2022年山东省德州市禹城艺术高级中学高三数学文模拟试卷含解析

2022年山东省德州市禹城艺术高级中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正六边形，在下列表达式①；②；③；④中，与等价的有（

）

A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：D

解析：①；②

③；④，都是对的2.已知函数的最小正周期为，则（

）A．1

B．

C．-1

D．参考答案：【知识点】三角函数的性质C3A解析：因为函数的最小正周期为，所以，则，所以选A.【思路点拨】可先由最小正周期求函数解析式，再代入求所求函数值.3.若,且.则的最大值是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C4.已知直线交抛物线于、两点，则△的形状为（）.A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.前三种形状都有可能参考答案：A5.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别在线段上.以为顶点

的三棱锥的俯视图不可能是（

）参考答案：C6.已知

其中是实数，是虚数单位则()

A.

B.i

C.

D.【知识点】复数的运算

L4参考答案：Ｃ解析：由已知可得，因为是实数，所以，即，故选择Ｃ.【思路点拨】将已知化简可得，利用复数相等实部等于实部，虚部等于虚部，可得，故可得答案.7.设，若是与的等比中项，则的最小值为A．

B．1

C．4

D．8参考答案：C8.（5分）已知函数f（x）=log2x﹣2log2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，则c的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】：抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：把函数f（x）的解析式代入f（x）≤1后，利用对数式的运算性质变形，去掉对数符号后把参数c分离出来，然后利用二次函数求最值，则c的取值范围可求．解：由f（x）≤1，得：log2x﹣2log2（x+c）≤1，整理得：，所以x+c≥，即c≥（x＞0）．令（t＞0）．则．令g（t）=，其对称轴为．所以．则c．所以，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1的c的取值范围是．故选D．【点评】：本题考查了对数型的函数及其应用，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，解答的关键是利用对数函数的单调性去掉对数符号，是中档题．9.下列命题错误的是A.命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题B.命题“R,”否定是“,”C.且，都有D.“若，则”的逆命题为真参考答案：D【分析】对给出的四个选项分别进行判断可得结果．【详解】对于选项A，由逆否命题的定义可得，命题“若则”的逆否命题为“若，则”，所以A正确．对于选项B，由含量词的命题的否定可得，命题“R,”的否定是“,”，所以B正确．对于选项C，当且时，由基本不等式可得．所以C正确．对于选项D，命题“若，则”当时不成立，所以D不正确．故选D．【点睛】由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力．10.已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，1，2} B．{﹣2，﹣1，1} C．{1} D．{1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1=lg10}={x|0＜x≤10}，∴A∩B={1，2}，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），则a=，b=

．参考答案：，．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），利用对数的运算法则与单调性可得：8a==，解出即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），∴log2（8a）==，∴8a==，解得a==b．故答案为：，．12.如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长为

．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】综合题；选作题；转化思想；综合法．【分析】由切割线定理得到AE2=EB?ED=EB（EB+BD），求出EB=5，由已知条件推导出四边形AEBC是平行四边形，从而得到AC=AB=BE=5，BC=AE=3，由△AFC∽△DFB，能求出CF的长．【解答】解：∵AB=AC，AE=3，BD=4，梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，由切割线定理可知：AE2=EB?ED=EB（EB+BD），即45=BE（BE+4），解得EB=5，∵AC∥BD，∴AC∥BE，∵过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，∴∠BAE=∠C，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴EB=AC，∴AC=AB=BE=5，∴BC=AE=3，∵△AFC∽△DFB，∴=，即=，解得CF=．故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．13.甲乙两人做报数游戏，其规则是：从1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报1个数，最多可以连续报6个（如，第一个人先报“1，2”，则另一个人可以有“3”，“3，4”，…“3，4，5，6，7，8”等六种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是．参考答案：1，2【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由条件每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数，可知除去先开始的个数，使得后来两人之和为8的倍数即可．【解答】解：∵至少拿1个，至多拿6个，∴两人每轮总和完全可控制的只有7个，∴把零头去掉后，剩下的就是7的倍数了，这样无论对手怎么拿，都可以保证每一轮（每人拿一次后）都是拿走7个，即先取2个，以后每次如果乙报a，甲报7﹣a即可，保证每一轮两人报的和为7即可，最终只能甲抢到100．故先开始甲应取2个．故答案为：1，2．14.函数的部分图像如图所示，

.参考答案：15.设二元一次不等式组

的图象没有经过区域的取值范围是______________.参考答案：（0，1）（1，2）（9，+∞）16.在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=πx2dx=x3|=．据此类比：将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=．参考答案：π（e﹣1）【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：由曲线y=2lnx，可得x=，根据类比推理得体积V=dy==π（e﹣1），故答案为：π（e﹣1）．【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键．17.给出以下四个命题：①命题；命题.则命题“且”是真命题；②求函数的零点个数为3；③函数（且）与函数（且）的定义域相同；④函数是奇函数．其中不正确的命题序号是__________（把你认为不正确的命题序号都填上）．参考答案：②略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组频数频率第1组[60,70)M0.26第2组[70,80)15p第3组[80,90)200.40第4组[90,100]Nq合计501（Ⅰ）写出M、N、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.参考答案：（Ⅰ）M=13，N=2，p=0.30，q=0.04，

…2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为（人）……6分（Ⅲ）记获一等奖的6人为，其中为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，

………10分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:，，，，，，，，

………12分所以恰有1名女生接受采访的概率.

………13分

19.如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为的正方形，侧面A1ABB1⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=30°．（1）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（2）棱AA1上是否存在一点M，使平面MBC1与平面BDC1所成锐二面角的余弦值为，若存在，求比值，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB⊥AB1，AB1⊥BD，从而AC⊥BD，进而BD⊥平面BDC，由此能证明平面AB1C⊥平面BDC1．（2）分别以AB，AD，AB1x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（1）设AB=，AA1=2，∠B1BA=30°，△ABB1中，AB1==1，∴=BB12，∴AB⊥AB1，∵面AA1B1B⊥面ABCD，∴AB1⊥平面ABCD，∴AB1⊥BD，∵斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为的正方形，∴AC⊥BD，∵AC∩AB1=A，∴BD⊥平面BDC，∵BD?平面ABCD，∴平面AB1C⊥平面BDC1．解：（2）分别以AB，AD，AB1x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（﹣），B（），D（0，，0），C1（0，，1），设棱AA1存在一点M，使平面MBC1与平面BDC1所成锐二面角的余弦值为，且=a，则M（﹣，0，a），=（﹣，0，a），设平面MBC1的法向量=（x，y，z），由，取y=﹣1，得=（a，﹣1，），∵AC⊥平面BDC1，C（1，1，0），∴平面BDC1的法向量==（1，1，0），∴|cos＜＞|===，解得a=．20.已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x﹣2y﹣7=0垂直，求f（x）的单调区间；（2）求证：f（x）≥1恒成立的充要条件是a=1．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x﹣2y﹣7=0垂直，求出a的值，利用导数的正负求f（x）的单调区间；（2）分充分性、必要性证明，即可证明f（x）≥1恒成立的充要条件是a=1．【解答】（1）解：因为，所以f'（1）=1﹣a，所以，解得a=3．令，得x＞3，所以f（x）得单调递增区间为（3，+∞），令，得0＜x＜3，所以f（x）的单调递减区间为（0，3）．（2）证明：①充分性．当a=1时，f（x）=x﹣lnx，，所以当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）上是减函数．所以f（x）≥f（1）=1．②必要性．，其中x＞0．（i）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．而f（1）=1，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜1，与f（x）≥1恒成立矛盾，所以a≤0不满足题意．（ii）当a＞0时，因为当x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数．所以f（x）≥f（a）=a﹣alna，因为f（1）=1，所以当a≠1时，f（a）＜f（1）=1，此时与f（x）≥1恒成立矛盾，所以a=1．综上所述，f（x）≥1恒成立的充要条件是a=1．21.（本小题满分10分）选修4－1：几何