2022-2023学年山东省青岛市高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省青岛市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1.已知集合力={1,2,3,4},3={2,4,6,8},C={3,6,9},则（Ac/B）cC的元素个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】运用集合的交并集运算计算（Au8）cC,再判断元素个数.

【详解】（Au8）cC={3,6},元素个数为2,

故选：C.

2.下述正确的是（）

A.若，为第四象限角，则sin，>0

7T

B.若cos0=0,则。=—

2

C.若夕的终边为第三象限平分线，则tan9=-1

7T

D.“，=也+—次£2”是“3116=85/，的充要条件

4

【答案】D

【分析】对于A,利用三角函数定义即可判断；对于B,求出0的值即可判断；对于C,算出。的范

围即可判断；对于D,利用充分，必要的定义进行判断即可

【详解】对于A,若夕为第四象限角，根据三角函数定义可得sindvO,故不正确；

7T

对于B,若cosd=0,则6=5+E，AeZ,故不正确；

对于C,若。的终边为第三象限平分线，则。="+2E,keZ,

此时tan6=l,故不正确；

对于D,由。=碗+二,ZeZ可得以g=tan6=l,即sinO=cos，，满足充分性；

4cos19

由sin〃=cos夕可得0«16=上叫=1,所以6=E+工,keZ,满足必要性，故正确

cos（94

故选：D

3.函数y=Jlog?*的定义域是

A.（0,1]B.（0,+o5）

C.（L+00）D.[1,+<»）

【答案】D

【详解】由题意知log?》>0,.-.x>l,则函数、=匹工的定义域是［，«»).

故选D.

2

4.若函数f(x)=a-品为奇函数，贝()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据奇函数的性质，/(0)=0,解得。=1,验证/*)为奇函数.

2

【详解】因为函数/(力=。-五百为奇函数，且xeR，所以./'(0)=0，a=L

验证当a=l时，/(%)=12—=上1,〃­)=竺二1=_"二1=_/(幻，满足题意,

故选：B

5.若!<，<0,则下列不等式中正确的是()

ab

A.a<bB.a2b>ab1

【答案】B

【分析】根据L<?<0可得：b<a<0,然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解.

ab

【详解】因为所以匕<。<0,故选项A错误；

因为。<a<0,所以而>0,则有〃”>加，故选项B正确；

因为〃<〃<(),所以一4<一)，又因为°<0,所以则—。=同<—匕，故选项C错误;

因为〃<〃<(),所以a+〃<a+a,两边同时除以2可得："<a,故选项D错误，

2

故选：B.

6.已知函数〃x)=sin12x-W，贝I」()

A.f(x)的最小正周期为2兀

B.点长,0)是/(x)图象的一个对称中心

C.直线x="是/(x)图象的一条对称轴

D.〃x)在卜会百上单调递增

【答案】D

【分析】利用正弦函数的性质即可逐一检验

【详解】对于A,由/(x)=sin12x-tj可得周期7=5=兀，故A不正确：

对于B,当犬=色时■,2x---—,sin|2x-^=^-*o,

666Vo/z

则点住,0)不是图象的一个对称中心，故B不正确；

对于C,当x=M时，2x-工=0,sinj2x_?]=0*±l,

126<6J

则直线工=合不是f(x)图象的一条对称轴，故C不正确；

对于D,当时，2彳3(4,3,根据正弦函数的单调性可得“X)在(-苦)上单调

递增，故D正确，

故选：D

7.若定义在R上的函数“X)满足：当国W时，f(-sinx)+2/(sinx)=3sinrcosx,JI/(x+2)=/(x),

【答案】C

【分析】利用解方程组的方法求出函数解析式，根据周期即可求得结果.

【详解】当卜区]时，cosx=Vl-sin2x，

则/(-sinx)+2/'(sinx)=3sinx-y/l-sin2x>

令，=sinx,则f(T)+2fS=3t«-『，/司一1』，

用T换f，得/⑺+2/(T)=1—尸，

联立解得F(f)=3N^A，^[-1,1]

所以，/(x)=3xVl-x2-XG[T/，

f(x+2)=f(x),/(X)是以2为周期的函数.

故选：C

8.已知函数/(x),对任意石e(l,E)且不X马,//(办)+%/(%2)<%/(%)+//(刀2)恒成立，且

〃x+l)是偶函数，设。=，11呜£|力=/(1叫4),。=/(1%3-1),则”,A,c的大小关系为()

A.b<a<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<h<c

【答案】A

【分析】根据函数的单调性的定义，函数解析式变换，函数的对称性即可求解.

【详解】因为当3，％w(l,+oo),*x2,^/(jq)+^/(A2)<xl/(xl)+x2/(x2),

所以[/(百)一/(々)](工2-苫)<0,

所以/(%)—/伍)与七-%异号，

所以f(%)—/仇)与玉-*2同号，

所以f(x)在(l,w)是增函数，

又/(X+1)是偶函数，所以f(x)关于直线X=1轴对称，

&=/(log34),c=/(log.,3-')=/(-1)=/(3)

4

Xlog34-(2+log32)=log3--2=log32-2<0,

所以Iog34<2+log32<3

所以“log34)</(2+log32)<〃3)

所以8<a<c.

故选：A.

二、多选题

9.已知$欣=|,*€[0,]),则()

【答案】AC

【分析】使用诱导公式化简，用同角三角函数关系求值.

【详解】sinx='|,xe(0,5),则cosx=Jl-sin?x=[,

sin(7c-x)=sinx=-,故A正确；

4

COS(X—7t)=—COSX=——,故B错误：

.(71)4“

sinl--xl=cosx=-,故C正确；

coslx---l=-sinx=--,故D错误；

故选：AC.

io.已知函数y(x)=x"，则()

A.若a=3,则函数为偶函数

B.若a=-l,则函数在(0,y)上单调递减

C.若a=；,则函数/(x)的定义域［0,+8)

D.若a=；,则函数y=/(x)—cosx只有一个零点

【答案】BCD

【分析】对于A,利用奇偶函数的定义进行判断即可：对于B,利用幕函数的性质即可判断；对于C,

利用根号内大于等于。即可判断；对于D,利用零点存在定理即可判断

【详解】对于A,若a=3,则/(x)=d,定义域为R,

所以〃一刈=(_力3=_1=一/(力,所以“X)为奇函数，故错误;

对于B,若。=一1,则f(x)=—

利用幕函数的性质可得f(x)=/在(0,+8)上单调递减，故正确；

11_

对于c,若1=5,则〃x)=/=6,

此时函数的定义域为［0,+8),故正确；

11

对于D,若1=5,则/(同=q=五,

设g(x)=y=石-COSJ;,

当时，Vx-cosx＞故此时不会有零点；

当04妇］时，y=«单调递增，y=c。"单调递减，所以g(x)单调递增，

且8(0)=-1＜0送图=电-鹏＞0,

TT

由零点存在定理可得在。，5仅有一个零点,

综上，函数y=/(x)-co&r只有一个零点，故正确

故选：BCD

11.下述正确的是()

A.若xeR,则x(10-x)的最大值是25

B.若x>0,则一/+苫-4的最大值是一3

X

C.若则sinx+J-的最小值是4

k2」sinx

D.若则与+———t的最小值是12

\2.)sm-xcos_xcosx

【答案】ABD

【分析】根据基本不等式判断各选项.

【详解】选项A,x40或xNlO时，x(10-x)<0,因此最大值在0<x<10时取得，此时

x(10-x)<(—尸)？=25,当且仅当=5时等号成立，A正确；

—A1*2_+1_AY_4444

选项B,=-(x+-)+l，由于x>0,x+->4,当且仅当x=?即x=2时等号成立，所以

XXXX

-A-'^4<-4+1=-3,最大值为-3,B正确；

X

7T44

选项C,x£(0,—],0<sinx<l,sinx+------>4,当且仅当sinx=------即sinx=2时等号成立，由

2sinxsinx

于0<sinx〈l等号不成立，C错误;

选项D,则Ovsinxvl,()<cosx<l,

9249114

.+-----2--------=-2+----2~+-----2--------

sin2xcos'xcosxsinxcos~xcosxcosx

,911,

=(sin2x+cos~9x)(——z—+———)+(--------2)“一4,

sinxcosxcosx

.22、/91、s9cos2xsii?xJ9cos21sin2x

(zsin2x+cos2x)(——+——)=10+——--+——>10+2J——--------—=16,

sinxcosxsinxcos~xVsimcos'x

当且仅当竺卫=包上£，即cosx=：时等号成立，

sinxcosx2

(--------2)2在---=2即cosx=—时，取得最小值0»

cosxCOSX2

14924

综上，cosx=二即x=二时，——I-----2-----------取得最小值16+0—4=12,D正确.

23sin-xcosxcosx

故选：ABD.

12.己知函数/(x)的定义域为(O,+8)J(x)+/(y)=/(号)+1,当x>l时，/(%)>1,则()

A./(1)=1B./(/(2))<1

C.f(x)是增函数D.当0<x<l时，/(%)<1

【答案】ACD

【分析】对A、B：根据题意直接赋值运算求解；对C：根据题意结合单调性的定义分析证明；对D：

根据题意结合函数单调性分析运算.

【详解】对A：令x=y=l,可得+解得=A正确；

对B：•.•当x>l时，/(x)>l,则/(2)>1,

.,./(/(2))>1,B错误；

对C：令>0产=上>0,可得+f三］=/(马)+1，即f(5)-/(々)=1-/—，

设a>占>0,则个>1,可得/仁)>1,

则〃—<。，即/&)</(巧),

7

故函数f(x)在(0,+8)内单调递增，C正确；

对D：；函数/(x)在(0,+8)内单调递增,

故当0<x<l时，/(x)</(l)=l,D正确.

故选：ACD.

三、填空题

5

13•计算：igi00-(27)=-----------

【答案】-1

【分析】根据对数的定义，'暴的运算法则计算.

\_I

5235

【详解】lg100-(27)=lgl0-(3)=2-3=-l-

故答案为：-1.

14.已知。为坐标原点，点P的初始位置坐标为,线段0P绕点。顺时针转动90后，点尸所

在位置的坐标为

【答案】

【分析】设点尸在角a的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得cosa=」,sina=^，再根据题

22

意可知转动后点尸在角a-90的终边上，且OP=1,根据诱导公式求出即可;

【详解】设点P在角a的终边上，又P,则cosa=g,sina==1,

线段OP绕点。顺时针转动90后，此时点尸在角a-90的终边上，且|。H=1,

所以此时点P的横坐标为cos(a-90)=sina=等，纵坐标为sin(a-90)=-cosa=-；,即P点坐

标为—2'•

故答案为:

15.若tana=2,则sin'a+sinacosa-cos,a=.

【答案】1

【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式化弦为切求解.

【详解】由tana=2可得

sin4a+sinacosa-cos4a=Isin2a-cos1aj（sin2a+cos%）+sinacosa

.?sin%-cos%+sinacosatan%-1+tana,

=sin2a-cosa+sinacosa=-----------；---------2----------=----------；----------=

sin“a+cosatana+1

故答案为：1

16.已知函数=若夕«—兀,兀）,/2/2—8sinf0——1/+3\在，£（0,+oo）时恒成立，则

2+3I3J5

e的取值范围是.

【答案】

【分析】先利用复合函数的单调性判断了(X)是单调递减函数且则题意可转化成

/_4sin(8-+1>0,。e(-兀,兀)在fe(0,+W)时恒成立，设g(f)="-4sin(6-+1,对称轴为

r=2sin(0-1l分两种情况即可求解

【详解】因为〃力=芸七7

因为y=2+3”是单调递增函数，且y=2+3'w(2,y),

所以根据复合函数的单调性性质可得/(x)是单调递减函数，而/⑴=-(

所以f2『-8sin(e-］)+3<—：=7'⑴,Oe(-兀，兀)在re(O,E)时恒成立可转化成

2厂—8sin(。-+3>1,8e(―兀,兀)在fw((),+<»)时恒成立，

可整理得「—4sin(e—§)+1>0,6e(—兀,兀)在，e(0,+oo)时恒成立，

设g(f)=f2-4sin(e-0+l

当一4sin(夕一］)20时，8(。=产-4411(夕一］〉+1的对称轴为£=2411(6-1)40,

此时，当"0,g(r)>g(o)=i>o恒成立,满足题意,

所以由一4sin(e-/)20可得sin(e-g)40,所以一兀+2E442E,kwZ,

2兀

解得-§兀+2E«。41+2E，%£Z,

因为6«—兀,兀),所以-与4W；

当一4sin(8—1］<°，g(。=产一4sin(8-1>+1的对称轴为t=2sin(9一］)>0,

则△=16sin2(，_g)_4<0,解得0<sin(9-1)<g,

JT7TSjTJT

所以2E<9——<—+2kn或一+2E<0——<兀+2kit,keZ,

3663

TTTT77r47r

所以—F2ATT<夕<—F2AJT或1-2E<。<---F2kit,kGZ,

3263

因为6£(一兀，71),所以g<e<£或一¥<。v-?，

3263

综上所述，6的取值范围是(-系仁)

故答案为：

【点睛】关键点睛：这道题得到『-4sin(9-1>+l>0,，«-冗㈤在/«(),”)时恒成立后，关键是

讨论对称轴/=25皿卜-1)是否在re(O,y)内，

四、解答题

17.已知全集为斐M=[-Z2],N={加4%。2}.

⑴求M&N)；

(2)若。={%|1-2a4x4a},且C=M=C,求“的取值范围.

【答案】⑴3-24》<0}

(2)[2,-KO)

【分析】(1)利用补集和交集的定义即可求解；

(2)由Cu〃=C可得MqC,然后列出不等式即可.

【详解】(1)因为M=[-2,2],Af={x|0<x<2},

所以务N={x|x<0或x>2},

所以Mc&N)={x|-24x<0}.

(2)因为CuM=C,所以M=

a>1-2a

所以■心2,解得a±2,

l-2a<-2

故。的取值范围为[2,E).

18.已知函数f(X)=x2+(l-〃2)X-〃2.

(1)若VxeR,/(x)>-l,求机的取值范围；

⑵若帆<0,解关于龙的不等式/(x)>0.

【答案】⑴(-3,1)

(2)答案见详解

【分析】(1)根据一元二次不等式在R上恒成立问题运算求解；

(2)分类讨论两根大小解一元二次不等式.

【详解】(1)由/(力=幺,可得幺+(1-%)》-加+1>0对-X/xeR恒成立,

则A=(l-4(-zn+l)3/+2机-3<0,解得-3<〃？<1,

故，”的取值范围

(2)由题意可得：/(x)=x2+(l-/M)x-zn=(x+l)(x-/n),

令y（x）=o,可得产-1或乂="，

对于不等式〃力＞0,则有:

当加＜一1时，不等式的解集为（Y,W）U（-1,+8）;

当m=-l时，不等式的解集为｛xlxH—l｝；

当—1＜切＜0时，不等式的解集为（Y,T）U（〃7,4W）.

19.己知函数/（x）=sin（2x+p）_l,_；＜e＜K是“X）的一个零点.

⑴求0；

⑵若xe[o马时，方程/（x）=加有解，求实数，W的范围.

【答案】（1）-?

O

-3,「

（2）-万，0

【分析】（1）将零点代入计算得。=-£+2版,«eZ,结合得夕=-丁；

6226

兀「兀5兀1（兀、|

⑵先算出2x-六，结合正弦函数性质求出sin2%£』，进一步得

6L66J16八2」

「3-

/（X）G--,0,由题意可知参数范围即为函数值域.

【详解】⑴由题意噌卜也仔+夕卜肛

则0=+2履,2eZ,

6

兀兀兀

一2W，"6

(2)由(1)得，(x)=sin(2x-1J-l,

八兀EllC兀兀5兀

XG0,—,则2x——G——,—

L2『人J666

3

则/(%)€-1,0

/、3

方程/(x)=m有解，则"?e--,0

20.已知函数/（k=1强,（2万一4）+1。8.（5-尤）3＞0且4"）的图象过点「（3,—2）.

⑴求a的值及〃x)的定义域；

⑵求〃x)在上的最大值；

⑶若2“=3"=r(|<f<3),比较/(2/W)与/(3n)的大小.

【答案】(1)。=：，定义域为(2,5)；

(2)最大值是-log?万，

⑶/(2%)</(3〃).

【分析】(1)由/(3)=-2求得。，由对数函数的定义得定义域；

(2)函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；

(3)指数式改写为对数式，然后比较2”,3”的大小，并由已知得出2〃?,3”的范围，在此范围内由TV)

的单调性得大小关系.

【详解】(1)由已知f(3)=log.2+log“2=-2,a=g,

f2x-4>0q,

IA=>2cx<5,定义域为(2,5)；

[5-x>0

(2)/(x)=log,(2x-4)+log」(5-x)=log,(2x-4)(5-x)=log1(-2x2+14x-20),

2222

c7c9Q57.99

-2x2+\4x-20=-2(x--)2+-,3<x<-,贝iJ-4-2(x——)2+-<-,

2222222

95n

所以bgi-<log,(-2x+14x-20)<log,尤=3时取等号，

I2I222

最大值为logIi=Tog2：；

322

(3)2”=3"=(|<f<3),(&产=(%)3"=/,

2m=log拒t,3〃=log桁f,

6=册,班

所以为>3〃，1</<3,则m=log2，<log23,2^<21og23,

77

74

V2>3,所以7>41og23,log23<-,即2m</,

n=log31>log,1,3n>31og,|=log3苧>log,9=2，

，Zo

77

所以2me(2,5),3ne(2,y),

•••”=-2》2+4》-20在（2,2）上是增函数，又y=l°g/在u>0时是减函数，

22

7

.••/（X）在（2Q）上是减函数，

/（2㈤</（3«）.

21.2022年卡塔尔世界杯刚结束不久，留下深刻印象的除了精彩的足球赛事，还有灵巧可爱、活力

四射的吉祥物，中文名叫拉伊卜，在全球范围内收获了大量的粉丝，开发商设计了不同类型含有拉

伊卜元素的摆件、水杯、钥匙链、体恤衫等.某调查小组通过对该吉祥物某摆件官网销售情况调查发

现：该摆件在过去的一个月内（以30天记）每件的销售价格尸（x）（单位：百元）与时间x（单位:

天）的函数关系式近似满足尸（x）=l+：（々为正常数），日销售量。（x）（件）与时间x的部分数据

如下表所示：

X（天）510152530

Q(x)(件)115120125115110

已知第10天的日销售收入为132百元.

⑴求k的值；

⑵给出以下四种函数模型：

①Q（x）=ox+b,②Q（x）=a|x-15|+Z?,③Q（x）=a〃,@2（x）=a-logz,x.

请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（单位：件）与时间X（天）

的变化关系，并求出该函数解析式；

（3）求该吉祥物摆件的日销售收入/（x）（14x430,xeN*）（单位：百元）的最小值.

【答案】（1））=1

⑵选②，C（x）=125-|x-15|（l<x<30,xeN+）.

（3）132百元

【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为132元，代入即可得解；

（2）据所给数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函

数为单调函数，故只能选②，再代入题表数据即可得解：

x+^^+111,1<x<15,%eN+,

(3)由(2)可得〃x)=P(x)2(x)。*，分类讨论求最小值即可.

—--x+139,15<x<30,xeNt.

X

【详解】(1)由题意得尸(10)必0)=(1+a120=132,解得&=1.

(2)由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中

的函数为单调函数,故只能选②,即。(%)"—15|+b.

由题表可得Q(10)=120,<2(30)=110,

15a+/?=110,[a=-\,

即解得<

5。+〃=120,[/?=125,

故Q(x)=125Tx-15|(U<30,xeNj.

110+x,l<x<15,XGN,

(3)由(2)知。(力=125-,一15|二+

140-X,15<X<30,XGN+,

x+—+Hl,l<x<15,xeN+,

/(x)=p(x)e(%)=-X

140

-------X+139J5<X<30,XGN.

x+

当l〈x<15时，尸x+邛在区间［1,«记)上单调递减，在区间［师/5)上单调递增,

...当x=l()时，/(10)=132,当x=U时，/(11)-132,

.•.当x=10,ll时，取得最小值，且〃x)mm=132；

当154x43()时，>=型14-0不是单调递减的，

x

.•.当x=30时，f(x)取得最小值,且〃飞号.

综上所述，当x=10』l时，"X)取得最小值，且〃)讪=132.

故该商品的日销售收入的最小值为132百元.

22.已知函数/(x)=x—hu—l,g(x)