2023年等差数列的前n项和讲课讲稿

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐等差数列的前n项和讲课讲稿2.2等差数列的前n项和

1．理解并把握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体味等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点)

2．娴熟把握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的联系，能够由其中的随意三个求出其余的两个．(重点)

[基础·初探]

教材收拾等差数列的前n项和

1．等差数列的前n项和公式

2.Sn＝na1＋n(n－1)2d＝d2n2＋??

?

??a1－d2n.

d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且无常数项．

推断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．()(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和Sn.()(3)若数列{an}的前n项和为Sn＝an2＋bn，则{an}是等差数列．()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式．(2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式．

(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√

[小组合作型]

(1)已知等差数列{an}中，a1＝3

2，

d＝－1

2，Sn＝－15，求n和an；

(2)已知等差数列{an}中，S5＝24，求a2＋a4；

(3)数列{an}是等差数列，a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d；

(4)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.

【出色点拨】运用方程的思想，按照已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注重整体代换．

【尝试解答】(1)Sn＝n·32＋n(n－1)2·

?????

－12＝－15，收拾得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，所以a12＝32＋(12－1)×?????

－12＝－4.

(2)设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋5×(5－1)

2d＝24，

即5a1＋10d＝24，所以a1＋2d＝24

5，所以a2＋a4＝2(a1＋2d)＝2×245＝48

5.

(3)由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋n(n－1)

2d，又a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，

所以???

1＋(n－1)d＝－512，①

n＋1

2n(n－1)d＝－1022，②

把(n－1)d＝－513代入②得

n＋12n·(－513)＝－1022，解得n＝4，

所以d＝－171.

(4)由已知可得???

(a1＋d)＋(a1＋4d)＝19，

5a1＋5×4

2d＝40，

解得a1＝2，d＝3，

所以a10＝a1＋9d＝2＋9×3＝29.

等差数列中基本计算的两个技巧：

(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，普通是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注重整体代换的思想．

(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝n(a1＋an)2

结合使用．

[再练一题]1．等差数列中：

(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；(2)an＝8n＋2，d＝5，求S20；(3)d＝1

3，n＝37，Sn＝629，求a1及an.

【解】(1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7，得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128，∴Sn＝n(a1＋an)2＝128×(105＋994)2＝70336.

(2)∵an＝8n＋2，∴a1＝10，又d＝5，

∴S20＝20a1＋20×(20－1)

2×5＝20×10＋10×19×5＝1150.

(3)将d＝1

3，n＝37，Sn＝629代入an＝a1＋(n－1)d，Sn＝n(a1＋an)

2

，得?????

an＝a1＋12，37·(a1＋an)2＝629，

解得?????

a1＝11，

an＝23.

为响应教导部下发的《关于在中

学校实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2022年起用10年的时光，在全市中学校建成不同标准的校内网．据测算，2022年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺当实施，方案每年投入的资金都比上一年增强50万元．那么从2022年起的将来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

【出色点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，因为每年投入资金都比上一年增强50万元，故可考虑利用等差数列求解．

【尝试解答】按照题意，从2022年～2022年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增强50万元，

所以，每年投入的资金依次组成等差数列{an}，其中，a1＝500，d＝50.那么，到2022年(n＝10)，投入的资金总额为S10＝10×500＋10×(10－1)

2

×50＝7250(万元)，

即从2022年～2022年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．

有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的讨论建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：

(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征；(2)是求数列{an}的通项还是求前n项和；(3)列出等式(或方程)求解．[再练一题]

2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔？

图1-2-2

【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为数列{an}，其中a1＝1，a120＝120.按照等差数列前n项和公式得S120＝120×(1＋120)

＝7260.

2

即V型架上共放着7260支铅笔．

[探索共研型]

探索1nnSm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列吗？假如是，它们的公差是多少？

【提醒】由Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1＋md＋a2＋md＋…＋am＋md＝Sm＋m2d，

同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－Sm＋m2d，

所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.

探索2设Sn、Tn分离为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和，那么an

bn与

S2n－1

T2n－1

有怎样的关系？请证实之．

【提醒】an

bn

＝

S2n－1

T2n－1

.

【证实】an

bn

＝2an

2bn

＝

a1＋a2n－1

b1＋b2n－1

＝(2n－1)(a1＋a2n－1)

2

(2n－1)(b1＋b2n－1)

2

＝

S2n－1

T2n－1

.

(1)等差数列{an}的前m项和为

30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；

(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分离为Sn和Tn，已知Sn

Tn＝7n＋2

n＋3

，求

a5

b5

的值．

【出色点拨】(1)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解．(2)利用前n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．

【尝试解答】(1)在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，

S3m－100成等差数列，

∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)a5b5＝2a52b5＝9(a1＋a9)9(b1＋b9)＝S9T9＝6512

.

巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质．

若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列．

(2)项数(下标)的“等和”性质．Sn＝n(a1＋an)2＝n(am＋an－m＋1)2.

(3)项的个数的“奇偶”性质．{an}为等差数列，公差为d.

①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；

S偶S奇＝an＋1

an

.②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；S偶S奇＝n

n＋1.

(4)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．(5)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.

[再练一题]

3．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分离是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求a9

b9

的值．

【解】a9b9＝2a92b9＝a1＋a17

b1＋b17

＝

a1＋a17

2×17b1＋b17

2×17＝S17T17

＝2×17＋13×17－2

＝3549＝57.

探索1将等差数列前n项和Sn＝na1＋2d变形为Sn关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？

【提醒】因为Sn＝na1＋n(n－1)2d＝d2n2＋??

???a1－d2n，

所以当d≠0时，Sn为关于n的二次函数，且常数项为0.

探索2类比二次函数的最值状况，等差数列的Sn何时有最大值？最小值？【提醒】由二次函数的性质可以得出，当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，有最大值，且n取值最临近对称轴的正整数时，Sn取得最值．

在等差数列{an}中，a10＝18，前

5项的和S5＝－15.

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．

【出色点拨】(1)直接按照等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；

(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的办法求解，也可以利用通项公式，按照等差数列的单调性求解．

【尝试解答】

(1)由题意得???

a1＋9d＝18，

5a1＋5×4

2×d＝－15，

得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12.

(2)Sn＝n(a1＋an)2＝12(3n2

－21n)＝

32?????n－722－1478，∴当n＝3或4时，

前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18.

等差数列前n项和的最值问题的三种解法：

(1)利用an：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值．

(2)利用Sn：由Sn＝d

2n

2＋

?

?

?

?

?

a1－

d

2n(d≠0)，利用二次函数配办法求得最值时n

的值．

(3)利用二次函数的图象的对称性．

[再练一题]

4．在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值.

【解】利用前n项和公式和二次函数性质，由S17＝S9得

25×17＋17

2(17－1)d＝25×9＋

9

2(9－1)d，解得d＝－2，

∴Sn＝25n＋n

2(n－1)(－2)＝－(n－13)

2＋169，

∴由二次函数性质，当n＝13时，Sn有最大值169.

1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2

【解析】S8＝8(a1＋a8)

2＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，

又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.【答案】A

2．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于()A．2B．3C．6D．7

【解析】由题意得?????

2a1＋d＝4，4a1＋6d＝20，解得??

?

a1＝1

2，

d＝3.

【答案】B

3．在等差数列{an}中，a1＝2，前三项和为15，则前6项和为()A．57B．－40C．－57D．40【解析】由题意知a1＋a2＋a3＝15，∴3a2＝15，a2＝5，∴d＝a2－a1＝3，∴an＝3n－1，∴S6＝6(2＋17)

2＝57.

【答案】A

4．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝________.【解析】S20＝20·a1＋20×192×d＝20×2＋20×19

2×2＝420.

【答案】420

5．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求通项公式an；(2)若Sn＝242，求n.

【解】(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组?????

a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，

解得?????

a1＝12，

d＝2，

所以an＝2n＋10.

(2)由Sn＝na1＋n(n－1)

2d，Sn＝242，得12n＋n(n－1)

2×2＝242，

解得n＝11或n＝－22(舍去)，所以n＝11.

学业分层测评(五)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、挑选题

1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11

【解析】法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝5(a1＋a5)

2

＝5a3＝5，故选A.

法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，

∴S5＝5a1＋5×4

2d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.【答案】A

2．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()

A.

172B.19

2

C．10

D．12【解析】∵公差为1，

∴S8＝8a1＋8×(8－1)2×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.

∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝1

2，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝19

2.故选B.【答案】B

3．在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n的值为()A．14B．15C．16D．17【解析】S9＝9(a1＋a9)

2＝9a5＝18，所以a5＝2，

Sn＝n(a1＋an)2＝n(a5＋an－4)2＝240，

∴n(2＋30)＝480，∴n＝15.【答案】B

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6

＝13，则S6

S12

等于()

A.310

B.13

C.18

D.19

【解析】由题意S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．

∵S3S6＝1

3.不妨设S3＝1，S6＝3，则S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，故S9＝6，∴S12－S9＝4，故S12＝10，

∴S6S12＝310.【答案】A

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取得最小值时，n等于()

A．6

B．7

C．8

D．9【解析】设公差为d，由a4＋a6＝2a5＝－6，得a5＝－3＝a1＋4d，解得d＝2，∴Sn＝－11n＋n(n－1)

2×2＝n2－12n，∴当n＝6时，Sn取得最小值．【答案】A二、填空题

6．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

【解析】∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋6×(6－1)

2d＝6.

【答案】6

7．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.

【解析】法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋5×42d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a22＝－3，

化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.

法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知5(a1＋a5)

2＝5a3＝10，所以

a3＝2.

所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a22＝－3，化简得a2

2＋2a2＋1

＝0，所以a2＝－1.

公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.【答案】20

8．等差数列{an}的前9项的和等于前4项的和，若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.

【解析】设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1得9×1＋9×8

2×d＝4×1＋4×32×d，所以d＝－16，又ak