2022-2023学年山西省大同市高二年级上册学期期末考试数学试题

2022-2023学年第一学期高二期末考试

数学试题

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.已知空间向量且。*=3,则向量。与*的夹角为（）

5万24

A.6B.3C.3D.6

2.函数＞=xc°sx—sinx在下面哪个区间内是增函数？（）

句c（肛2乃）D（°"）

3.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个

理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单

音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于啦.若第一

个单音的频率为/,则第八个单音的频率为（）

A次/B.即C/疗/D.疗/

4.已知数列｛""｝的前"项和为S,，若且S2+S4+S6+…+S6O=186O,则

%=（）

A.2B.4C.6D.8

2222

G：f与=1。2:m一彳=l（a＞6＞0）]

5.双曲线或匕与ba-的离心率之积为4,则/的渐近线

方程是（）

AJ=±xB.户±2X

y-+.（2+也y=±@-5/3＞

6.若对于"'丫（一8川，且苞＜2都有-炉，则利的取值范围是（

）

A.S，。）B.S°]C.（°，+8）D.P+8）

7.设函数/（X）是定义在（"+"）上的可导函数，且满足2Ml'（x）+/（x）＜°,其中

/'（x）为/（x）的导函数则对于任意a＞b＞0,必有（）

a2f（a）＜b2f（b）a2f（a）＞b2f（b）

A.D.

a2h222

cf（«）＜,f（b）Daf（a）＞hf（b）

_5_（5«+10）a„

fa1'6'+5〃+6y7,+5〃+i5_

8.数列、“中，t尸"，则为9-（）

12018]2019

A.2019B,2019c,2020D2020

二、多选题（每小题5分，共20分；漏选得

2分，错选得0分）

9.设E，是是等差数列"，，｝的前〃项和，且S5<S6，S6=Si>S3则下列结论正确的是（

）

A公差d>。B.%=0

C.S^SsD»6与诙均为S,的最大值

10.已知函数/（"）=——4&+订€[1,4],/（》）的最大值为3,最小值为_6,则

。+6的值可能为（）

19101019

A.3B.3C.3D.3

小）=坐

11.对于函数X,下列说法正确的是（）

1

A.函数在x=&处取得极大值2e

B.函数的值域为I2e」

C./（x）有两个不同的零点

D/（2）</（^）</（3）

12.以下四个命题表述正确的是（）

A直线（3+朗）x+4尸3+3加=0侬洌恒过定点（-3,-3）

「224土+上=1

B.已知圆C：x+'=4,若点P为直线42上一点，且过点尸可向圆C作出两条

切线尸4%切点分别为48,则直线Z8经过定点（L2）

C.曲线q：/+V+2x=°与曲线G：1+/-4》-8歹+加=0恰有三条公切线，则

7n=4

D.圆一+「=4上存在4个点到直线l：x-y+y/2=0的距离都等于1

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.等差数列｛""｝中，%=18,%。=30,则满足不等式%>〃的正整数〃的最大值是

。7。63

f\q邑=了，56=丁

14.等比数列a\”的各项均为实数，其前"项为品，已知44,则

AFBB=+?=1（。＞2&）

15.已知4广，4,勺分别为椭圆如8的左顶点、右焦点、上顶点、下顶点，

直线物与即相交于点P,且叫+股=0,则”

16.已知曲线丁=x+1皿在点°,1）处的切线与曲线歹=+Q"+3）x+1只有一个公共点,

则”.

四、解答题（共70分）

17.（10分）已知等差数列｛%｝中，“2=0,等比数列｛4｝中&=1,且

（1）求与和4；

（2）求数列｛〃4｝的前〃项和S”.

18.（12分）已知函数/3=小一"+2小2.

（1）若。=2,求/G）在［I®］的最值；

（2）若恒成立，求。的取值范围.

19.（12分）如图，在四棱锥P—N8C。中，底面488为菱形，且/'8=60,平面

PABL平面4BCD,点E为BC中点,尸在ZP上，且满足

PF=-FAAP=PB=-AB=42

（1）求证：尸。〃平面OM；

（2）求二面角E—OE-8的余弦值.

20.（12分）设数列｛凡｝满足％+3生+…（2〃T）a”=2〃

（1）求％；

（2）求数列［2〃+lJ的前〃项和.

21.（12分）已知一定点及一定直线以动点又为圆心的圆”过点

F,且与直线/相切.

（1）求动点〃的轨迹0的方程；

（2）设P在直线/上，直线04PB分别与曲线c相切于4民N为线段工6的中点.求证:

MM=2|NP|,且直线AB恒过定点.

22.（12分）设函数/O'—"G+"111V）（"eR'"°）'/'（x）是函数/（X）的导函数.

讨论/（x）的单调性；

(1)

若。＞0,且/0）+/'0）=°,结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式?

(2)

23

---1---+...+〃+1>In(n4-1)(/2£N*)

222

(3)利用（2）中的不等式证明：I2n

2022-2023学年第一学期高二期末考试

数学参考答案

命题人：董凯审核人：张晓敏

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.D2.C3.D2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.C

二、多选题（每小题5分，共20分；漏选得2分，错选得0分）

9.BD10.AC11.AB12.BC

三、填空题（每小题5分，共20分）

]_

13.5914.3215.316.0或2

四、解答题（共70分）

17.解：（1）设等差数列"〃｝的公差为d,等比数列也，｝的公比为心

因为的=",。4

2

所以“2+d=44,%+2d=b2q

又因为。2=°12=1,

所以d=q,2d=q~.

CL1

c2c劣=—2,b[=一

即有2g=g,解得g=2,所以〃=2,且2

于是%=2(〃-2)也=2"：

⑵Sn=1,伪+2H+34+...+(〃-1)如+也①

2S,=4+2&+…+(〃-1)“+2也②

—S,+…+4-2也=27(2—2〃)】

①-②得2,

S=2n-2(2/7-2)+-

所以72.

18.解：⑴当a=2时，/G)=x*2x+2J'(x)=lnx-l

由/得0<x<e,由/'(x)>°得x>e,

所以/(x)在(°，e)上单调递减,在&)上单调递增，

且/(e)=elne-2e+2-2-e

/(l)=llnl-2xl+2=0

f(e2)=e2lne2-2e2+2^2

则函数/(X)的最小值为2-e,最大值为2.

(2)由题得》>0,若/GV。恒成立，则hir_ax+220,

,2

Inx+—>a

即x恒成立

/、12,z\12x—2

g(x)=lnx+-g(x)=-----T=

令X,则\/X/X2,

当0<x<2时，g'G)<°；

当x>2时，g'(x)>°,

所以8㈤在(°2)上单调递减，在0，+00)上单调递增，

则g(x)min=g(2)=1+ln2,所以a<l+ln2,

故。的取值范围为(一%1+回.

19.(1)证明：连接力。，交DE于点、G,连接Gb.

・••底面/8c。为菱形，且E为8c中点，

,GC_1

"~GA~2

PF=-FA

<F为4P上一点、,且满足2,

GF//PCf

又G/u平面DEF,PCa平面DEF,

PC〃平面。EE.

(2)解：取N8的中点为0,连接。°，尸°，；底面N8CZ)为菱形，

且/DAB=60,，平面PN8J_平面。。J_平面/BP,

;AP=PB=JV2AB,PO±AB

2

以OP,OB,OD所在的直线分别为％%z轴，建立如图所示的坐标系O-xyzf

D

8（0,1,0）,。（0,0,百）40,|,年

F

则

—•（21

DE=,DF=——,

。衿（33

设平面DEF的一个法向量为“=（"，z）,

’3V3

一V-z----=---0

2'2

in-DE-0

21

—X——y-乖）z=0

则师•。尸=0,即[33

取z=G,则比/J，灼,

玩=）

易得平面DEB的一个法向量为（1,0,0

__mn55729

cosm,n,-7—

\m\n\V2929

所以

5729

所以二面角口一。£一8的余弦值为29

20.解：⑴数列也｝满足%+物+…+（2"-1）勺=2"

〃22时，％+3a2+…+（2〃-3）%=2（〃-1）

/.（2n-\^an=2

2

••ci=

〃2n-\

当〃=i时，q=2,上式也成立

2

%=亦1

an.211

（2）2〃+1（2〃-1）（2〃+1）2M-12M+1

%,

数列2〃+1的前“项和

=04)

21.解：（1）动点”为圆心的圆”过点尸，且与直线/相切，

动圆圆心到定点厂（0'1）与定直线歹=一1的距离相等，

，动圆圆心的轨迹为抛物线，其中/（°」）为焦点，y=T为准线,

=1-P=2,：.2A

2动圆圆心轨迹方程为厂=4^

P(Xo，T)，〃不冷］./’号

⑵依题意可设IJ卜A

2,12,1

x=4y,:.y=—xy=­x

又42

k,、-_1%

故切线"的斜率为'2

PA:y--Xy=—x,(x-x,)=>2x.x-4y-x^=0

故切线.42

乂尸(Xo，-1),...2X|Xo+4-x；=0目2x24+4-x；=0

故方程,—2x°x-4=0有两根%,x2x,x2=-4(

=x=xx

kxk2~\x；X2^\2=-l..P4~LPB

又N为线段ZB的中点,--\AB\=2\NP\

2

1x1

^2xx+4-x2=0,,不fXo+1一_;=0-x^o+l-j；,=0

又由gXo+4%!u得到：24即2

一工240+[—%=0

同理可得到2,

故直线N6方程为：2V'+1一°,故直线过定点”（°，1）.

22.⑴解：由题意，函数/O/一”》+"山），其中函数/（X）的定义域为◎+。）,

八x"一/=丝巫⑴

可得XX,

令/'（x）=0,可得x=a或"一2,

若”0,则当xe（°，a）时，/'（x）＜0,当六侬+司时，/，（x）〉0

所以/（x）上