2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什高二年级上册学期期末数学试题-含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.已知向量。=(k,l,4),6=(1,%,-2),若a_£b，k=()

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】•••。=化1,4)力=(1欢,—2),若aJ.b，

则Z?11?k4?(2)=0,即k=4.

故选：C

2.已知等比数列血｝的前"项和为5“，若q/43=8,%=16,则&的值为()

A.127B.128C.63D.64

【答案】A

【分析】根据条件求出4,夕，然后可算出答案.

【详解】等比数列｛4｝的前"项和为S.，q%%=8,%=16,

*,111,解得4=1,q=2,

a、q=16

则$=詈■=127,

故选：A.

3.若｛《,｝为等差数列，其前〃项和为S“，S4=2,国=8,则用=()

A.10B.14C.16D.18

【答案】D

【分析】由等差数列的性质得到Sa，58-S4)兀-演成等差数列，即2(S8-SJ=S4+S|2—S8,代入

求值即可.

【详解】｛%｝为等差数列，由等差数列的性质得其，$-邑，Sg-S.成等差数列，

/•2(S&-+S|2—,即2x(8—2)=2+A2—8,

解得：5I2=18.

故选：D.

4.已知直线3x+4y-l=0与圆(x-l)2+(y_l)2=4相交于A,B两点,则弦长|A8|的值为()

12二16〃18

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】B

【分析】根据已知求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式求解即可.

【详解】解：圆C:(x-l)2+(y-l)2=4的圆心坐标为C。,l),半径，=2,

13x1+4x1-116

，圆心、C(l,1)至IJ直线：3x+4y-1=0的星且离d=J~「=-

V32+425

•••弦|AB|的长为=2X/7M=216

y

故选：B.

5.若1,“，4三个数成等比数列，则圆锥曲线V+£=i的离心率为()

m

A.立或百B.四或GC.如或厢D,好或2

2233

【答案】A

【分析】根据等比中项加=±2,进而根据椭圆和双曲线的离心率公式即可求解.

【详解】VI,m,4三个数成等比数列，，痉=4,解得加=±2,

当机=2时，则圆锥曲线为/+其=1,此时离心率为e=J==«2,

2V22

当加=一2时，则圆锥曲线为炉-《=1,此时离心率为e=3=后,

21

故选：A

6.如图，在直三棱柱ABC-A/B/G中，。为棱48/的中点,AC=2,CC)=1,BC=2,AC-LBC,贝lj

异面直线CD与BG所成角的余弦值为()

D-T

【答案】B

【分析】以C为坐标原点，C4,CB,CG所在直线分别为X,必Z轴建立空间直角坐标系，利用空间

向量求解即可.

【详解】解：因为在直三棱柱ABC-A出/G中，AC=2,CCt=\,BC=2,ACLBC,

所以以C为坐标原点，CA,CB,CG所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C,(0,0,1),A(2,0,1),B,(0,2,1),

因为。为棱A/Q的中点，所以。（1,1,1）,

所以=(1,1,1),BCt=((),-2,1),

▼,IERr-\CDBC\-2+1-1用

所以3(8'叫=同网=及再7=至=一入,

所以异面直线CD与8G所成角的余弦值为巫,

15

7.已知_/WC的周长为12,8（-2,0）,C（2,0）,则顶点A的轨迹方程为（)

A.B.—+-^=1(>'*0)

D.土+二=1("0)

【答案】D

【分析】依题意可得|AC|+|AB|=8>|BC|,根据椭圆的定义可知顶点A的轨迹是以8（-2,0）,C（2,0）

为焦点长轴长为8的椭圆（不含x轴上的顶点），从而求出轨迹方程.

【详解】解：A8C的周长为12,B（-2,0）,C（2,0）

：.\BC\=4,M+M=12-4=8>忸。，

顶点A的轨迹是以B（-2,0）,C（2,0）为焦点，长轴长为8的椭圆（不含x轴上的顶点）,

又c=2,a=4,可得/=/一/=12,

22

二顶点A的轨迹方程为：上+汇=1(10).

1612

故选：D.

8.已知抛物线C：y?=8x的焦点为F,准线为/,P是/上一点，。是直线PF与C得一个交点，若

FP=4FQ9贝|JI0F|=()

75

A.—B.3C.-］1.2

22

【答案】B

［分析】利用抛物线的定义及相似三角形的性质可得\QF\=\MQ\=3,从而可得正确的选项.

【详解】设准线与x轴的交点为H,则忻”|=4,

一.|P(2|3

如图所不，因为0=4/。，故忸耳=］，

过点。作加"垂足为跖则加〃、轴，所以%p睛，

所以|M2|=3,由抛物线定义知，依耳=|阿=3,

故选：B.

O(/FX

二、多选题

9.己知公差为d的等差数列｛初｝中，生=7,%=35,其前〃项和为S〃，则()

2

A.%=19B.d=4C.an=3n+lD.Sn=2n+n

【答案】ABD

【分析】根据等差数列的通项公式，求出公差和首项，进而求出通项公式和前〃项和即可判断.

【详解】等差数列｛%｝的公差为d,因为。2=7,%=35,

fa+J=7

则Q,”，解得4=3,d=4,故选项B正确；

[a]+8〃=35

；・%=4+4d=3+4x4=19,故选项A正确；

为=3+5-1”4=4〃-1,故选项C错误；

S〃=3〃+xd=2n2+n,故选项D正确.

故选：ABD.

10.已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y=±gx,实轴长为4,则（）

A.该双曲线的虚轴长为4

B.该双曲线的焦距为4石

C.该双曲线的离心率为石

D.该双曲线的焦点到渐近线的距离为4

【答案】BCD

2，[£=1

【分析】根据题意设双曲线方程为与-1=1（。＞0,6＞0）,贝I了一5,求出从而可得双曲线

a"b~12a=4

方程，然后逐个分析判断即可.

22

【详解】解：依题意，可设双曲线方程为5-1=1（。＞0力＞0）,则

ah-

所以双曲线方程为

416

对于A,由于6=4,所以双曲线的虚轴长为a=8,所以A错误，

对于B,由。=21=4,得'=庐三="7正=2石，所以双曲线的焦距为4石，所以B正确,

对于C,由a=2,c=2石，得离心率为e=£=2叵=右，所以C正确，

a2

则其到渐近线的距离为P石।=4,所以D正

对于D,由双曲线的对称性，不妨取焦点（0,26）

确，

故选：BCD

11.已知递减的等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S",S6=S8，则（）

A.a7>0B.S/3VoC.S/5<0D.$7最大

【答案】ACD

【分析】由S6=Ss可得4+«,=（）,由等差数列｛加｝为递减数列，所以q<0<%,所以当14〃47时

«„>0,”28时根据等差数列的求和公式和性质，逐项分析判断即可.

【详解】由$6=$8可得Sg—$6="8+%=。，

由等差数列｛""｝为递减数列，

所以故A正确；

又如=&要xl3=13%>0,故B错误；

岳5=4式xl5=15[<0,故C正确；

由等差数列短〃｝为递减数列，所且如<。<小，

所以当时%>。，

“28时”“<0,所以S7最大，故D正确

故选：ACD

12.下列选项正确的是（）

A.直线x-⑺+3=0（〃zeR）恒过定点（-3,0）

B.圆V+y2=4上有且仅有3个点到直线/:欠-丫+&=0的距离都等于1

C.直线Gx+y+l=0的倾斜角为150。

D.与圆（x-2p+y2=2相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线只有一条

【答案】AB

【分析】直接令）:0即可得判断A；计算出圆心到直线的距离为1可判断B；得出斜率即可得倾斜

角判断C；分为直线过原点和不过原点两种情形可判断D.

【详解】直线X-阳+3=0（meR）,令y=o,得x=-3,即恒过定点（TO）,A正确;

圆3+9=4的圆心为（0,0）,半径为2,圆心到直线的距离d=0=1,

V2

则圆f+y）=4上有且仅有3个点到直线/:x-y+V2=0的距离都等于1,故B正确;

直线Gx+y+l=0的斜率为4=-后，其倾斜角为120,故C错误；

圆（*一2）2+丁=2的圆心为（2,0）,半径为夜，

当直线过原点时，依题意可设为？=依，即区-y=0,

d=J—!—=\/2,解得Z=±l,即切线为x±y=0,

J1+公

当直线不过原点时，依题意可设为x+）=a,即x+y-q=0,

d==&，解得。=0（舍去）或〃=4,即x+y-4=0,

即在x轴、），轴上的截距相等的直线有三条，故D错误；

故选：AB.

三、填空题

13.在数列｛q｝中，4=2,4川=2+：,贝|J%=.

12

【答案】y##2.4

【分析】根据递推式先求出色,再由递推式可求出出

【详解】因为在数列｛4｝中，4=2,4m=2+：,

C1C15

所以见=2+—=2+3=5，

422

r1c212

所以4=2+—=2+三=『

a255

12

故答案为：y

14.抛物线y=工炉的准线方程是_________________.

4

【答案】y=-i

【分析】将y=化成抛物线的标准方程Y=4y,利用抛物线的性质求解即可.

4

【详解】由y=得：f=4y,所以2P=4,即：5=1

所以抛物线y=的准线方程为：y=Y=_i.

42

【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题.

15.过点A(2,-l),B(-3,3)的直线方程(一般式)为.

【答案】4x+5y-3=0

【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，然后化简为一般式即可.

【详解】因为过点42,-1),仇-3,3)的直线的斜率为k=与津=-。，

—3—25

4

所以直线方程为y+l=-g(x-2),

化为一般式为4x+5y-3=0,

故答案为：4x+5y-3=0.

22

16.已知椭圆方程为*•+£=左、右焦点分别为写、工，P为椭圆上的动点，若“明

的最大值为与，则椭圆的离心率为.

【答案】B

2

【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得《，再利用公式e可求得该椭圆的离心率的

a'Va-

值.

【详解】由椭圆的定义可得|姐|+归周=2a,

冏『+匹2十用2(归用+归段丫一忻用、2|明小周

由余弦定理可得cos工=

21P用“图2\PFt\-\PF2\

4a2-4c2八4b2,4b2,2b2,

=-----------------।N--------------------------j=------j-------]

2阀H叫一"阀|+闸|丫2//,

乙X

I2)

因为的最大值为?，则竺_i=cos生=-1,可得与=工,

3a232a24

四、解答题

17.如图所示，在四棱锥M-ABC。中，底面A8C。是边长为1的正方形，且AM和AB,AO的夹

角都是60。N是CM的中点，设a=4B，b=AD，c=AM,试以a，b，c为基向量表示出向量BN.

【答案】BN=——a+^b+—c

【分析】根据题中的条件，由向量的线性运算，即可得出BN.

【详解】因为N是CM的中点，底面A8CO是正方形，

所以BN=BC+CN=A£>+,CA/=AO+!(AM-AC)=-A8-A。)

222

=--AB+-AD+-AM=--a+-b+-c.

222222

18.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(2,0),B(6,0),

(1)求此圆的标准方程；

⑵设P(x,y)为圆C上任意一点，求P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值.

【答案】(D(X-4)2+/=4

⑵平+2

【分析】(1)根据42,0),3(6,0)先确定出圆心，半径，进而得出圆的标准方程；

(2)求出圆心到直线的距离，加上半径，即为圆上一点到直线距离的最大值.

【详解】(1)依题意，该圆的一条直径为A3,43中点(4,0)为圆心，于是半径r=6-4=2,故圆

的标准方程为：(X-4)2+V=4

,|4+1|5加

(2)根据点到直线的距离公式，圆心(4,0)到直线x-y+l=0的距离"为：/=/+(:厂〒

故尸(x，y)到直线》->+1=0的距离的最大值为："+r=也+2

2

19.已知等差数列｛4“｝中，4+a3+”5=18,。5+%=-6.

⑴求｛叫的通项公式；

⑵求｛«„)的前n项和S”的最大值.

【答案】⑴4,=一3〃+15

(2)30

【分析】(1)根据等差数列的性质得到公差4=-3,从而求出通项公式；

(2)由。“=-3〃+1520得至且当〃=5时，4=0,从而得至U〃=4或〃=5时，S“取得最大值,

利用等差数列求和公式求出最大值.

【详解】(1)等差数列｛q｝中，

4+%+%=3%=18,解得：生=6,

%+%=24=-6,解得：&=-3,

故公差d=^Z^=Z^=_3,

故通项公式q=6+(〃-3”=6-3(〃-3)=-3〃+15；

(2)令/=-3〃+1520,解得：n<5,且当〃=5时，«„=0,

；.〃=4或〃=5时，｛q｝的前〃项和S”取得最大值，

又邑=驹抖=2x02+3)=30,故S“的最大值为30.

20.已知抛物线C：y2=2px(p>o)的焦点为尸，第四象限的一点尸(2,加)，且|Pq=3.

(1)求C的方程和“的值；

(2)若直线/交C于A,B两点,且线段A3中点的坐标为(1/)，求直线/的方程

【答案】(l)V=4x,m=一2四.

(2)2r-y-l=0

【分析】(1)根据抛物线的定义求出。的值，再将点的坐标代入即可求出机的值；

(2)利用点差法求出直线/的斜率，代入点斜式方程即可求解.

【详解】(1)由抛物线的定义可知，|尸目=2+孑=3,解得。=2,

所以抛物线C的方程为V=4x,则疗=8,

因为点P(2,相)在第四象限，所以〃?<0,解得机=-2&;

所以C的方程为)3=4x,m=-2应.

=4x

(2)设A(XJ，M),B(x2,y2),则广；'>

两式相减可得，(%-〉2)(%+%)=4(%-々)，

y.-y94

所以=又因为线段AB中点的坐标为(1,1),

,V,-y,44c

则有勺="=-7-=3=2,

占一工2y+必2

则由点斜式可得，直线/的方程为y—l=2(x-l),即2r—y—1=0.

21.已知数列｛4｝的前"项和为且S,=〃2+3〃.数列也｝是等比数列，々=1,a5-2b2=a3.

⑴求｛4｝,｛4｝的通项公式;

(2)求数歹!!｛。“他,｝的前”项和[.

【答案】⑴4=2〃+2,b„=2"-'

(2)7；=n-2n+,

【分析】(1)利用。“与S”之间的关系，可得数列｛4｝的通项公式，利用等比数列的通项公式，可得

数列｛〃｝的通项公式；

(2)利用错位相减法可得答案.

【详解】(1)'：S„=n2+3n,

，当“22时，4“=S“-S“_[=〃~+7〃--1)-7(〃-1)=2"+7,

又4=5=7,也满足上式，.•.〃“=2〃+2,

又数列他