专业课全院计算方法总结

计算方法教程总结目录第1章绪论第2章线性代数方程组第3章数据近似第4章数值微积分第5章非线性方程求解第6章常微分方程数值解法第7章最优化方法简介(误差分析基础)(基本工具)(计算方法应用)

第1章

绪论

1.误差:近似值与真正值之差分为模型误差、数据误差、截断误差、舍入误差2.数制表示实数x可以表示以下形式的b进制t位有效数字1j

=

2,

3,,

tltj<

b,

0

£

d

<

b

,d)·

b

,1

£

dx

=

–(

d1

+

d2

+ll1

2

t

1

2t·10

,0.d

d

d

·10

,

x

=

–0.d

d

db

b

2

bt有效数字:

x

=

–若x

-x

£

0.5·10l

-t

,则称x有t位有效数字数系:表示为F

(b,

t,

L,U

),

个数:2(b

-1)bt

-1

(U

-

L

+1)

+1上溢:l

>U下溢:l

<L

第1章

绪论

3.舍入误差:对数进行舍入，得到有t位尾数的浮点数fl(x)相对舍入误差:d(x)=x

-fl(x)2d(x)

£

1

b1-tfl(xy)

=

(1-

d2

)(xy)x

xx性质:fl(x

–y)=(1-d1

)(x

–y)fl

( )

=

(1-

d3

)(

)y

y浮点运算的注意事项(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数参加运算；(2)避免“大”“小”数相加减；

(3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失；

(4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数。

第1章

绪论

5.方法的稳定性数值稳定:若初始误差导致最终解的误差能被有效地控制数值不稳定:若初始误差导致最终解的误差不能被有效地控制6.算法由有限个无二义性法则组成的一个计算过程4.问题的性态:问题的解对原始数据扰动的敏感性病态问题:数据相对小的扰动引起解的相对大的变化良态问题:数据相对小的扰动不会引起解的相对大的变化条件数:当输入数据具有dx引起问题的结果d

f

(x)dx则cond

(f

)=sup

d

f

(x)算法的特点,描述

第1章

绪论

例.x

=2.718281828…,x1

=2.71828325,则x1的有6位有效位数若fl(x)=2.7182818225,则有7位有效位数例.在F

(10,5,-2,3)中有多少个数?例.若桌子长为100cm,宽为50cm,实测长为102cm,宽为51cm,(61,113

-

8

)

,6

,19601-

6930

8,

19601+

6930

8(3

+

8

)

3求面积的相对误差

3-8

例.下列各式均与

3+

8

等价,在浮点数系F(10,5,-10,10)中哪个公式能获得最准确的结果:(17-68)3

,(17+6

8)3

第1章

绪论

例.证明在浮点数系F

(b,t,L,U

)中,浮点数的相对误差d(

X

)

=

x

-

fl(x)x

2满足d(X

)£

1

b1-tld1

d2

d3

dtdt

+1证明:设x

=

–(

+

+

+

+ +)·

bb

b

2

b

3

bt

bt

+1这里1

£

d1

<b,0

£

d

j

<b

(j

=2,3,...)

第1章

绪论

3

46(x

-1)3x

-1(x

-1)2例.为了使计算y

=10

+

+-的乘除法次数尽可能少,应将该式改写为

例.在浮点数系下,计算x2

-16x

+1

=0的两个根,应如何计算才能使精度较高？例.对于函数f(x)在某个区间上连续可微,则求f(x)的近似条件数

第2章

线性代数方程组

GG分解,追赶法Gauss解法列主元Gauss解法数值解法矩阵分解法:LU分解,LDU

分解,Jacobi迭代法迭代解法

Gauss-Seidel迭代法线性方程组解法)3n3Gauss消去法:消去的时间复杂度o(n3

),回代:o(n2

)列主元Gauss消去法:消去的时间复杂度o(n3

),回代:o(n2

)LU

分解:L

:单位下三角阵,U

:上三角阵,时间复杂度o(n3

)LDU

分解:L

:单位下三角阵,D

:对角阵,U

:上三角阵,时间复杂度o(GG分解:针对对称正定矩阵,o(n3

/6),加n个开方运算带状矩阵分解:三对角阵分解,追赶法

第2章

线性代数方程组

范数:定义,性质.向量与矩阵范数的相容性,等价性方程组的条件数:m

=cond

(A)=A

A-1£

(

A)A-1x*x

-

x*(1)当右端向量有扰动DbbDbx*x*

-

x(2)当系数矩阵有扰动DAAx*£

Cond

(

A)

x

DA其中k

=

cond

(

A)

=

A-1

A(3)当系数矩阵有扰动DA,右端向量有扰动DbkxbAADA

£+1-

kx

-

x

Db

DA

第2章

线性代数方程组

迭代算法:构造,收敛判断G

=

D-1

(E

+

F

)

=

I

-

D-1

Ad

=

D-1bJacobi:-1G

=

(D

-

E)-1

Fd

=

(D

-

E)

bGauss-Seidel:收敛性判定TH2.6 G

<1,则迭代格式收敛TH2.7

A为严格对角占优,Jacobi格式收敛TH2.8

A为严格对角占优,Gauss

-Seidel格式收敛TH2.9

A对称正定,

Gauss

-

Seidel收敛;

2D

-

A对称正定,

Jacobi收敛TH2.10

迭代格式x(k

+1)

=

Gx(k

)

+

d收敛的充要条件为

G

<1TH2.11

迭代的误差估计式

第2章

线性代数方程组

10

1¥=

,

A

=

1

4

1-

2例:矩阵A=

1

3

,则A-1

=

,

A0

0

111且对角元均为正,问a的取值范围,并请按此要求将此a分解1

例:若矩阵A

=

1

2

12

a

可以分解为GGT的形式,其中G为下三角阵,aP36,

P37

第2章

线性代数方程组

5x1

-

2x2

+

x3

=101

2

3

2x

+

4x

+

6x

=

-5

1

2

3的Jacobi迭代格式,Gauss

-Seidel格式的收敛性.例:

考查方程组

-2x

+

4x

+

2x

=

251

2

3

1

2x1

-

2x23例:

设x

=

(

x

,

x

,

x

)T

,则

x

+

2x+3x3

是否是范数+3x

是否是范数,

第3章

数据近似

多项式插值分段三次样条插值Lagrange插值连续多项式插值Newton插值多项式插值Hermit插值分段一次插值分段多项式插值分段二次插值最小二乘近似数据近似

第3章

数据近似

多项式插值

f

(x)

=

pn

(x)

+

Rn

(x)TH

3.1经过给定插值点的插值多项式唯一ni=0Ln

(x)

=

li

(x)

yiLagrange插值w

(x)w

(x)

=(x

-

xi

)nil

(x)

=i

ii=0w

¢(x

)(x

-

x

)Newton插值Nn

(x)

=

y[x0

]

+

y[x0

,

x1

](x

-

x0

)

+

y[x0

,

x1

,

x2

](x

-

x0

)(x

-

x1

)++y[x0

,

x1

,

x2

,,

xn

](x

-

x0

)(x

-

x1

)(x

-

xn

)=

Nn-1

(x)

+

y[x0

,

x1,

x2

,,

xn

](x

-

x0

)(x

-

x1

)(x

-

xn

)差商性质1,对称性y(k

)

(x)差商性质2,y[xi

,xi+1,...,xi+k

]=,x

˛

[xi

,

xi+k

]k

!

第3章

数据近似

Hermit插值

计算带导数条件的插值多项式利用性差商性质2,使用Newton插值多项式的方法y(k

)

(x

)k

!y[x,

x

,...,

x

]

=

i

i

i

ik

+1个x

˛

[x0

,

xn

]y(n+1)

(x)插值多项式的误差TH

3.2

Rn

(x)

=

y(x)

-

Pn

(x)=

y[x0

,

x1,...,

xn

]w

(x)=

w

(x)(n

+1)!

第3章

数据近似

分段插值多项式21

2218TH

3.3

E(g

)

£

M

Dia£x£bM

=

max

y

¢(x)ii-1D

=

max

x

-

x分段一次多项式的误差32

33112TH

3.4

E(g

)

£

M

Dia£x£bM

=

max

y

¢(x)ii-1D

=

max

x

-

x分段二次多项式的误差22212TH

3.5

y(x)

-

s(x)

£

M

Dia£x£bM

=

max

y

¢(x)ii-1D

=

max

x

-

x分段三次样插值多项式的误差

g1

(x1

)21a1n

a1

b1

1

2n

22

m

g

(x

)g

(x

)

g

(x

)

1

mg

(x

)n

m

g

(x

)

或法方程

GT

Ga

=

GT

y可以证明,最小二乘问题的法方程总有解存在.a

=(GT

G)-1

GT

y

aa

b

2n

2

2

=

G

=

aa

b

n1

n

2nn

n

n

a

a

a11

a1222

a

a得到方程组g2

(x1

)

gn

(x1

)

g

(x

)

2

21/

2

第3章

数据近似

最小二乘法给定数据点{(xi

,yi

}(i

=1,2,...,m)和一组函数gk

(x)(k

=1,2,...,n),求系数a1

,a

2

,...,an

,(假定m

>n),使函数p(x)

=

a1

g1

(x)

+a

2

g2

(x)

++an

gn

(x)22m满足

E

=(

p(xi

)

-

yi

)

i=1达到最小QR分解

QG

=

R

G

=

QT

R

O

O

第3章

数据近似

(1)xf

(x)x0y0x1y1x2y2(2)xf

(x)x0y0x1y1x2y2f

¢(x)y1¢xx0x1x2(3)f

(x)y0y2f

¢(x)y1¢例.求满足以下插值条件的插值多项式

第3章

数据近似

例.求不超过四次的插值多项式,满足条件p(0)=

p¢(0)=

0,

p(1)

=

p¢(1)

=1,

p(2)

=1例.求不超过三次的多项式p(x),满足条件p(xi

)=f

(xi),p¢(xi

)=f

¢(xi

),若

f

(4)

(x)

£1

"

x

˛

[1,

2],

求p(x)的误差界x

1

2f

(x)

1

3f

¢(x)

1

-1=0,1,2,...,n,以{(xk

,f

(xk

))}为插值数据点做插值多项式pn

(x),则pn

(x)满足pn

(xk

)=f

(xk

)=试求pn

(n

+1)kxkkx

+1xx

+1例.设f

(x)

=

,

取x

第3章

数据近似

例.设节点x0

,x1,...,xn互异,试证明f

[x0

,

x1

,...,

xn

]

=f

(xi

)ni=0iw

¢(x

)解:由节点x0

,x1,...,xn互异,则Lagrange插值多项式为L(x)

=)

=n

ni

i

iiiw

(x)i=0

i=0l

(x)

f

(x

)

=

f

(xw

¢(x

)(x

-

x

)

f

(xi

)w

(x)ni=0ii(x

-

x

)

w

¢(x

)f

(x)nii=0w

¢(x

)因此,该多项式最高项的系数为:另一方面,由节点x0

,x1,...,xn

,形成的Newton插值多项式为N

(x)

=

y0

+

y[x0

,

x1

](x

-

x0

)

+

y[x0

,

x1,

x2

](x

-

x0

)(x

-

x1

)

++

y[x0

,

x1,,

xn

](x

-

x0

)(x

-

x1

)(x

-

xn-1

)该多项式最高项的系数为:y[x0

,

x1,,

xn

]

因此得证

第3章

数据近似

nn0

1

n=

(-1)

x

x

xii=0i

il

(0)xn+1例.设x

(i

=

0,1,,

n)为互异实数,

试证明n其中li

(x)为Lagrange插值多项式证明:构造lagrange插值多项式,有f

(x)

=

li

(x)

f(xi

)

+

Rn

(x)i=0ninl

(0)xn+1n+1i=0+

R

(0)

i取f

(x)

=

x

,

f

(0)

=

0

=f

(n+1)

(x)Rn

(x)

=

(n

+1)!

w

(x)

=

w

(x)

=

(x

-

x0

)(x

-

x1

)(x

-

xn

)R

(0)

=

(-1)n+1

x

x

xn

0

1

n得证

第3章

数据近似

例.设f

(x)

=

2x3

-

3ax

+

4(a为实数),则差商f

[1,

2,

3]

=

,f

[0,1,

2,

3]

=

,

f

[0,1,

2,

3,

4]

=

例.设f

(x)=x3

+2

px2

+5qx

+c(p,q,c均为实数),若差商f

[1,2,m]=0,则

f

[0,1,

m]

=

例.设f

(x)=2009x5

+2007x3

+2006x

+2005,则以-2,-1,0,1,2为插值节点的不超过四次的插值多项式L4

(x)=

例.给定以下的数据点,利用插值多项式,计算f(x)在2到3之间的根的近似值x

1

2

3

4f

(x)

-1.5

-0.2

0.3

0.7

第3章

数据近似

例.设f

(x)在[a,b]区间上有三阶连续导数,x0

,x1

˛

[a

,b

]有相应的插值多项式00

10

1

0

101(x

-

x

)(x

-

2x

+

x

)

(x

-

x

)(x

-

x

)

(x

-

x

)2p(x)=-

1

0 1

f

(x

)

+

0 1

f

¢(x

)

+

0

f(x)(x

-

x

)2试求此插值多项式的余项R(x)=f

(x)-p(x)的表达式x

-

x(x

-

x

)2解:由于p(x0

)

=

f

(x0

)

,

p(x1

)

=

f

(x1

)

,因此插值多项式的余项公式为:R(x)

=

f

(x)

-

p(x)p¢(x0

)

=

f

¢(x0

)0

0

1

0

1=

f

[x

,

x

,

x

,

x](x

-

x

)2

(x

-

x

)20

116f

¢(x)(x

-

x

)

(x

-

x

)x

˛

[a,

b]=

第3章

数据近似

f

(x)-

p

-

p

p

p4

6

6

4-1.06

-0.567

1.43

1.77x例.已知函数f(x)有以下测试数据求形如p(x)=Asin

x

+B

cos

x最小二乘近似解:构造法方程0.707

-1.06

-0.707

-0.567

ppp

p

Asin(-p

4)

+

B

cos(-p

4)

»

-1.06

Asin(-p

)

+

B

cos(-p

)

»

-0.567

6

6

Asin(

6)

+

B

cos(

6)

»1.43

Asin(

4)

+

B

cos(

4)

»1.77

»

-0.5 0.866

A0.5 0.866

B

1.43

0.7070.707

1.77

-0.7070.707

-1.06

-0.567

0.866

-0.50.5 0.866

0.7070.707

y

=

1.43

1.77令G

=

,得法方程

第3章

数据近似

-0.7070.707

-0.7070.866

A

.707

0.7070.707

-1.06

-0.707=

.707

1.77-.500

.500 .707

-0.5.866

.866 .707

0.50.866

B

-.500

.500 .707

-0.567

.866

.866 .707

1.43

A

=0 2.50

B

1.25

即1.50

0

3

2.00

B

=

.500

因此

f

(x)

=

2

sin

x

+

0.5

cos

x

A

解得

第3章

数据近似

例.已知函数f

(x)有以下测试数据x01.4452.8904.3355.780y1.84192.963318.23698.7410529.2178求形如p(x)=aeb

x的最小二乘近似函数解:对p(x)两边求对数,有ln

p(x)

=

ln

a

+

bx令f

(x)=ln

p(x),A

=ln

a

,B

=b,则最小二乘函数变为f

(x)

=

A

+

Bx相应的数据x01.4452.8904.3355.780ln

y0.61071.08632.90344.59256.2714构造法方程.下略

第4章

数值微积分

复化梯形公式

(二阶)梯形公式

(m

=1)Newton

-Cotes公式Simpson公式(m

=3)Cotes公式

(m

=

5)复化Cotes公式

(六阶)复化求积公式复化Simpson公式(四阶)数值积分等矩结点不等矩结点:Gauss型求积公式,利用正交多项式进行构造Th4.9(构造方法)TH

4.11

TH4.124-39计算系数 4-40计算误差Romberg积分:利用低精度的求积公式,构造高精度的公式待定系数法:利用代数精度的定义求得最高代数精度的求积公式P135.4

-

7

Th4.1P136.4

-8

Th4.2P136.4

-

9

Th4.3P140.4

-13

Th4.4P140.4

-14

Th4.5P140.4

-15

Th4.6

第4章

数值微积分

[

]0

10

0

1012112h

212hhh2h2

f

¢(x

)

=

1

[f

(x

)

-

f

(x

)]+

1

f

¢(x)(x

-

x

)

f

¢(x

)

=

[f

(x)

-

f

(x

)]-

f

¢(x)(x

-

x

)1

1

0

1

0f

¢(x2

)=[

]00

1

2

12f

(4)

(x

)(4)(4)012

1h23h2h26

1

f

¢(x0

)

=

2h

[-3

f

(x0

)

+

4

f

(x1

)

-

f

(x2

)]+

3

f

¢(x)f

(x2

)2f

¢(x)1h26h2f

¢(x

)

=

[f

(x

)

-

2

f(x

)

+

f

(x

)]-

hf

¢(x

)

+1h

1一阶导数公式

f

¢(x1

)

=

2h

[-

f

(x0

)

+

f

(x2

)]-

6

f

¢(x)f

(x

)

+

4

f

(x

)

+

3

f

(x

)

+

1f

¢(x2

)

=f

(x

)

-

2

f

(x

)

+

f

(x

)

+

hf

¢(x

)

+二阶导数公式

f

¢(x1

)

=

h2

[f

(x0

)

-

2

f

(x1

)

+

f

(x2

)]-

12

f

(x)两点公式数值微分

三点公式待定系数法:利用Taylor公式可求得最高计算精度的微分公式

第4章

数值微积分

例.试导出中矩形公式,并给出其误差公式f

(x)dx

=

(b

-

a)

fa

+

b2ba

0f

(x)dx

»

A0

f

(0)

+

A1

f

(h)

+

A2

f

(2h)例.确定以下公式中的系数,使其具有尽可能高的代数精度2h(1)1-112

2f

(x)dx

»

A

f

(-

1

)

+

A

f

(0)

+

A

f

(

)1

2

3(2)1f

(x)dx

»

A1

f

(x1

)

+

A2

f

(x2

)-1(3)

第4章

数值微积分

例.设{jk

(x)}是定义在区间[a,b]上的关于权函数r(x)的正交多项式族,证明:bkak

=1r(x)

f

(x)dx

»

kn+1(1)

当0

£

k,j

£

n,k

„j时,

Akjk

(xi

)j

j

(xi

)=0i=1节点xi

(i

=1,2,...,n

+1)为jk

+1

(x)的零点,li

(x)为以{xi

}为节点的Lagrange插值基函数.n+1A f

(x

)为高斯型求积公式.n+12k

=1(2)r(x)lk

(x)l

j

(x)dx=

0,

k

„

j(3)r(x)dxbabbkr(x)l

(x)dx

=aa

第4章

数值微积分

例.确定如下的数值微分公式的系数,使其对尽可能高次的多项式精确成立f

¢(x0

)

»

A0

f

(x0

)

+

A1

f

(x0

+

h)

+

A2

f

(x0

+

2h)并给出误差表达式10S2

=

0.47117,

S4

=

0.47446,

S8

=

0.47612,则S8的误差近似为

例.按照复化Simpson公式计算

f

(x)dx的数值微分值为S1

=

0.45675,

第5章

非线性方程求解

f

(x(k

)

)x(k

)

-

x(k

-1)f

¢(x(k

)

)x(k

+1)

=

x(k

)

-f

(x(k

)

)f

(x(k

)

)

-

f

(x(k

-1)

)(

k

+1)

=

x(k

)

-简单迭代法x(k

+1)=j(x(k

))迭代法Newton迭代法x非线性方程求解割线法区间法:二分法收敛性TH

5.1

(1)

"

x

˛

[a,

b],j(x)

˛

[a,

b](2)

j(x)

-j(

y)

£

q

x

-

y0

<

q

<1TH

5.2j¢(x)

£

s

<1[j

(x)

-

lx]11-

l取l

»j¢(x*

),构造y

(x)=收敛性的改善

第5章

非线性方程求解

f

(a)

f

(b)

<

0f

¢(x)不变号,且f

¢(x)„0f

¢(x)不变号f(x0

)

f

¢(x0

)

>

0TH

5.4Newton迭代格式的收敛性x(k

)

-

x*收敛速度x(k

+1)

-

x*若limk

fi

¥=p

„0,则称收敛速度为p阶收敛

第5章

非线性方程求解

例.方程x3

-x2

-1

=0在1.5邻近有根x*

,讨论迭代格式x(k

+1)=(x(k

)-1)-1/2的收敛性解:令j(x)=(x

-1)-1/2取区间[1.4,1.6]21

(x

-1)-3/

2j¢(x)

=-有x*

˛

[1.4,1.6]j

(1.4)

=

-0.216,j

(1.6)

=

0.536j¢(x)>0,即j(x)单调且在此区间上又j

¢(x)=3

(x

-1)-5/2

>04j¢(x)

>

j¢(1.4)

»1.976

>1j¢(x)单调增\

可知

j

(x)

-

x*

=

j

(x)

-j(x*

)

>

j¢(x)

x

-

x*

>

x

-

x*迭代格式j(x)不收敛取l

=j¢(1.5)=-1.414则此迭代格式收敛(x

-1)-1/

2

+1.414x1构造y

(x)

=

[j(x)

-

lx]=1-

l2.414

第5章

非线性方程求解

2

+

2

+

2

++

2

+

2

=

22

+

x(k

)

,

x(0)

=

0例.试用迭代法原理证明limk

fi

¥解:构造迭代格式x(k

+1)=则j(x)=2

+x

,当x

>-2时,j(x)>01j¢(x)

=>0,即j

(x)单调2 2

+

x2

+

0

=

2\

j

(x)

>1j

¢(x)

=-4(2

+

x)5/

2<

0考虑区间x

˛

[0,2],有j

(x)˛

[0,2],由Th5.2知,对任何初始点迭代格式都收敛于不动点x*由方程x

=2

+x

,知其不动点x*

=2因此,x(k

)fi

2\j¢(x)单调减

第6章

常微分方程数值解法

0t

˛

[a,

b]

y(a)

=

y初值问题

y¢(t)=f

(t,y(t))1.数值微分法h22yi+1

=

yi

+

hf

(ti

,

yi

)yi+1

=

yi

+

hf

(ti+1

,

yi+1

)t2iE(t

,

h)

=iy

¢(x

)

=

o(h

)Euler公式h222iE(t

,

h)

=iy

¢(x

)

=

o(h

)后退Euler公式2.数值积分法y¢(t)f

(

y,

y(t))dtif

(t,y(t))dtti+1

y(ti

)

-

y(ti+1

)

=tti

tii+1i+1=

f

(

y,

y(t))

y¢(t)dt

=t

212iy

¢(x

)=

o(h3

)hh3i+1

i

i

ii+1

i+1

i=

y

+

[f

(t

,

y

)

+

f

(t,

y

)]

E(t

,

h)

=

-梯形公式yy(5)

(x

)

=

o(h5

)i90i

i3h5i+1

i-1i-1

i-1i+1

i+1,

y

)

+

4

f

(t

,

y

)

+

f

(t

,

y

)]E(ti

,

h)

=-Simpson公式

y

=

y

+

h

[f

(t

第6章

常微分方程数值解法

Adams公式]k

i-kiiy

(x

)k

+2

(k

+2)E

(t

,

h)

=

rh++

b

fAi+1

i0

i

1

i-1y

=

y

+

h

[b

f

+

b

f显示公式1

k*yi+1

=

yi

+ii*

k

+2E

(t

,

h)

=

r

hiy

(x

)(k

+2)hb

fi+1A

0i-k

+1

+

b*

f

++

b*

f隐示公式3.待定系数法k

kj

=1yi+1

=

a

j

yi+1-

j

+

h

bj

fi+1-

jj

=0当k

>1时为多步法当k

=1时为单步法2i+1

ii

i

i+1

i+1当b0

=0时为显式公式当b0

„0时为隐式公式4.预估-校正公式预估:pi+1

=yi

+hf

(ti

,yi

)Heun方法

h校正:

y

=

y

+

[f

(t

,

y

)

+

f

(t

,

p

)]

第6章

常微分方程数值解法

5.Runge-Kutta法

yi+1

=

yi

+

l1K1

+

l2

K2

++

lm

Km1

i

iK

=

hf

(t

,

y

)K2

=

hf

(ti

+a

2

h,

yi

+

b21K1

)Km

=

hf

(ti

+amh,

yi

+

bm1K1

++

bm,m-1Km-1

)

yi

+1

=

yi

+

K21

i

i=

hf

(ti

+

h

/

2,

yi

+

K1

/

2)K

2变形Euler方法K

=

hf

(t

,

y

)i+12

3

43=

hf

(ti

+

h

/

2,

yi

+

K2

/

2)6i

1i

i=

y

+

1

(K

+

2K

+

2K

+

K

)K

=

hf

(t

,

y

)

1

yRK

4

K2

=

hf

(ti

+

h

/

2,

yi

+

K1

/

2)KK4

=

hf

(ti

+

h,

yi

+

K3

)

第6章

常微分方程数值解法

6.稳定性,稳定域=

0k

kj

=0

j

=0a

j

yi-

j

+

h

bj

fi+1-

jk

kk

-

jk

-

ja

x

+hb

x

=

0

jj

=0

jj

=0特征方程7.边值问题:采用差分法,打靶法

第6章

常微分方程数值解法

例:

用Runge

-

Kutta法计算初值问题

y¢=1-

t

2

-

y2

,

y(0)

=

0,

0

£

t

£1例:使用待定系数法(

)

(

)y

(tn

)=Ahfn-1

=Bhfn

=Chfn-1

=(4)

52(

4)

5h3222

3!

4!nn

nn

n

nh2h3h4y

nn

nh32nh43!ny

+

O(h

)Bhyn¢n

nny

tn+1=

y

t

+

h

=

y

+hy¢+

y