的正方体ABCD-A|B|CQ|中，点〃是对角线"G上的动点（点M与4G不重合）

,则下列结论正确的是

①存在点M,使得平面4。加1平面BC、D.

②存在点M,使得平面DMII平面BCA.

国

③AAQM的面积可能等于6.

④若力邑分别是A4Q”在平面A|B£D|与平面88CC的正投影的面积，则存在点使得

S\=S]

【答案】①②③④

【分析】根据正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及三角形的面积公

式和投影的定义，即可求解，得到答案.

【详解】①如图所示，

当M是/£中点时，可知〃也是4c中点且8c8G,4A481nBe=与，所以

8cll•平面"4C,所以8G，4",同理可知8。，4",

且gfW=B,所以4Ml平面2c。，

又平面。河，所以平面平面

4"u4BCQ故正确;

②如图所示，取"G靠近A的一个三等分点记为忖，记4GA8a=°,

0clC\N1

OCWG=N,因为/CII4G,所以京一就一5,所以N为阳靠近4的一个三等分点,

则N为"G中点，又o为4G中点，所以4M"N。，且4。〃4。，4例口4。=4,

NOn8C=C,所以平面平面8卬，且以Zu平面40朋\

所以DM〃平面BCR,故正确;

4M_1乂&=在

③如图所示，作在中根据等面积得：’63

AXM=DM=

根据对称性可知：3,又AD=C,所以是等腰三角形,

、2'巨2石

S.AfiM=—XA/2x

6,故正确;

则

H

④如图所示，设="QM在平面44GA内的正投影为ZUQM在平面

BB&C内的正投影为MCM，所以's=Ss3__3LT/?_£,

邑=5AsicM,=；x¥-&ax&=tz=l

，当SLS?时，解得：3,故正确.

故答案为①②③④

【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟练应

用正方体的结构特征，熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与

论证能力，属于中档试题.

三、解答题

15.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防

疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生

产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了

100t，将其质量指标值分成以下六组：四，50),[50,60),[60,70),,[90,100],得到如下频

率分布直方图.

（1）求出直方图中加的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组

中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）.

【答案】（1）加=0.030；（2）平均数为71,中位数为73.33.

【解析】（1）利用频率之和等于1进行求解即可

（2）利用平均数和中位数的计算公式进行求解即可

［详解］⑴由10乂（0.010+0.015+0.015+，〃+0.025+0.05）=1,得机=0.030.

（2）平均数为三=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71（

_220

设中位数为"，贝产1+°」5+°」5+（-7°）X°.03=°.5,得”亍至73.33

故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33.

16.如图，在三棱柱/8C-48G中，平面/8C,。是力8的中点，BC=AC,

AB=2DC=26,14=4

（I）求证：8C//平面4。；

（n）求平面8CG4与平面4。。所成锐二面角的平面角的余弦值

2

【答案】（I）证明见解析，（n）5

【分析】（I）连结交4c于点E,连结。E,可知DE//BQ,根据线面平行的判定定理，证明

即可.

(II)法一：由5c=4C,4B=2DC=2&,可知4C=8C=2,即ZC/8C,根据<4，平面

ABC,可知CG，平面/8C,即CG_LZC,CCXLBC以C为原点，BC,CC,；C/所在直线分

别为X,y,z轴，建立空间直角坐标系，求各点坐标，计算平面8CC4的法向量为机=(0,0,1),

mn

cos6=

平面A'CD的法向量为〃=GT?)

根据,求解即可.法二：延长4°、B'B交于Q,

连接℃,过。作于4,过H作〃/于J,连接/V,则C平面8CC£,

DH，CQ,又HJCDH=H,所以C0_L平面DHJ,0=ZDJH为平面BCJB、与平面AtCD所成锐

二面角的平面角.由8C=/C,AB=2DC=2y/2,44=4,计算

HJ==DJ==白cos0=—

逐.心,利用DJ,求解，即可.

【详解】(I)证明：连结“G交4c于点E,连结。E.

则E为"G中点，DE为中位线.

所以DE/g.

ACD

又DEu平面\,BC[U平面A}CD

所以BC"平面4CD

(n)法一：因为8C=/C,。是48的中点，所以/8,OC.

又因为“8=2。。=2及，所以/C=8C=2,则+=

^ACIBC,所以乙4。=90。.

又因为“4,平面/8C,所以建立如图所示空间直角坐标系c-kz,则0(0,0,0),0(-1,0,1),

4(0,4,2),丽=(-1,0,1),『(0,4,2)

平面BCC高的法向量为切=（0,0,1）.

n-CD=—x+z=0

设平面工。的法向量为〃=(x,%z),贝岫-西，UC4,^[n-CAl=4y+2z=0

令y=T,贝ijx=z=2,〃=(2,-1,2).

八inn22

CCSif—____=___--_

所以平面与平面所成的锐二面角'的余弦值为同川1X.+1+43

法二：延长"0、交于°,连接。°,过。作D"8C于”，

过”作即，℃于心连接D7,

则£>4_L平面,DH1CQ又HJRDH=H,所以平面ZVZ7,

e=ZDJH为平面BCCM与平面AyCD所成锐二面角的平面角

RtASOC中，BD=DC,所以高。，为中线，DH=\,BH=HC=1,

QBBD

...如4与...函一病一],..08=网=4

RtACBQ中，0c="+2?=2也

2

CHCQ2M75

3

DJ=cos*坦二

RtAD"/中，飞DJ3

【点睛】本题考查线面平行，以及求二面角的余弦值，解决本题可以空间向量法也可以用几何法，

属于较难的题.

17.已知两条直线"：ax—组+4=0,（a-l）x+y+6=0,求分别满足下列条件的“，6的值：

（1）直线//过点（一3,-1）,并且直线//与直线6垂直；

（2）直线。与直线办平行，并且坐标原点到乙，右的距离相等.

,_2

fa=2fa=2-a~3

【答案】⑴1"=2；⑵1"=-2或W=2.

【解析】（1）代入点（一二一1）到人的方程，求解出“出的第一个关系式，再根据垂直关系求得第二个

凡6的关系式，从而求解出aS的值；

（2）根据两直线平行得到。力的第一个关系式，再根据原点到两直线的距离相等得到第二个的

关系式，从而求解出0力的值.

【详解】⑴因为4过点（TT）,所以-3a+6+4=0,

f-3a+6=-4fa=2

又因为/j,所以"1）-6=°,所以（。〜-心。，所以jb=2；

⑵因为“〃2,所以"1=一'（”1）,所以4：ax-如"=o,

141l~fe2|

又因为标原点到44的距离相等，所以V7寿yla2+b2,所以b=±2

_2

当6=2时，°3.当6=-2时，a=2,

2

"=2/=§

所以1。=-2或［人=2

【点睛】本题考查根据直线的位置关系求解参数值，难度一般.已知

/）:J|X++C（=0,12.A2X+B2y+C2=0（4,12不重合），若“〃2,则有“也-44=0.若乙工I2,

则有44+B、B?=o

18.如图，尸为圆锥的顶点，°是圆锥底面的圆心，4c为底面直径，为底面圆。的内接正

三角形，且边长为6,E在母线PC上，且4E=®CE=l,ECJ.BD

p

(1)求证：平面平面IB。；

(2)设线段上动点为M,求直线。/与平面/8E所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)设/C交6。于点尸，连接EF,由

并结合EC1BD可证得BD1平面NEC由此证得EFLBD,

再利用三角形相似证得EF±AC,从而证得EF1平面",进而证得平面BED，平面ABD,

(2)建立空间直角坐标系，设。旧=彳。204'<1),

通过向量两和平面的法向量建立直线。M与平面4SE所成角的正弦值的关系式，并利用基本

不等式，即可求最值.

【详解】(1)证明：如图，设“C交8。于点尸，连接防，

易知P。1BD,

又EC_L5Z),ECcPO=P,EC,POu平面/EC,._L平面力EC

又EFu平面4EC,EFLBD.又AABD是底面圆的内接正三角形,

AF=l

由40=6,可得2,/C=2.又AE=6,C£=l,

AE_AF_y/i

AC2=AE2+CE2,g|jZAEC=90°.又就一下一7,：.MCE~"CE,

ZAFE=ZAEC=90°,即E/工/C.又u平面力B。，ACcBD=F,

平面力50.又EFu平面5皮＞,.•.平面平面/SO.

（2）易知P°=2EF=6以点尸为坐标原点，尸4尸民稗所在直线分别为x轴、了轴、z轴，建

立如图所示的空间直角坐标系,

，呜,0,0

E,P

3,0,1E=I-1,O,

AB==(b,o,V3)

~2,~22

7

设平面/SE的法向量为“=（%Kz）,

-\/3x+y=0

ABn=0

则〔在•历=°,即-V3x+z=0；令x=l,则〃=G百，6).设丽=2丽(04/141),

15M=15O+OM=

可得

I/-----\i\n-DM\|32+2|

sin0

二同（四町卜讦高二7072+1

设直线OM与平面48E所成的角为。，则

1

1)x+—

X+——

12x+l12

y=------=44_12.=4

2

_12x4-13x+12111+

X+-x-\--l----3-

令'3x^+1,XG[Q1],则3；1212

4

4<=4

49、

1J1L_12.口•证

X++12)

12,16161

x+x+——x=—

12127,当且仅当2时，等号成立,

X——1y=-1-2--x--+--l

.•.当2时，’3一+1有最大值4,

122+1

1

3万+1

于是当2时,有最大值为1,

•is加。的最大值为1,

故直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值为1.

19.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收关之年.某乡镇在

2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措

施，每年新脱贫户数如下表:

年份20152016201720182019

年份代码

12345

X

脱贫户数

55688092100

y

⑴根据2015-2019年的数据，求出〉关于年份代码x的线性回归方程y=R+4,并预测到2020年

底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；

（2）2019年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户.该乡镇某干部打算按照分层

抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况.为防止这

些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户中至少有1户是扶

贫户的概率.

E（士-力（乂-y）Z占％-〃x・y

h=-------------=-----------

n_n_2

£盯,=1299Z（x，-x）2A__

参考数据：0，参考公式：闫，a-y-bx

【答案】（l）?TL4x+44-8,能够；

9_

⑵10

【分析】(1)由己知求得A与方的值，可得歹关于x的线性回归方程，取x=6求得y值即可得结论;

(2)利用分层抽样可得抽取的5户贫困户中，有1户五保户a,1户低保户6,3户扶贫户C,

d,e,利用枚举法写出这5户中选2户的所有基本事件，得到抽取的2户中至少有1户是扶贫户

的事件数，则概率可求.

5

=1x55+2x68+3x80+4x92+5x100=1299

【详解】(1)解：，』，

_1+2+3+4+5、_55+68+80+92+100395”

x=------------=3y=-------------------=---=79

5,55

5

£X,2=1+4+9+16+25=55

1=1