(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理

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[学习目标]1.了解导数和微积分的关系.2.把握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.

学问点一导数与定积分的关系

f(x)dx等于函数f(x)的随意一个原函数F(x)(F′(x)＝f(x))在积分区间[a，b]上的转变量F(b)－F(a).

以路程和速度之间的关系为例解释如下：

假如物体运动的速度函数为v＝v(t)，那么在时光区间[a，b]内物体的位移s可以用定积分表示为s＝v(t)dt.另一方面，假如已知该变速直线运动的路程函数为s＝s(t)，那么在时光区间[a，b]内物体的位移为s(b)－s(a)，所以有v(t)dt＝s(b)－s(a).因为s′(t)＝v(t)，即s(t)为v(t)的原函数，这就是说，定积分v(t)dt等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a，b]上的增量s(b)－s(a).

思量函数f(x)与其一个原函数的关系：(1)若f(x)＝c(c为常数)，则F(x)＝cx；(2)若f(x)＝xn(n≠－1)，则F(x)＝1n＋1·xn＋1；

(3)若f(x)＝1

x，则F(x)＝lnx(x>0)；

(4)若f(x)＝ex，则F(x)＝ex；

(5)若f(x)＝ax

，则F(x)＝ax

lna

(a>0且a≠1)；

(6)若f(x)＝sinx，则F(x)＝－cosx；(7)若f(x)＝cosx，则F(x)＝sinx.学问点二微积分基本定理

普通地，假如f(x)是区间[a，b]上的延续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).思量(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？

(2)用微积分基本定理计算容易定积分的步骤是什么？答案(1)不唯一.

(2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；

②用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；③利用微积分基本定理求出定积分的值.

题型一求容易函数的定积分例1计算下列定积分.(1)3dx；(2)(2x＋3)dx；(3)(4x－x2)dx；(4)(x－1)5dx.解(1)由于(3x)′＝3，

所以3dx＝(3x)???

2

1

＝3×2－3×1＝3.(2)由于(x2＋3x)′＝2x＋3，所以(2x＋3)dx＝(x2＋3x)

???

2

＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.(3)由于????2x2－x

3

3′＝4x－x2，所以

(4x－x2)dx＝

????2x2－x3

3???

3

－1

＝????2×32－33

3－????2×(－1)2－(－1)33＝203.

(4)由于????1

6(x－1)6′＝(x－1)5，所以(x－1)5dx＝16(x－1)6???

2

1

＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16

.反思与感悟(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：①求f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a).(2)注重事项：

①有时需先化简，再求积分；

②若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)＋C(C为常数)也是f(x)的原函数.随着常数C的变化，f(x)

有无穷多个原函数，这是由于F′(x)＝f(x)，则[F(x)＋C]′＝F′(x)＝f(x)的缘故.由于??a

bf(x)dx

＝[F(x)＋C]|ba＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)＝F(x)|ba，所以利用f(x)的原函数计算定积

分时，普通只写一个最容易的原函数，不用再加随意常数C了.跟踪训练1求下列函数的定积分：(1)????x＋1

x2dx；(2)x(1＋x)dx.解(1)????x＋1

x2dx＝??1

2?

???x2＋2＋1x2dx＝??1

2x2dx＋??1

22dx＋??1

21x

2dx＝13x3???21+2x???2

1+????-12???

21

＝1

3×(23－13)＋2×(2－1)－????12－1＝296

.(2)??4

9x(1＋x)dx

＝??4

9(x＋x)dx

＝????23xx＋12x2???

9

4

＝????23×9×3＋12×92－????23×4×2＋1

2×42＝2716

.题型二求分段函数的定积分例2求函数f(x)＝????

?

x3，x∈[0，1)，x2，x∈[1，2)，

2x，x∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.

解由定积分的性质知：

??03

f(x)dx＝??01

f(x)dx＋??12

f(x)dx＋??2

3

f(x)dx＝??01x3dx＋??12x2dx＋??2

32xdx

＝x44???

1

0＋x33???

2

1＋2xln2???

3

2

＝14＋83－13＋8ln2－4ln2＝3112＋4ln2

.反思与感悟(1)分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即根据原函数分段的状况分就可以.跟踪训练2求下列定积分：(1)??0

2|x2－1|dx；(2)???0

π

21－sin2xdx.

解(1)∵y＝|x2－1|＝?

????

1－x2，0≤x＜1，

x2－1，1≤x≤2，

∴??02|x2－1|dx＝??01(1－x2)dx＋??1

2(x2－1)dx

＝????x－x33???

1

0＋????x33－x???

2

1

＝????1－13＋????83－2－????1

3－1＝2.

(2)???0

π

21－sin2xdx

＝???0

π

2|sinx－cosx|dx

＝???0

π

4(cosx－sinx)dx＋?

???

π4

π

2(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)???

π4

＋(－cosx－sinx)????

π

2

π4

＝??

??22＋22－1＋(－1)－???

?－22－2

2＝22－2.

题型三定积分的容易应用

例3已知f(a)＝??0

1(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值.

解∵????23ax3－12a2x2′＝2ax2－a2

x，

∴?

?0

1(2ax2－a2x)dx＝????23ax3－12a2x2???

1

0＝23a－1

2

a2，即f(a)＝23a－12a2＝－12????a2－43a＋49＋2

9＝－12????a－232＋2

9

，∴当a＝23时，f(a)有最大值29

.

反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数举行性质、最值等方面的考查，解题过程中注重体味转化思想的应用.跟踪训练3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，??0

1f(x)dx＝－2，求a、

b、

c的值.

解由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2.①又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0，②而??01f(x)dx＝??0

1(ax2＋bx＋c)dx

＝????13ax3＋12bx2

＋cx???

1

0＝13a＋1

2b＋c，∴13a＋1

2

b＋

c＝－2，③由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.

1.???0

π

4

cos2x

cosx＋sinxdx等于()

A.2(2－1)

B.2＋1

C.2－1

D.2－2

答案C

解析结合微积分基本定理，得

???0

π4cos2x－sin2x

cosx＋sinxdx＝?

??0

π

4(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)???

π

40＝2－1.2.下列定积分的值等于1的是()

A.??0

1xdx

B.??0

1(x＋1)dx

C.??0

11dx

D.??0

112

dx答案C

解析??0

1xdx＝12x2

???10＝12，??0

1(x＋1)dx＝????12x2＋x???10＝12＋1＝32，??0

11dx＝x???

1

0＝1，??0

112

dx

＝12x???

1

0＝1

2.故选C.

3.??0

2?

???x2－2

3xdx＝.答案43

解析??0

2????x2－23xdx＝??0

2x2dx－??0

223

xdx＝x33???

2

0－x23???

2

0＝83－43＝4

3

.4.设函数f(x)＝?

????

x2＋1，0≤x＜1，3－x，1≤x≤2，则??02f(x)dx＝.

答案

176

解析??0

2f(x)dx＝??0

1(x2＋1)dx＋??1

2(3－x)dx

＝????x33＋x???

1

0＋????3x－x22???

2

1

＝176.

5.已知函数f(x)为偶函数，且??06f(x)dx＝8，则??－6

6f(x)dx＝.

答案16

解析由于函数f(x)为偶函数，且??06f(x)dx＝8，所以??－66f(x)dx＝2??0

6f(x)dx＝16.

1.求定积分的一些常用技巧

(1)对被积函数，要先化简，再求积分.

(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有肯定值符号的被积函数，要去掉肯定值符号才干积分.

2.因为定积分的值可取正当，也可取负值，还可以取0，而面积是正当，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积

分的相反数.

一、挑选题

1.函数y＝??0

xcosxdx的导数是()

A.cosx

B.－sinx

C.cosx－1

D.sinx答案A

解析(sinx)′＝cosx，??0

xcosxdx＝sinx???

x

0＝sinx，故选A.2.若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是()A.F(x)＝1

3x3

B.F(x)＝x3

C.F(x)＝1

3

x3＋1

D.F(x)＝1

3x3＋c(c为常数)

答案B

解析若F(x)＝x3，则F′(x)＝3x2，这与F′(x)＝x2不全都，故选B.3.??－4

0|x＋2|dx等于()

A.??－4

0(x＋2)dx

B.??－4

0(－x－2)dx

C.??－4－2(x＋2)dx＋??－2

02(－x－2)dx

D.??－4－2(－x－2)dx＋??－2

0(x＋2)dx

答案D

解析∵|x＋2|＝?

???

?

x＋2，－2≤x≤0，－x－2，－4≤x0，所以f(1)＝lg1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋??0

a3t2dt＝x＋t3

???

a

＝x＋a3，

所以f(0)＝a3.由于f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.三、解答题

11.设f(x)是一次函数，且??0

1f(x)dx＝5，??0

1xf(x)dx＝

17

6

，求f(x)的解析式.解∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则??01

f(x)dx＝??01

(ax＋b)dx＝??01

axdx＋??0

1

bdx＝1

2

a＋

b＝5，??01

xf(x)dx＝??01

x(ax＋b)dx＝??01

(ax2

)dx＋??0

1

bxdx＝13a＋12b＝176

.由???

1

2a＋b＝5，13a＋12b＝176，

得?

????

a＝4，

b＝3.即f(x)＝4x＋3.12.若函数f(x)＝????

?

x3，x∈[0，1]，

x，x∈(1，2]，

2x，x∈(2，3].

求??0

3f(x)dx的值.

解由积分的性质，知：

??03

f(x)dx＝??01

f(x)dx＋??12