离散型随机变量的方差【 高效备课精研 + 知识精讲提升】 高二数学 课件(人教A版2019选择性必修第三册)

7.3.2离散型随机变量的方差第七章

随机变量及其分布复习回顾1.离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.若X服从两点分布，则E(X)=_____p数学期望的线性性质:E(aX＋b)=__________aE(X)＋b2.求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定随机变量取值(2)求概率(3)写分布列(4)求均值新课导入随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.新知探究：离散型随机变量的方差与标准差的概念问题1从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.如何评价这两名同学的射击水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通过计算可得，由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.E(X)=8；E(Y)=8

新知探究：离散型随机变量的方差与标准差的概念问题2怎样刻画离散型随机变量取值的离散程度?（如何比较离散程度）为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.O678109P0.10.20.30.4O678109P0.10.20.30.4

比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.追问：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度?新知探究：离散型随机变量的方差与标准差的概念我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的，所以我们可以用能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度.

样本的方差

：随机变量的方差

Xx1x2∙∙∙xnPp1p2∙∙∙pn

Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn设离散型随机变量X的分布列如下表所示.随机变量X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方为(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，‧‧‧，(xn－E(X))2.所以偏差平方的平均值为(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋‧‧‧＋(xn－E(X))2pn.新知探究：离散型随机变量的方差与标准差的概念

一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X).随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.概念生成离散型随机变量的方差：分别计算两位同学的方差?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03已知：E(X)=8；E(Y)=8∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.问题1从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.证明：讲解新知问题3

离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化?离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化?它们和期望的性质有什么不同?新知探究：离散型随机变量的方差的性质

方差的性质：一般地，可以证明下面的结论成立：解：1.已知随机变量X的分布列为X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).课本70页巩固练习例1抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.解：随机变量X的分布列为典例解析典例解析例1抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.解2：随机变量X的分布列为(1)写分布列(2)求均值E(X)(3)求方差D(X)说明:方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．典例解析例2

投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3投资哪种股票的期望收益大?(2)投资哪种股票的风险较高?

分析：如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小大小反映了投资风险的高低.典例解析股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3∵E(X)>E(Y),∴投资股票A的期望收益较大.解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,

E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以投资股票A比投资股票B的风险高.解:(2)股票A和股票B投资收益的方差分别为D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6−1.12=1.29,

D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3−12=0.6.

随机变量的方差是一个重要的数字特征,它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度,或者说反映随机变量取值的离散程度.在不同的实际问题背景中,方差可以有不同的解释----（1）如果随机变量是某项技能的测试成绩,那么方差的大小反映了技能的稳定性;（2）如果随机变量是加工某种产品的误差,那么方差的大小反映了加工的精度;（3）如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小大小反映了投资风险的高低.决策问题概念解读3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位:cm)的分布列如下:甲班的目测误差分布列X－2－1012P0.10.20.40.20.1先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断.乙班的目测误差分布列Y