2022-2023学年山东省枣庄市市中区高二年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省枣庄市市中区高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.已知向量”Q，L3),B=(X,2,1-X),若力则x=()

A.-5B.5C.4D.-1

【答案】B

【解析】根据利用求£

【详解】因为所以Zi=2x+2+3(l-x)=0,得x=5.

故选：B.

2.己知数列1,石，力,3,11,....后口，…，则36是这个数列的()

A.第21项B.第23项C.第25项D.第27项

【答案】B

【分析】将3行改写成反斤的形式，即可确定它是这个数列的第几项.

【详解】因为题中数列的第〃项为血力，

而=A=<2x23-1,

所以3石是题中数列的第23项.

故选：B.

y=—x2

3.抛物线.3的焦点坐标是()

A.加B.加C•加D•陷

【答案】D

y=-x2

【解析】先将抛物线3化为标准方程，即可求出焦点坐标.

3

y=—x221P=—

【详解】由”3,所以抛物线的标准方程为：x=3-即2,

12

y=-x~

••・所以抛物线.3的焦点坐标为：14J

故选：D.

4.已知直线4：'+〃9+7=0和4：（加一2）x+3y+2机=0

互相平行，则实数5=()

A.-3B.TC.T或3D.1或-3

【答案】C

【分析】根据题意，结合两直线的平行，得至=°且2机-7X3H°,即可求解.

【详解】由题意，直线小》+切+7=0和/2：（加-2口+3k2〃?=0互相平行，

可得1乂3_〃?（〃？_2）=0且2m_7乂3/0,

21

）加w—

即"-2，〃-3=0且2,解得，"=-1或机=3.

故选：C.

5.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春

分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影

子长的和是406尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）

A.6.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.匕.5尺

【答案】D

【解析】根据题意转化为等差数列，求首项.

【详解】设冬至的H影长为％,雨水的H影长为《+%+牝=40.5,根据等差数列的性质可知

3%=40.5=%=13.5,芒种的日影长为1=4.5,

Jq+2d=13.5

=4.5,解得：q=l5.5,d=-1

所以冬至的日影长为15.5尺.

故选：D

6.如图，在三棱柱"8C-48c中，”为4G的中点，若或=£,BC=b,BB\=c,则下列向量

与两相等的是（）

]-17

—a-\--b—c

B.22

1-1T-

—a+—b+c

D.22

【答案】D

【解析】根据空间向量的运算，用为基底表示出痂，可得选项.

BM=BA+AA.+A1H=BA+BB.+-7C

【详解】2

=BA+JB[+^（BC-^A^=^BA+'BB[+^BC

[一一1T

=—a+c+—b

22

故选：D

%2/

----1-----1

7.已知椭圆369与x轴交于点4,B,把线段分成6等份，过每个分点作》轴的垂线交

椭圆的上半部分于点耳，巴，巴，巴，巴，厂是椭圆C的右焦点，则

山村+月尸|+区司+归F|+区F|=（）

A.20B.156C.36D.30

【答案】D

【分析】由题意知片与乙，巴与《分别关于》轴对称，设椭圆的左焦点为耳，从而

IM尸|+|下尸|=|片尸|+M6l=2a,尸|+|gF|=2a,|鸟尸|=a,利用

|耳尸|+出尸1+18尸|+|8用+出尸|=5。即可求解.

【详解】由题意，知6与月，鸟与A分别关于歹轴对称

设椭圆的左焦点为E,由已知〃=6,

则16用+£用=16尸I+H用=2a,同时12尸|+出尸I=2a,l6用=a

/6加+出尸|+14用+|乙用+|代F|=5°=30

8.已知圆。的半径为5,1°口=3,过点尸的2021条弦的长度组成一个等差数列."},最短弦长

为4,最长弦长为的以，则其公差为（）

113J_

A.2020B.1010C.1010D.505

【答案】B

【解析】可得过点尸的最长弦长为直径，最短弦长为过点P的与°P垂直的弦，分别求出即可得出

公差.

【详解】可得过点P的最长弦长为直径，••・々⑼=1°,

最短弦长为过点尸的与OP垂直的弦，％=2--32=8,

d="2021-_2_]

.•・公差・2021-1-2020—1010.

故选：B.

二、多选题

9.已知圆G：J+「=I和圆C2：f+V-4x=°的公共点为A,B,则（）

2

A.IGGt2B.直线48的方程是”一兄

c-GD「R

【答案】ABD

【解析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，判断C,利用弦长公式求“回.

【详解】圆G的圆心是（°⑼,半径4=1,圆。2：（》-2）-+/=4,圆心（2,0）,2=2,

；[GG|=2,故A正确；

4x=1=x=1

两圆相减就是直线ZB的方程，两圆相减得4,故B正确；

=雇|=2,匹|=2,冈2+|"2代匹「，所以"CL不正确，故c不正确；

（00）x=—d=—\AB\-2\jr2-dz=2.11--^-=

圆心到直线4的距离4,V162,故D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题关键选项是B选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交

弦所在直线方程.

10.已知空间四点。(0,0,0)，/(0,1,2),8(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是()

cos<OA,OB>=--

A.OAOB=-2B.5

C.点O到直线8C的距离为石

D.O,A,B,C四点共面

【答案】ABC

【解析】计算数量积判断A,求向量夹角判断B,利用向量垂直判断C,根据空间向量共面定理判

断D.

［详解］方=(。［，2),砺=(2,0,-1),

0405=0x2+1x0+2x(-1)=-2,A正确

OAOB-2_2

cos<OA,OB

亚x亚-5

HRB正确;

8c=(1,2,2),CS-BC=2xl+0x2+(-l)x2=0；所以历_L品，卜石，所以点0到直线

8c的距离为石，C正确;

反=(3,2,1),

假设若。，4,8,C四点共面，则。4。,OC共面，设OC=xO/+W>6,

'2y=3

“x=2

则12x-V=l,此方程组无解，所以o,A,B,C四点不共面，D错.

故选：ABC.

11.若数列死｝满足4=1,❷印，，=&+K(〃23,〃eN)则称死｝为斐波那契数列.记

数列死｝的前〃项和为则()

A.B.56=6一1

C.£+居+月+•,,+%=%D.耳2+8+&+…+片2=鸟&

【答案】BC

【分析】由递推式分别求出乙，月，…，“，再逐个选项判断即可.

【详解】因为耳T,g=1,%=工-1+%-2(心3,"€川),

所以玛=G+6=2,F4=F3+F2=3t

G=E+8=5,罪=&+尼=8,

鸟=入+片=13,&=K+&=21,

居=&+月=34,4）=居+&=55,

所以年=64,月月+1=66,4片巴巴+1,故A错误；

$6=1+1+2+3+5+8=20,&-1=20,56=/^-1（故8正确；

”+月+月+…+£,=1+2+5+13+34=55=/^,故C正确；

邛+g+8+…+反=[+[+4+9+25+64=104,鸟G=13x21=273,

所以外+用+抬+...+耳*工仁故。错误.

故选：BC.

12.已知常数。>°,点4-“，°），83°）,动点M不与48重合）满足：直线与直线的斜

率之积为机。"二°）,动点M的轨迹与点48共同构成曲线C,则关于曲线C的下列说法正确的是

（）

A.当机<°时，曲线C表示椭圆

B.当加<T时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆

C.当机>0时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为卜=±诟x

D.当〃?>-1且加工°时，曲线C的离心率是

【答案】BCD

yyy_m/J?_]

【解析】设"GM,贝l」x+ax-a~m,即曲线c的方程为/ma2~,然后利用椭圆和双曲线

的知识逐一判断即可.

yxy—x2y2

【详解】设“（”），则片^^一“，所以v="'Gj）即曲线c的方程为/一左一

当〃?<°且加*-1时，曲线C表示椭圆，故A错误

22

当〃?<-1时，-ma>a,曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故B正确

当拉>°时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为卜=±而。故C正确

当〃?>0时，曲线C表示双曲线，其离心率为

当-j<。时，曲线C表示椭圆，其离心率为卜*标,故D正确

故选：BCD

三、填空题

13.在直角坐标系中，直线工+回-3=°的倾斜角是_.

【答案】150。

【分析】求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.

_V3

【详解】直线的斜率为3,所以倾斜角为150。.

故答案为：150。

一上

14.已知双曲线/b2=1(«>0,6>0)的渐近线方程为>；=±6工，则它的离心率为.

【答案】2

【详解】由题意，得="+q=«3=2.

15.已知正方形/8CO的边长为2,E,尸分别是边8的中点，沿E尸将四边形/EED折起，使二

面角4-E尸-8的大小为60",则4c两点间的距离为.

【答案】5

【分析】取BE的中点G,然后证明4EB是二面角/-EF-8的平面角，进而证明NGLGC,最

后通过勾股定理求得答案.

【详解】如图，取8E的中点G,连接ZG,CG,由题意EFL4E,EFLBE,则//房是二面角

4-E尸-8的平面角，贝ij/4£8=60°,又AE=BE=1,则是正三角形，于是

AG.LBE,AG=—

2.

AD

F

B

根据EF'N瓦£下,8民力后门8£=后可得：EF工平面而4Gu平面所以ML/G,

而ZG_LBE,8£cEF=E,则4G，平面8CFE,又GCU平面8CF£,于是，AG1GC,又

GC2=BC2+BG1=—AC=y/AG2+GC2=-+—=^5

4,所以V44

故答案为：B

四、双空题

16.已知数列3J的各项均为正数，其前〃项和S"满足2疯=""+1,则见=；记

b=4+]

国表示不超过x的最大整数，例如反1=3,[-1.5]=-2,若"[10），设也｝的前〃项和为3

则『.

【答案】2〃一1；60.

fS,,〃=l,

【分析】先根据【S”-S"T，"*2并结合等差数列的定义求出《,；然后讨论〃的取值范围，讨论

出或分别取1,2,3,4,5的情况，进而求出T”.

S一（氏+1）2&-1

O_v<i__7U.—1f\

【详解】由题意，4，片1时，4，满足

S=（％+1）2

〃N2时，4,于是，

二3,+厅（%+。

=>(",+%)(%-%-2)=0

44因为%>°,所以

凡一。,1-2=0=*-*=2,所以，也｝是1为首项，2为公差的等差数列，所以

an=1+2(/7-1)=2/7-1

—<1=>2/7-1<10=>/7<—b=+1=1

若102,即时，H|_10」

1<.^<2=>10<2»-1<20=>—<«<—bn=%+1=2

若1022贝lj6W〃W10时，LQ

%

2<^-<3=>20<2H-1<30=>—<w<—hn=+1=3

若io22,则114〃K15时,10

3<^-<4=>30<2n-l<40=>—<«<—b“=工+1=4

若1022,则164〃420时，口0」，

4<—<5=>40<2/z-l<50=>—<n<—b=—+1=5

若1022,贝l]〃=21或22时，nL10J

于曰T22=(1+24-3+4)x5+5x2=60

故答案为：2n-1；60.

五、解答题

17.在三角形45c中,已知点/（4，°）,3（-3,4）,C（l,2）

（1）求8c边上中线所在的直线方程；

（2）若某一直线过点8,且卜轴上截距是x轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程.

【答案】⑴3X+5，-12=0

⑵4x+3y=0或2x+y+2=0

【分析】（1）求出中点，利用点斜式求方程即可；（2）直线过原点和不过原点利用截距式方程求

解即可

【详解】⑴•/（TA）,。（1,2）,

.•・线段8c的中点。的坐标为（T，3）,

y=~~3G-4）

又8c边上的中线经过点"6°）,.•."（-1）,

即3x+5y-12=0

故8c边上中线所在的直线方程3x+5y-12=°

（2）当直线在x轴和了轴上的截距均为o时，可设直线的方程为y=6,

k=_4

代入点'（—3M）,则4=-3A,解得一一5,

4

y=—x

所以所求直线的方程为"3,即4x+3y=0；

土+上=1

当直线在x轴和了轴上的截距均不为o时，可设直线的方程为2机,

口+且=[

代入点B（T4）,则m+2m~,解得m=-1,

所以所求直线的方程为2x+y+2=o,

综上所述，该直线的一般式方程为4x+3y=°或2x+y+2=0.

18.已知数列若.

（1）求数列"J的通项公式；

（2）求数列〔4凡+」的前"项和4.

从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解.

①《+&+%+…+/=〃]

②q=l,%=7,2%=a“T+a“M（〃eN”,〃》2）,

③4=1,点"（"吗），8（〃+1，。用）在斜率是2的直线上.

【答案】答案见解析.

【分析】（1）若选①，根据通项公式与前〃项和的关系求解通项公式即可；

若选②，根据2%="K+《川（〃wN'〃*2）可得数列｛4,｝为等差数列，利用基本量法求解通项公式

即可；

若选③，根据两点间的斜率公式可得“向一4=2,可得数列为等差数列进而求得通项公式：

（2）利用裂项相消求和即可

【详解】解：（1）若选①，由4+%+%+…+/=/,

所以当〃22,4+%+生+—+。“-|=（"-1）2,

两式相减可得：

而在《+/+%+…+/=/中，令"=1可得：q=i,符合上式，

故

若选②，由2。”=%+%（〃wN*,”22）可得：数列｛“,｝为等差数列，

又因为卬=1,4=7,所以。「q=3d,即d=2,

所以《，=1+（"1）X2=2〃-1.

4M一4.2

若选③，由点"（〃'""），8（〃+1，”山）在斜率是2的直线上得：（〃+1）-〃，

即%+|一4=2,

所以数列也｝为等差数列且为=1+（〃-1卜2=2〃-1.

1.J=J1______

（2）由（I）知："/"+I（2〃-1）（2〃+1）2（2〃-12n+lJ

所以2K3）135）12“一12〃+1〃

--11〃

2（2«+1）2n+\

19.已知圆C与X轴相切，圆心在直线y=3x上，且到直线y=2x的距离为5.

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C的圆心在第一象限，过点。°）的直线/与C相交于A、8两点，且»同=3形,求直线

/的方程.

【答案】⑴（1）,&-3）2=9或（x+lf+G+3）2=9

⑵x_y_]=O或x+y_l=O

【分析】（1）设圆心C的坐标为（23”），则该圆的半径长为利用点到直线的距离公式可求得

a的值，即可得出圆°的标准方程；

（2）利用勾股定理可求得圆心C至〃的距离，分析可知直线/的斜率存在，设直线/的方程为

V=*（xT）,利用点到直线的距离公式可求得关于左的方程，解出左的值，即可得出直线/的方程.

【详解】（1）解：设圆心。的坐标为（63“），则该圆的半径长为3时，

因为圆心C到直线V=2x的距离为65,解得。=±1,

所以圆心C的坐标为0,3）或（T，-3）,半径为3,

因此，圆C的标准方程为（xT>+（IT=9或（x+1）一+&+3）一=9.

（2）解：若圆。的圆心在第一象限，则圆C的标准方程为（XT）-+Q-3）.=9.

因为M=3何所以圆心到直线/的距离VI2J2

若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为》=1,此时圆心C到直线/的距离为2,不合乎题意;

所以，直线/的斜率存在，可设直线/的方程为y=*（xT）,即=°

4=/==迪

由题意可得护力2,解得*=±1,

所以，直线/的方程为P=xT或y=「x,即x_y_]=O或x+y_l=O

20.四棱锥尸-48co底面为平行四边形，且//8C=60',P/=N8=2,/O=3,尸/1平面

ABCD丽=；阮

（1）在棱尸。上是否存在点N,使得尸8〃平面"MN.若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.

（2）求直线PB与平面尸四所成角的正弦值.

PN_1

【答案】（1）存在点N,且砺一5,理由见解析;

⑵86.

【分析】（1）连接4加、8。相交于点O,连接产。、N0,利用线面平行的性质可得N。〃尸8,

BM=-BC

根据3可得答案；

（2）以A为原点，分别以“M、4D4尸所在的直线为x、》z轴建立空间直角坐标系，求出平面

PCD的法向量为，利用线面角的向量求法计算可得答案.

PN_1

【详解】（1）存在点N,且前一3时尸8〃平面理由如下：

连接80相交于点。，连接N0,则平面尸8Z）n平面/MN=N0,

若尸3〃平面力MN,NOu平面力MN,P8u平面力MN,所以NO//PB,

BM=-BC=-ADBO=-ODPN=-ND

因为33,所以3,3,

PN_1

所以ND一3时PBH平面AMN.

BM=-BC=\

⑵因为3,AB=2,ZABC=60\

由余弦定理可得/A/。=/82+84/2-2/8x8Mcos60°=3,

由=/“2+8知2可得AMLAD,又P4_L平面/BCD,

以A为原点，分别以//、4。工尸所在的直线为％、Nz轴建立空间直角坐标系，

则P（0,0,2）,S（V3,-1,O）C（G,2,0）,D（0,3,0）,方=心,-1,-2）,而=（0,3,-2）

PC=（^,2~2）

设平面PCD的法向量为〃=（x，%z）,

PCH=Oi3y-2z=02M

所以［而1=0,即j3+2y-2z=0,令尸2,则2=3，*=亍，

设直线PB与平面PCD所成角的为0,

|2-2-6|35/258

sincos

勺+86

附PT反T^x4+9

所以

勺

Dy

所以直线P8与平面PC。所成角的正弦值为一歹

21.设｛%｝是首项为1的等比数列，数列也｝满足亍.已知4,3牝，9%成等差数歹八

（1）求｛“"｝和包｝的通项公式；

s

（2）记〉和"分别为何｝和包｝的前〃项和.证明:

a=（［严bn=—

【答案】（1）"3,3〃；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列的性质及为得到9/-6q+i=°,解方程即可；

（2）利用公式法、错位相减法分别求出再作差比较即可.

【详解】（1）因为｛“"｝是首项为1的等比数列且4，3%，9%成等差数列，

所以6a2=6+9%,所以6。闯=%+9面,

即财-6q+l=0,解得所以""飞）”’,

b=%=2

所以〃33\

（2）［方法一］:作差后利用错位相减法求和

127?-1n

/“=§+?"+…+产+诞

停+**,,,+5），

/、/、八111o11

畀e十三1"

0--1-i2--n—\~—

」+」+_2.,2

设二十…-I--------O--N---I:-----

3°3,32(B)

八111clI1

10-1-2-n-\-

_2।2।2..2

则3"3132333〃⑨

2r(j=.i+ri+i+...+

3"2(3'323,,_|)3"2［」3"

由⑧-⑨得3

3

1n—

r=___1________2_〃

所以"4X3"-22X3"-'2X3"T,

S,nnn

<0

因此23〃2x3〃T2x3〃

1<2

故2.

［方法二］【最优解】：公式法和错位相减求和法

1x(1-J

s〃=|（T）

1-

证明：由(1)可得1

_12n-\n

T-=3+V+",+y^+r,

①

J12n-1n

/=铲+亨+…4-----------1--------

3"3向，②

l

=33"_2L=l(i_l)_2L

1111n113"+l23"3"+1

-T=1-----

6②得3“1+铲+三+…+”・产3

n

所以43〃FF,

(

I-2=3i-—)------(]-战<。

所以"243"2-3"4

T.

所以“2

［方法三构造裂项法

%=（加+方他

由（I）知⑺，令［3）,且即

_33c33

a-n-\--

通过等式左右两边系数比对易得"一2’~4,所以“24

——33n

T,=A+b2+---+b„=c}-c„+]

则442,下同方法二.

［方法四］:导函数法

,aX(1-X")

f(x)=X+x2+x3+■■■+x"=---------

设1-x

由于I1-X(1)2(1-x)2

l+nx,,+'-(n+l)xn

f\x)=1+2x+3x2+…+nx,l~]

则(1)2

1+233x©+..”{J

Tn=b\+b2+&+,,•+，=-

所以

，⑴，⑴

m3⑺3^_1Y

=»+〃（；）-（〃+福

【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等