高中数学-3.4基本不等式教学课件设计

3.4基本不等式

数学必修5人民教育出版社

课堂不等式专注学＞＞散心学学习目标：1.借助研究性学习活动，掌握基本不等式的推导方法，明确基本不等式成立的条件；2.能利用基本不等式求代数式或函数的最值，初步学会实际问题的处理方法.学习重点：基本不等式的应用学习难点：基本不等式推导过程及成立的条件研究性学习活动展示研究性学习活动一

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。1.看一看：这会标中含有怎样的几何图形？2.想一想：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？研究性学习活动一：做一做+猜一猜：ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’

=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？找一找：ADBCEFGHba猜一猜：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(a＝b)＝证一证：你能给出不等式的证明吗？证明：

重要不等式：

一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b

时，等号成立.文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：研究性学习活动展示研究性学习活动二研究性学习活动二：做一做+猜一猜②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.ADBEOCab研究性学习活动二：做一做+猜一猜②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab换一换替换后得到：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？试一试证一证证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法证明不等式：特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0

例1.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ABDC用一用基本不等式的实际应用

例1.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x

，CD=y

，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.例1.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x

，CD=y

，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2得

xy≤81当且仅当x=y时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；1.教材第100页练习1.2.3课堂检测一例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即

当x=y,即x=y=40时,等号成立所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.2.教材第100页

练习4课堂检测二适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍