2023届甘肃省高三下学期理数二模试卷及答案

高三下学期理数二模试卷一、单项选择题1.集合，集合，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

2.复数满足，那么复数的虚部为〔

〕A.

B.

C.

-1

D.

13.函数，那么函数的图象为〔

〕A.

B.

C.

D.

4.双曲线(，)的渐近线方程为，实轴长为2，那么为〔

〕A.

-1

B.

C.

D.

5.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，假设直线与平面不存在公共点，那么三角形的面积的最小值为〔

〕A.

B.

1

C.

D.

26.某地以“绿水青山就是金山银山〞理念为引导，推进绿色开展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：苗木长度(厘米)384858687888售价(元)24由表可知，苗木长度(厘米)与售价(元)之间存在线性相关关系，回归方程为，那么当苗木长度为150厘米时，售价大约为〔

〕A.

33.3

B.

35.5

C.

38.9

7.数列的前项和为，假设点在函数的图象上，那么〔

〕A.

2021

B.

4041

C.

4042

D.

40438.，，均为锐角，且，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

9.中国古代制定乐律的生成方法是最早见于?管子·地员篇?的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫､徵(zhǐ)，商､羽､角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.假设五音中的“宫〞的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽〞的律数为〔

〕A.

72

B.

48

C.

54

D.

6410.数列的前项和为，且，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

11.过抛物线焦点的直线与抛物线交与，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，假设线段的中点为，且线段的长为4，那么直线的方程为〔

〕A.

B.

C.

或

D.

或12.函数，，假设经过点存在一条直线与图象和图象都相切，那么〔

〕A.

0

B.

-1

C.

3

D.

-1或3二、填空题13.平面内单位向量，，满足，那么=________.14.假设实数，满足约束条件，那么取最大值4时，的最小值为________.15.孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法.问题最早可见于南北朝时期的数学著作?孙子算经?卷下第二十六题“物不知数〞问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？它的根本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整数：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整数：2，9，16，23…，那么23就是“问物几何？〞中“物〞的最少件数，“物〞的所有件数可用表示.试问：一个数被3除余1，被4除少1，被5除余4，那么这个数最小是________.16.三棱锥的底面是边长为3的正三角形，面垂直底面，且，那么三棱锥体积的最大值是________.三、解答题17.如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，分别为，的中点.〔1〕证明：平面；〔2〕假设，求二面角的余弦值.18.某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲､乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲､乙两班各40人每天的学习时间(单位：小时)，并将样本数据分成，，，，五组，整理得到如下频率分布直方图：〔1〕将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的列联表：不少于6小时少于6小时总计甲班乙班总计能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？〔2〕此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足，其中等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间的概率.参考公式：，.参考数据①：②假设，那么，.19.圆经过椭圆的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕假设点，是椭圆上异于短轴端点的两点，点满足，且，试确定直线，斜率之积是否为定值，假设是，求出这个定值；假设不是，说明理由.20.的内角，，的对边分别是，，，且.〔1〕求角的大小；〔2〕假设，为边上一点，，且________，求的面积.(从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)21.函数，.〔1〕假设在单调递增，求的取值范围；〔2〕假设，求证：.22.在直角坐标系中，点是曲线：上的动点，满足的点的轨迹是.〔1〕以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线，的极坐标方程；〔2〕直线的参数方程是(为参数)，点的直角坐标是，假设直线与曲线交于，两点，当线段，，成等比数列时，求的值.23.函数，.〔1〕求函数的图象与直线围成区域的面积；〔2〕假设对于，，且时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】，.故答案为：C.

【分析】由不等式的解法求解出不等式的解集，从而得到集合A再由交集的定义即可得出答案。2.【解析】【解答】由，所以复数的虚部为1，故答案为：D

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数的概念即可得出答案。3.【解析】【解答】因为，定义域为，关于原点对称，所以，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以D不正确；因为，所以B不正确；因为，所以A不正确.故答案为：C

【分析】根据题意，由函数的解析式可得，排除B，分析函数为奇函数排除D，再由排除A，即可得答案.4.【解析】【解答】双曲线(，)的渐近线方程为，实轴长为2，得，∴，且，那么，∴.故答案为：C.

【分析】首先由双曲线的简单性质以及条件求出a的值，再由双曲线里a、b、c的关系计算出n的值从而计算出结果即可。5.【解析】【解答】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，

故答案为：C.

【分析】延展平面，可得截面,从而得到以在上，当点与重合时最小，那么三角形的面积最小，求解此时的面积即可.6.【解析】【解答】因为，，所以样本点中心为，又回归直线经过，所以，所以，所以回归方程为，当时，厘米.那么当苗木长度为150厘米时，售价大约为38.9厘米.故答案为：C

【分析】结合条件求出样本中心点的坐标，再把坐标代入线性回归方程计算出，由此得到线性回归方程，结合题意再把x的值代入计算出结果即可。7.【解析】【解答】因为点在函数的图象上，所以，当时，，当时，，又适合上式，所以，所以，故答案为：D

【分析】将点

代入函数解析式，即可得到数列的前n项和公式，然后利用数列通项与前n项和的关系求解数列的通项公式，进而求出结果.8.【解析】【解答】因为，，均为锐角，所以，因为，所以，即，所以，得，因为为锐角，所以，所以.故答案为：A

【分析】由可求，利用同角三角函数根本关系式可求的值，进而根据诱导公式可求

的值.9.【解析】【解答】依题意，将“宫〞的律数81三分损一可得“徵〞的律数为，将“徵〞的律数54三分益一可得“商〞的律数为，将“商〞的律数72三分损一可得“羽〞的律数为.故答案为：B

【分析】根据题中材料分析得出律数变化规律，进行求解.10.【解析】【解答】当时，，得，当时，，所以，即，又，所以数列是首项为，公比的等比数列，所以，，所以.故答案为：B

【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用关系式的应用求出结果.11.【解析】【解答】由得，所以，准线为，设直线的方程为，联立，消去并整理得，恒成立，设、，那么，所以，依题意得、，那么线段的中点，因为，所以，解得，所以直线的方程为：或.故答案为：C

【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式、两点的距离公式，计算可得所求直线方程.12.【解析】【解答】设直线与相切的切点为，由的导数为，可得切线的斜率为，那么切线的方程为，将代入切线的方程可得，解得，那么切线的方程为，联立，可得，由，解得或3，故答案为：D.

【分析】根据题意设直线l与y=

f(x)相切的切点，求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切线的方程，代入A的坐标，求得切点，可得切线的方程，与y联立，运用相切的条件：判别式为0，由此得到求解出方程的解，可得得到a的值。二、填空题13.【解析】【解答】因为为单位向量，所以，因为，所以，所以，所以，得.故答案为：

【分析】此题根据题意将条件进行转化可得，然后两边平方，并结合单位向量的定义进行计算即可得到

的值.14.【解析】【解答】作出可行域如图：联立，得，所以，因为，所以，将目标函数化为斜截式可得，因为直线的斜率为，所以由图可知，当直线经过时，，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：2

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，可得，然后结合根本不等式求得

的最小值.15.【解析】【解答】因为被3除余1的整数有：被4除少1即被4除余3的整数有：被5除余4的整数有：所以这个数最小为.故答案为：19

【分析】分别列出被3除余1，被4除少1，被5除余4的数，找出最小数即可.16.【解析】【解答】因为面垂直底面，那么三棱锥的高即为到AB的距离，设为，，设，在中，，那么，那么，当，即时，，又，那么三棱锥体积的最大值为.故答案为：.

【分析】由题意画出图形，求出A到平面的距离，设，求解三角形可得三角形的面积，换元后利用配方法求最值，再由棱锥体积公式求三棱锥体积的最大值.三、解答题17.【解析】【分析】

〔1〕连接

交

于

点，连接

，

利用中位线定理证明四边形

为平行四边形

，得到

，然后利用线面垂直的判定定理证明

平面

，从而证明

平面

；〔2〕建立适宜的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出两个平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可.18.【解析】【分析】(1)由条件的图表中的数据结合