信号与系统课件 第七章 系统函数

第七章系统函数§7.1系统函数与系统特性

系统函数的零、极点分布图系统函数H(·)与系统的因果性系统函数与时域响应系统函数与频率响应一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即A(.)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(.)的极点；B(.)=0的根1，2，…，m称为系统函数H(.)的零点。将零极点画在复平面上得零、极点分布图。例例：已知H(s)的零、极点分布图如图示，并且h(0+)=2。解：由分布图可得根据初值定理，有求：H(s)的表达式。二、系统函数H(·)与系统的因果性因果系统是指：系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应h(t)=0,t<0或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0

离散因果系统的充分必要条件是：单位响应h(k)=0,k<0或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|>ρ0

之前的系统。三、系统函数H(·)与时域响应h(·)

冲激响应或单位序列响应h(·)的函数形式:由H(·)的下面讨论H(·)极点的位置与其时域响应的函数形式:所讨论系统均为因果系统。1．连续因果系统

H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。

（1）在左半平面

若系统函数有负实单极点p=–α(α>0)，则A(s)中有因子(s+α)，其所对应的响应函数为Ke-αtε(t)极点确定。

(b)若有一对共轭复极点p12=-α±jβ，则A(s)中有因子[(s+α)2+β2]Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c)若有r重极点，则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其响应为Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)

以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0→暂态分量。系统函数H(·)与时域响应h(·)

系统的稳定性如何？

系统稳定性问题？

系统的稳定性如何？

系统稳定：若系统对所有的激励|f(.)|≤Mf，其零状态

响应|yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。

（2）在虚轴上

(a)单极点p=0或p12=±jβ，则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)→稳态分量

(b)

r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的

①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其（3）在右半开平面：均为递增函数。

Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)→递增函数

的。即当t→∞时，响应均趋于0。稳定态分量。稳定③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t→∞时，响应均趋于∞。不稳定极点确定。结论复习：s域与z域的关系

z=esT

式中T为取样周期如果将s表示为直角坐标形式s=+j，将z表示为极坐标形式z=ej=eT，=T由上式可看出：s平面的左半平面（<0)--->z平面的单位圆内部（z=<1)s平面的右半平面（>0)--->z平面的单位圆外部（z=>1)s平面的j轴（=0)--->z平面中的单位圆上（z==1)s平面上实轴（=0)--->z平面的正实轴（=0)s平面上的原点（=0，=0）---->z平面上z=1的点（=1，=0）2．离散因果系统

H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。根据z平面与s平面的影射关系，得结论：①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k→∞时，响应均趋于0。稳定

②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。稳定

③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞。不稳定

分析连续系统如果全在左半开平面，则四、系统函数与频域响应

对任意极点和零点，令差矢量其中——差矢量的模——差矢量的幅角代入得例7.1-1粗略画出二阶系统函数的幅频、相频特性。解：上式的零点位于s=0，其极点在代入当从随之变化，得幅频特性曲线、相频特性曲线。由于>0，极点在左半开平面，H(s)在虚轴上收敛。频率响应令得全通函数如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常数，则称该系统为全通系统，其相应的系统函数称为全通函数。以二阶系统为例：二阶全通系统的零点和极点对于jω轴是镜像对称的。其系统函数可写为：幅频相频上述幅频响应为常数的系统，对所有频率的正弦信号都一律平等地传输，因而被称为全通系统，全通系统的系统函数称为全通函数。由以上讨论可知，凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，且所有的零点与极点为一一镜像对称于的系统函数即为全通函数。最小相移函数如有一系统函数：两个极点和，两个零点和，它们都在左半开平面。另一系统函数具有同样的幅频特性，但相频特性不同。

对于具有相同幅频特性的系统函数而言，零点位于左半开平面的系统函数，其相频特性最小，故称为最小相移函数。右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。相应的网络称为最小相移网络。非最小相移函数——右半开平面有零点的系统函数。

任意非最小相移函数都可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积。最小相移全通

§7.2系统的因果性与稳定性一、系统的因果性如果系统满足条件就称此系统为因果系统，否则是非因果系统。连续因果系统的充要条件：因果系统是指：系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)之前的系统。

即收敛域为收敛坐标以右的半平面，换言之，系统函数的极点都在收敛轴Re[s]=的左边。证明：（1）必要性设系统输入，显然，在。这时的零状态响应为，所以，若系统是因果的，则必有。证明了必要性。对任意激励，系统的零状态响应

时，那么当时，上式为零，当时，上式为即时，。证明了充分性。二、系统的稳定性对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，称为有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。系统对于所有激励,有，则称系统是稳定的。例如连续时间系统正指数项随时间增长而不断增大。连续稳定系统的充要条件：证明：（1）充分性

（2）必要性若无界，至少有某个有界输入将产生无界输出。选输入函数于是有。由于令，有表明，若无界，则至少无界。证明了必要性。稳定、因果（连续）H(s)极点都在左半开平面离散稳定系统的充要条件：例7.2-1如图所示反馈系统，子系统的系统函数当常数满足什么条件时，系统是稳定的？解：加法器输出信号系统输出得极点极点在左半开平面