2021年湖南省长沙市沩乌中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021年湖南省长沙市沩乌中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则A. B.C. D.参考答案：C，，所以，所以，选C.2.设是函数的反函数，则成立的的取值范围是

A．

B．

C．

D．

参考答案：A3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=lnx B．y=x2 C．y=cosx D．y=2﹣|x|参考答案：D【考点】3K：函数奇偶性的判断；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】排除法：根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．【解答】解：y=lnx不是偶函数，排除A；y=cosx是周期函数，在区间（0，+∞）上不单调递减，排除C；y=x2在区间（0，+∞）上单调递增，排除B；故选D．【点评】本题考查函数奇偶性的判断、单调性的判断，定义是解决该类问题的基本方法，属基础题．4.在等比数列{a}中，a2=8，a5=64．则公比q为

（

）

A．2

B．3

C．

4

D．

8参考答案：A5.设是第三象限角，且||=，则所在象限是

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略6.复数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：7.设全集，则右图中阴影部分表示的集合为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B8.函数f(x)=(sinx+cosx)2的一条对称轴的方程是(

)参考答案：化简，∴将选项代入验证，当时，取得最值，故选.9.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥S﹣ABCD，如图所示，则其体积为：VS﹣ABCD===．故选：B．10.若抛物线上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为（

）

A．

B．

C．1

D．2参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为正实数且若恒成立，则范围是

．参考答案：12.若已知是奇函数，若且，则

参考答案：313.已知直线的法向量为，则该直线的倾斜角为

．（用反三角函数值表示）参考答案：π-arctan214.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x，则x的取值范围为

.参考答案：15.已知i是虚数单位，则复数

．参考答案：

结合复数的运算法则有：.16.如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为

.参考答案：略17.(选修4—1几何证明选讲）如图，已知是圆的切线，为切点，过做圆的一条割线交圆于、两点，为弦的中点，若圆心在∠的内部，则∠+∠的度数为：

；参考答案：．略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，其中，.(1)若，，求不等式的解集；(2)若是，，1中最大的一个，妆时，求证：.

参考答案：(1)由题意可得，去绝对值，化简可得或，且，所以原不等式的解集是.(2)∵，为，，1中最大的，∴，∴.19.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．20.设函数，的图象在点处的切线与直线平行．

（1）求的值；

（2）若函数，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围．参考答案：（1）由题意知，曲线的图象在点处的切线斜率为3，

所以，又，即，所以．——4分（2）由（1）知，所以，

①若在区间（0，+∞）上为单调递减函数，则在（0，+∞）上恒成立，

即，所以．令，则，

由，得，由，得，

故在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，则，无最大值，在（0，+∞）上不恒成立，故在（0，+∞）不可能是单调减函数——9分

②若在（0，+∞）上为单调递增函数，则在（0，+∞）上恒成立，

即，所以，由前面推理知，的最小值为，∴2a≤1，故a的取值范围是．——————————12分21.在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，，，，，则三棱锥P-ABC外接球的体积为（

）A.100π B. C.125π D.参考答案：B【分析】在三棱锥中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,进而得到三棱锥外接球的直径，得到，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意知，在三棱锥中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径为，即，所以球的体积为，故选B.【点睛】本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22.（本小题满分12分）有甲、乙两个学习小组，每个小组各有四名学生，在一次数学考试中，成绩情况如下表：甲组学生一二三四成绩789298

88

乙组学生一二三四成绩86958296（1）用茎叶图表示两组的成绩情况；（2）分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，求选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上的概率．

参考答案：（1）略;（2）（Ⅰ）茎叶图：略