2022-2023学年广西钦州市高二年级上册学期期末考试数学试题-解析版

钦州市2022年秋季学期教学质量监测

-高cis-一____皿数,、学、乙

（考试时间：120分钟；赋分：150分）

第I卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选

项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本

试卷上作答无效.）

1.若直线过点（“，一3）和点（0，-4）,则该直线的方程为

A.产走x-4B.产近x+4

'3-3

C.丫=瓜一6D.y=—^+2

3

【答案】A

【解析】

【分析】

（法一）利用直线的两点式方程直接求解；

（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程.

【详解】解：（法一）因为直线过点（百，一3）和点（0,~4）,

所以直线的方程为---/-）-=＞整理得y=Y3x-4;

y-（-4）x-QJ3

（法二）因为直线过点（G,-3）和点（0,-4）,所以直线的斜率为左=*,

所以直线的方程为y+4=*x,整理得y=*%_4;

故选：A.

【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题.

22

2.已知椭圆。：「+2=1（〃〉人＞0）的左、右焦点分别为耳，入，若椭圆上一点P（x,y）

ab-

到焦点耳的最大距离为7,最小距离为3,则椭圆。的离心率为（）

【答案】B

【解析】

/、Y2V2

【分析】根据点尸(x,y)在椭圆上得'+==1,且一再利用两点距离求得

ab

|P用=(x+a,从而可确定归国的最大值与最小值，即可求得。的值，即可得离心率

e='的值.

a

/、/2

【详解】解：设椭圆的半焦距为C,若椭圆上一点尸(")，则T+方=1,S.-a<x<a

222

又耳(-c,0),a-b+c

则|PF{|=J(x+c)2+J=J(x+c)2+(2一与二==—x+a

由于一aWxWa，所以|P6lmax=a+c=7,|P6'n=a—c=3

c2

于是可得a=5,c=2,所以椭圆C的离心率e=-=一.

a5

故选：B

3.己知a=(—2,1,2),8=(—若a上b，则实数f的值为。

A.0B.-4C.1D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由空间向量垂直的坐标表示进行计算即可.

【详解】-alb>

a•b=(-2)x(-l)+lxf+2xl=4+f=0,

•*.t—-~4.

故选：B.

4.我们知道，在日常学习与生活中养成根据现实世界的情景提出问题的习惯对培养自己的

创新素养起着至关重要作用.关于实际情景“日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去

污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服.一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多衣服越干净”,

提出的问题最恰当的是()

A.在给定漂洗所用的清水量的前提下，选择什么牌子的洗衣粉能使衣服更干净？

B.在给定漂洗衣服的前提下，漂洗所用的清水量多少合适？

C.在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗时放多少衣物才能使衣服干净？

D.在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，结合各选项的条件分析、判断作答.

【详解】对于A,好的洗衣粉，去污能力强，但必须经过多次漂洗才能将洗衣粉及污物去掉，

所提出问题与漂洗次数无关，A不是；

对于B,漂洗所用的清水量多，附着衣服的污物经过一次漂洗，去掉的不多，所提出问题与

漂洗次数无关，B不是；

对于C,漂洗时放一件衣物，若只漂洗一次，去掉的污物不多，所提出问题与漂洗次数无关，

C不是；

对于D,用适当的清水量，多次漂洗，能使衣服干净，提出的问题最恰当，D是.

故选：D

22

5.双曲线C：方-裔=1的左右焦点分别为不入，点P在双曲线C上且忸耳|=20,则\PF2\

等于（）

A.14B.26C.14或26D.16或24

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的方程可得a,4c,由归国―伊川=2a即可求解.

【详解】由双曲线的方程可得〃=3,b=4,c=5,故|尸用2c-a=2.

因为伊闾一归修=2&=6,故忸玛卜20卜6,解得归国=14或26.

故选:C.

6.已知向量勺=（一2,0,—2）,%=（2,2,0）分别为平面a和平面尸的法向量，则平面a与

平面£的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】根据坐标可求出cos,〃2）=-；，根据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量

之间的关系即可求出答案.

【详解】解：由已知可得〃J=2j2,〃2=2。2,4.2=_2x2+0x2+（—2）xO=T,

uuu

/irun、〃g_41

所以…”厢

设。为平面a与平面A的夹角，则qi擀90,

/irin、i

又cos6=cos(〃|,"2,——，

所以6=60-

故选：C.

2

7.已知圆O-./+丁=r(r>0)上有且只有两个点到直线/：3x-4y-15=0的距离为1,

则圆。半径r的取值范围为()

A.(2,4)B,[2,4]C.(2,3]D.[3,4)

【答案】A

【解析】

【分析】求出到直线/的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解

作答.

【详解】平面内到直线/距离为1的点的轨迹是与直线/平行且距离为1的两条直线4,4，

1加一15|

设//的方程为3x—4y—〃2=0(mH15),则不=解得加=10或加=20,

即直线4：3x-4y-10=0,直线，2：3x-4y—20=0,

如图，圆O：f+y2=/“>0)上有且只有两个点到直线/的距离为1,则圆o与4相交，

与4相离，

X

1-101

圆o的圆心o(o,o)到直线/1的距离42,到直线4的距离

732+M)2

=4

-和+(-4)2

所以圆。半径r的取值范围为2<r<4,即re(2,4).

故选：A

8.设(王，马,％；,天,毛)是1，2,3,4,5的一个排列,若(石一七+])(七+1—玉+2)<。对一切

ie{l,2,31恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是()

A.16B.25C.32D.41

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可知当玉<々时，此时有々=5或％=5.由“交替”的排列的概念可得,

当马=5时，/=3或%=4,分别求解即可得到当％=5时，5=3或5=4时，有8

种方法.同理可求得当Z=5,々=3或々=4,此时也有8种方法.然后得出玉时，

々=1或5=1时“交替”的排列数目，相加即可得出结果.

【详解】由已知可得(％-X2)(X2-A3)<0,(x,-%5)(^-X4)<0,(^-%4)(%4-%5)<0,

(i)当玉一工2<0时，玉<々，可推出％2>尤3，工3<》4，X4>x5>

此时有々=5或£=5.

①当马=5时，由己知可得/=3或％=4

当/=5,%=3时，此时必有玉=4,排列可以是(4,5,1,3,2)或(4,5,2,3,1)两种；

当々=5时，％=4时，此时斗了3，天可选择1,2,3中的任意排列，共A；=6中排列.

综上所述，共有8种方法；

②同理可得当％=5,可得々=3或赴=4,也有8种方法.

综上所述，当王<々时，“交替”的排列的数目是16；

(ii)当X1一龙2〉0时，%>工2，可推出工2<工3，工3>%4，工4<%5，

此时有彳2=1或％=L

①当々=1时，由已知可得％=2或%=3

当々=1，%=3时，此时必有苍=2,排列可以是(2,1,4,3,5)或(2,1,5,3,4)两种；

当々=1时，％=2时，此时石,工3，天可选择3，4,5中的任意排列，共A；=6中排列.

综上所述，共有8种方法;

②同理可得当又=1,可得巧=2或々=3,此时也有8种方法.

综上所述，当王时，“交替”的排列的数目是16.

所以，“交替”的排列的数目是32.

故选：C.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）

9.己知两条不重合的直线4了=勺尤+4，l2:y=k2x+b2,下列结论正确的是（）

A.若I、〃1,则占=心B.若K=女2，则4〃4

C.若3=1,则4JU2D.若4上0，则攵#2=-1

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.

【详解】对A,若4〃4,则勺=&，故A正确；

对B,若匕=后，又两直线不重合，则4〃4，故B正确;

对C,若桃2=1，则4与，2不垂直，故C错误;

对D,若则攵#2=-1,故D正确.

故选：ABD.

v-22

10.若椭圆c：玄+,v=1（8>0）的左、

右焦点分别为F],F2,则下列b的取值能使以巩

为直径的圆与椭圆C有公共点的是（）

A.b=>/2B.b—A/3C.b=2D.

b-

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定的条件，确定以大外为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求

出b的范围作答.

22

【详解】令椭圆。：会+3=1（匕>0）的半焦距为。，则以月工为直径的圆的方程为

x2+9=c2

因圆V+y2=c2与椭圆C有公共点，则有/之〃，即8—/之/,解得0＜匕42,显然

选项A,B,C满足，D不满足.

故选：ABC

11.下列结论正确的是（）

A.两条不重合直线4，4的方向向量分别是〃=（2,3,—1）,人=（一2,—3,1）,则“〃2

B.两个不同的平面夕的法向量分别是“=（2,2,—1）,丫=（一3,4,2）,则a，6

C.直线/的方向向量”=（1,2,—1）,平面a的法向量m=（3,6,%）,若/La,则左=15

D.若A5=（2,—1,T），AC=（4,2,0）,AP=（0,T,—8）,则点P在平面ABC内

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,验证:，力是否平行即可；对于B,验证是否垂直即可；对于C,根据

线面关系得a〃b，求解上得值即可判断；对于D,验证是否四点共面即可.

【详解】解：对于A,因为a=（2,3,—1）,b=（—2,—3,1）,所以。=一人，又两条不重合直

线4，《，所以故A正确；

对于B,平面a,4的法向量分别是“=（2,2,-1）,口=（一3,4,2）,且〃7=-6+8-2=0,

所以“_Lu，则a_L/?，故B正确；

对于C,直线/的方向向量a=（l,2,T）,平面a的法向量机=（3,6次），若/_Lc,则“〃/,，

则上=一3,故C错误；

对于D,因为AB=（2,AC=（4,2,0）,AP=（0,T,—8）,存在实数国〃使得

2=42

AB=^AC+^iAP,贝”-1=24—4〃，解得;1=1,〃=',则A5=LAC+」AP,所以

,C2222

—4=—8〃

AaCP四点共面，即点尸在平面ABC内，故D正确.

故选：ABD.

12.天山社区将红树林中学的甲、乙、丙、丁4名红志愿者分别安排到A,B,C三个村民小

组进行暑期社会实践活动，要求每个村民小组至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（）

A.共有18种安排方法

B.若甲、乙两名志愿者被安排在同一村民小组，则有6种安排方法

C.若两名志愿者被安排在A村民小组，则有24种安排方法

D.若甲志愿者被安排在A村民小组，则有12种安排方法

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，对于B：甲、乙被安排到同

一村民小组，先从3个村民小组中选一个安排甲和乙，对于C：A村民小组需要两名志愿者，

所以先从4名志愿者中选择2名安排到A村民小组，对于D；甲志愿者被安排在A村民小组，

分两种情况讨论，即可判断各个选项的正误.

【详解】对于A：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，

所以安排方法为：C：A；=36,A错误；

对于B：甲、乙被安排到同一村民小组，先从3个村民小组中选一个安排甲和乙，

剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，所以安排方法为：C；A；=6,B正确；

对于C：A村民小组需要两名志愿者，

所以先从4名志愿者中选择2名安排到A村民小组，

再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，

所以安排方法为：C：A；=12,C错误；

对于D；甲志愿者被安排在4村民小组，分两种情况讨论，

当A村民小组安排两名志愿者时，先从剩余3名志愿者选出一个，分到A村民小组，

再把剩余两个村民小组和志愿者进行全排列，

所以安排方法为：C；A；=6,

当4村民小组只安排甲志愿者时，剩余3名志愿者安排到两个村民小组中去，

所以安排方法为：C；A；=6,

所以一共有安排方法为：6+6=12,D正确；

故选：BD.

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知点?(〃2,〃)为抛物线C:：/=4x上的点，且点P到抛物线C的焦点尸的距离为3,

则m=.

【答案】2

【解析】

【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列

方程求解即可.

【详解】抛物线C:f=4x的焦点为(1,0),准线为

因为点为抛物线C:V=4x上日j点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3,

所以，〃+1=3,得zn=2,

故答案为：2

14.当直线/：x—阳+机—2=0截圆C：f+y2—2x—3=0所得的弦长最短时，实数”

的值为.

【答案】-1

【解析】

【分析】由已知可得直线/过定点A(2,l),当C4JJ时，弦长最短.根据斜率关系即可求出

实数加的值.

【详解】由已知可将直线/的方程化为％-2一加(丁-1)=0,

X一2二0x—2

解4,，、可得《，，所以直线/过定点A(2,l).

ly-i=o[y=i

又由圆的方程可得圆心。(1,0),半径「=-4x(—3)=2,

2

则|AC|=J(l-2)+(0—I)：=0<r，所以点A在圆内.

当ACL时，圆心C(l,0)到直线/的最大距离，直线/被圆截得的弦长最短.

0-11

因为％AC===1，所以直线/的斜率为T，即一Xl=—1,所以机=-L

1-2m

故答案为：-1.

15.已知(%—3)(元+21=为+%%+%元2+〃3。+。4/+。5/,则实数出的值为.

【答案】-40

【解析】

【分析】先求出(X+2)4的展开式的通项加产2&C：丁.，再分别求出％—3选取x以及一3

时，产的系数，相加即可得出结果.

【详解】(X+2)4的展开式的通项K+1=C[xi*24=2*C〉x4Y,k=o,i,2,3,4.

当x—3选取x时，应取(x+2)"展开式中含工的项，令4一%=1,则攵=3,

7；=23c：x=32x,此时炉的系数为32；

当》一3选取—3时，应取(x+2)4展开式中含炉的项，令4一%=2,则％=2,

7；=2?C1V=24/,此时无2的系数为一3x24=-72.

所以4=32—72=—40.

故答案为：-40.

16.“结题”是研究小组向老师和同学们报告数学建模研究成果并进行答辩的过程，结题会是

展示研究小组“会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表

达现实世界”的重要场合.一般来说，结题会是结题的基本形式，小组长负责呈现研究的核心

内容.假设你是研究小组的组长，研究的实际问题是“车辆的运行速度和刹车距离之间关系”,

那么，为了准备结题会材料，你整理研究成果的核心内容是：.

【答案】论文

【解析】

【分析】根据课题结题的一般形式即可写出答案.

【详解】根据课题结题的一般形式而言，论文是整理研究成果的核心内容，

故答案为：论文.

四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.已知点P(2,4)和直线/：2x+y+l=0.

(1)求经过点P且与/平行的直线方程；

(2)求经过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

【答案】(1)2x+y-8=0；

(2)y=2x或x+y-6=0.

【解析】

【分析】(1)根据已知可设直线方程为2x+y+加=(),代入点p坐标求出m的值即可得出

直线的方程；

(2)当直线在两坐标轴上截距都为0时，求出直线的斜率，得出直线的方程；当截距不为

0时，可设直线方程为x+y+〃=O,代入点。坐标求出"的值即可得出直线的方程.

【小问1详解】

设与直线/平行的直线方程为2尤+y+〃z=0.

因为直线经过点P(2,4),所以2x2+4+m=0,解得机=一8.

所以直线方程为2x+y-8=0.

【小问2详解】

当经过点P(2,4)且在两坐标轴上截距都为0时，

4-0

斜率4=三4=2,此时所求直线为y=2x；

当经过点P(2,4)且在两坐标轴上截距都不为0时,

由己知可设直线方程为x+y+〃=O,

因为直线经过点P（2,4）,所以2+4+〃=0,解得〃=-6.

所以直线方程为x+y-6=0.

综上所述，直线的方程为y=2x或x+y-6=0.

18.已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点片和右焦点鸟都在x轴上，长轴长为12,离心

2

率为§•

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）已知点"为椭圆C上一点且在第一象限.若△叫鸟为等腰三角形，求点M的坐标.

【答案】（1）-4-^=1

3620

（2）（3,715）

【解析】

【分析】（1）根据题意布列基本量的方程组，即可得到结果；

（2）讨论两腰的位置，结合椭圆定义即可得到结果.

【小问1详解】

2a=\2

根据题意：k_2，解得。=6,c=4.

3

.•"2=42=20,椭圆C的标准方程为三=1.

3620

【小问2详解】

•.•用在第一象限，.」上阴|>|知鸟］,

当阿图=|耳段=2c=8时，限用=2。一|吟|=4与\MFt\>\MF2\矛盾.

所以|峭|=|耳闾=2c=8,即网=4,

设点M的坐标为（』,％）&>°，%>°），则S.g=g•No=4%，

又S呻々=；X4X,82_22=4而,...4%=4而，解得％=而，

，荽+9等=1，解得尤o=3（%=-3舍去），，例的坐标为（3,拒）.

19.如图，在四棱锥P—A3CD中，底面ABC。是矩形，平面ABC。，PD=DA=2,

。。=1,M是8c的中点，点。在PM上，且PQ=2QM.

（1）证明：OQ，平面加W；

（2）求平面Q40与平面P£>C的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵旦.

3

【解析】

【分析】（1）利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；（2）利用空间向量计算面面

角.

【小问1详解】

证明：由题尸。，平面48。。，底面ABCD为矩形，以。为原点，直线D4,DC,DP

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。-孙z如图：

则A（2,0,0）,0（0,0,0）,C（0,l,0）,M（1,1,0）,尸（0,0,2）,Q

（22

=II.AM=（-1,1,0）,AP=（-2,0,2）,

,?OQAM=0；.DQ±AM,

'：DQAP=0,：.DQLAP,

'：AM42=4,且411,4/>口平面24〃，，。。，平面24〃.

（法二）证明：由题尸平面A8CO,底面ABC。为矩形，以。为原点，直线D4,DC,

0P所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系0-孙Z如图:

则A(2,0,0),0(0,0,0),C(0,l,0),P(0,0,2),Q

设〃=(x,y,z)是平面PAM的一个法向量.

AM=(-1,1,0),AP=(-2,0,2).

((x=1

n.AM=-x+y=0

<'取x=l,有〈y=i

n.AP=—2x+2z=0,

i[z=1

”=(1,1,1),£>2=1-,-,yI,

2

则DQ=§〃，DQ//n.

/.力QJ•平面

(法三)证明：连接DM

*/P£>_L平面ABCD,AMu平面ABCD,：.PDJ.AM.

在,AMD中，AM=17M=6,AD=2.

,­,AM2+DM2=ADZ'，-'.AM±DM，且PDcDM=D，

：.AMI平面PDM,

又,:力Qu平面PDM,,：.AM±DQ.

~=—,又：QMf6

VcosZPDM=--

PM任3co-DMQ=口乂=0=3

Z./\PDMs/\DQM,DQ±PM.

且AMPM=M,且4",尸河口平面加/,；.力。，平面44〃.

【小问2详解】

（222]

（接向量法）由（1）可知平面的法向量为。Q=（也可为〃=（1』』））.

平面PC。的一个法向量为〃?=（1,0,0）.

2

Ci.二耦二盍4

3

八B

•；NeAM,Ne平面/^4M,；NeCD,；.Nw平面PCD.

•••平面c平面PCD=PN.

过D做DTLPN于T，连接AT.

,/尸。，平面ABCD,：.PD±AD.

又ADLCD,CDPD=D,

•••AD,平面PC。，又PNu平面PC。，AO_LPN.

又,：DTLPN,DTcAD=D，。7,/10<=平面4。7\

，PNA平面ADT，；.PN_LAT,

/.NATO为二面角A-PN-O的平面角.

在品△A7D中，AT=瓜，

・•.cos/A*坦=*=巨

AT屈3

/.平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为近

3

20.用0,1,2,3,L,9这十个数字.

（1）可组成多少个三位数？

（2）可组成多少个无重复数字的三位数？

(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？

【答案】(1)900；

(2)648；(3)379.

【解析】

【分析】(1)根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出

结果；

(2)根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；

(3)根据题意，分成三种情况，分别计算得出各种情况的种数，根据分类加法计数原理相

加即可得出结果.

【小问1详解】

要确定一个三位数，可分三步进行：

第一步，确定百位数，百位不能为0,有9种选法；

第二步，确定十位数，有10种选法；

第三步，确定个位数，有10种选法.

根据分步乘法计数原理，共有9x10x10=900种.

【小问2详解】

要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：

第一步，确定百位数，有9种选法；

第二步，确定十位数，有9种选法：

第三步，确定个位数，有8种选法.

根据分步乘法计数原理，共有9x9x8=648个无重复数字的三位数.

【小问3详解】

由已知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，

第一类，满足条件的一位自然数：有10个，

第二类，满足条件的两位自然数：有9x9=81个，

第三类，满足条件的三位自然数：

第一步，确定百位数，百位数字可取1,2,3,4,有4种选法；

第二步，确定十位数，有9种选法：

第三步，确定个位数，有8种选法.

根据分步乘法计数原理，有4x9*8=288个.

由分类加法计数原理知共有10+81+288=379,共有379个小于500且无重复数字的自然

数.

21.平行六面体43。£>-44。］。中，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为

60°.

G

5

(1)求线段AG的长；

⑵若AB=AD=b，A4=c,用空间向量的一组基底的+仇。一反cj表示向量AB.

【答案】(1)V6；

uuur、r.r

(2)AB=5(a+匕)+,(a—bj-c.

【解析】

【分析】(1)易得AG=AB+4)+4A,根据向量数量积的运算律结合已知条件可求出

萧=6,即可得出结果;

UUU11