2021-2022学年上海市嘉定区高一年级上册学期期中数学试题含答案

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一上学期期中数学试题

一、填空题

1.已知集合'={一132"?T},8=加2},若8=4,则实数加=.

【答案】1

【分析】由题得机2=2加-1,解出值检验即可.

【详解】由题知/=13,2加-1},8={3,〃「},若8=4则/=_1或苏=2加_1,

当病=7时，方程无解；

当m2=2/H-1时，加2-2m+1=0

解得:切=1,

此时/={T，3,l},8={3,1}，符合题意,所以加=1.

故答案为：1.

2.化简：（//产•产,=.

【答案】a

【分析】利用指数幕的运算性质及平方差公式即可求解.

［详解】（『场"".厂—=/2的2*两"32-6

故答案为:仁

Iogi（log2x）=0

3.若8,贝|JX=.

【答案】2

【解析】利用对数的运算性质即可求解.

logi（k>g2X）=0=log|1

【详解】因为22,

所以晦3=1,

所以x=2,

故答案为：2

4.设占，%是方程/+光-3=0的两个实数根，则再2_々+2021=

【答案】2025

【分析】根据韦达定理得到々=-1-再，然后代入计算即可求解.

【详解】因为不，々是方程f+x-3=°的两个实数根，由韦达定理得士+工2=-1,

所以/=-1-％故1；一马+2°21=x,2—(―1—Xj)+2021=x；+*+2022=2025

故答案为：2025.

5.“工，卜中至少有一个小于零”是“》+了<°的条件.

【答案】必要不充分

【分析】根据充分必要条件的定义,判断由““J中至少有一个小于零'是否能推出“x+"°”成立，再

判断由“x+"0”是否能推出“XJ中至少有一个小于零，成立即可

【详解】解:由题知，当'J中至少有一个小于零时，

不妨取x=T>=2,

此时x+N=l,

故“xj中至少有一个小于零,，是“x+y<°的不充分条件，

当》+"°成立时，

则xj中必有负数，

故中至少有一个小于零，

故“XJ中至少有一个小于零，，是“x+N<0的必要条件，

综上:“'J中至少有一个小于零”是“x+><0的必要不充分条件.

故答案为:必要不充分

kx2-Ax+1.

-7------->0

6.设％eR,若对任意xcR,都有V+x+2成立，则上的取值范围为.

【答案】@4)

2,「rJ、/八Ax2-fcv+1八

x+x+2=x+—+—>0--------->0

【分析】由于I2J4恒成立，可以将i+x+2恒成立可转化为

H-kx+l>°恒成立，然后分类讨论即可得到结果.

r+X+2=(XH--|H—>0

【详解】因为I2J4恒成立，

kx2-kx^-\〉0

所以x?+x+2>恒成立可转化为h2-丘+1>°恒成立，

当4=0时，1>0恒成立；

A=（-k^-4k<0

当人时，需要满足卜>°,即。<人<4,

综上：%的取值范围为1°'4）.

故答案为：1°'4）.

21

,—+—=

7.设3"=4=36,则ab

【答案】1

【分析】利用指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质和换底公式进行求解即可.

【详解】解：.•.3"=4〃=36,则。=1呜36/=唾436,

11log,3,、11log4,“

-=---------=----------=log,3—=---------=-------4---=log,4

366a3A6

alog336log336,blog436log436,

21.

•,--+7=210g3+log4=log3+log4=log（3-7x4）=log36=1

ab363636363636.

故答案为：1.

8.设条件P：l°g2（4x-V）有意义，条件4：|x-1<a（a>0）,若P是4的必要不充分条件，则实数

a的取值范围是.

【答案】（°，2）

【分析】先分别求出条件表示的集合48,再由p是q的必要不充分条件，可得集合8是集合

A的真子集，从而可求出实数。的取值范围

【详解】由4-2>o,得00<4,记为"={可℃<4},

由卜_2卜心>0）,得2-a<x<2+a,记为={巾一"x<2+a},

因为p是4的必要不充分条件，

所以集合8是集合A的真子集，

2-a>0a<2

<2+a<4=><a<2

所以［a>0l«>°,解得0<a42,

当“=2时，8={x|0<x<4}=。满足题意

所以实数。的取值范围为（°'2）,

故答案为：（°乂）.

9.某地每年销售木材约20万ml每立方米的价格为2400元.为了减少木材消耗，决定按销售收

5

入的「％征收木材税，这样每年的木材销售量减少5'万心，为了既减少了木材消耗又保证税金收

入每年不少于900万元，则t的取值范围是.

【答案】

【解析】设按销售收入的f％征收木材税时，税金收入为v万元，求得每年的木材销售量

（20-31240（）|20--rI^=2400|20--r|x/%

I2J万掰.每年的销售收入为I2J万元，可得I2），令y?900,

由二次不等式的解法，可得所求范围.

【详解】解：设按销售收入的，%征收木材税时，税金收入为y万元，

/=2400（20-I,x伙=60色-/）

令”900,即60©-产）*900,解得3Q5.

故答案为：[3,5]

【点睛】本题考查一元二次不等式在实际问题中的应用，考查化简运算能力，属于基础题.

10.对于任意实数x,使-—2x2/恒成立，那么我们把"的最大值叫做/-2x的下确界.若实数

12

.-----

6满足必>0且a+b=l,则2a6的下确界为.

9

【答案】2

12

---1—

【分析】由题，下确界即2“b的最小值，求最小值即可.

【详解】因为。+6=1,且成>0,

129

当且仅当6=2。时取等号，所以24十7的下确界为：2.

9

故答案为：2.

产-1+。一。2<0

11.已知不等式组》+2a>l的整数解恰好有两个，求。的取值范围是

【答案】（12]

-x+a-a2<0

【详解】试题分析：不等式组x+2°>l，即x>l-2”，

①当a=l-a时，即a=5时，x无解.

②当a>l-a时，即a>5时，不等式组的解集为(1-a,a),

再根据此解集包含2个整数解，可得l-a<0,且aW2,解得l<a/2.

③当a<l-a时，即a<5时，

若不等式组的解集为(l-2a,1-a),无整数解，不满足题意.

若aVO,不等式组的解集为0,不满足题意.

综上可得，l<aW2,

【解析】不等式的解法

12.对于数集丫={-1/32，覆=,，兑},其中0<占</<看<…<x,,w42,定义点集

y={(S,/)|S€X,fwX},若对于任意([/)€、存在($2出)€丫，使得“2+他=0,则称集合X具

有性质尸.则下列命题中为真命题的是.

①、={-1,1,2}具有性质p；

②若集合X具有性质P,则lex；

1

③集合X具有性质产，若2,则兑=1.

【答案】①②③

【分析】根据已知条件及集合X具有性质户的定义，结合反证法即可求解.

【详解】因为*=所以

y={(-1-1),(1,1),(2,2),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(112),(2,-l),(2j)}；

根据集合X具有性质尸的定义，对于任意@‘)€丫，

若s>0/>0,贝ijs=f或($』)=0,2),或GJ"。』)，

若5=£,取$2=-1，，2=-1,则斜2+〃2=0；

若取52=2冉二一1,则应十〃2=。；

若(s/)=(2，l),取$2=—1,，2=2,则5$2+〃2=。；

若印有一个为负数，则--1或，=-1,

若S=-l,则取$2=的=1,则SS2+%=°；

若/=_],则取S2=L‘2=S,则SS2+〃2=0；

故①正确；

对于任意G"）ey,存在（$2山）",使得SR+%=0

取区，为）“，存在a”）使得中.+占%=0,所以。+%=°,

不妨设外=1，%=-1,所以若集合X具有性质P,则XX,故②正确；

11C

-4=—，f[=X”,tz—s+tx=0

③假设4>1,令2।则存在s/wX使得2n,

同②得型中必有一个数为T,

111

lx——t=<-=X|

若s=-l,则"2,于是2x„2,矛盾，

若f=T,则2,于是s=2x“>x"，也矛盾，

所以々'I,又由②得IwX,所以毛21,所以毛=1,故③正确，

故真命题是①②③正确.

故答案为：①②③.

【点睛】解决此题的关键是抓住集合X具有性质尸的定义，结合反证法即可.

二、单选题

13.设.，人是满足/<0的实数，那么（）

A.\a+b\>\a-b\B\a+b\<\a-b\c|a-Z»|<||a|-|5||D|a-d|<|a|+|Z>|

【答案】B

【分析】利用举反例可判断ACD,利用不等式的性质可判断B

【详解】对于A,a=l』=T满足"<0,则M+M==此时故不正确;

对于B,因为"<0,所以/+b2-2a6>/+^+2血

所以（"城>（a+4,所以1。+可<卜叫，故正确；

对于C,=满足"<0,则|。-昨2,|14-网|=0,此时|"例>料一网|,故不正确；

对于D,a=L6=T满足/<0,则1"耳=2,同+网=2,此时|。-1=同+例,故不正确;

故选：B

14.用反证法证明命题：“已知。，心,若成不能被5整除，则。与人都不能被5整除”时，假

设的内容应为（）

A.。、都能被5整除

B.a、"不都能被5整除

C.人至多有一个能被5整除

D.”、方至少有一个都能被5整除

【答案】D

【分析】根据反证法证明数学命题的方法和步骤，可知应假设命题的否定成立.

【详解】假设的内容是命题“。与6都不能被5整除”的否定为“。、b至少有一个能被5整除”.

故选：D

15.小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a<b）,其全程的平均时速为v,

则（）

a+ba+b

A.a〈v<而B.尸疝C.疯<v<2D.v=2

【答案】A

2S2ab

v=-----=----

SSa+b

—I—

【分析】设甲乙两地相距S,则平均速度。b，结合基本不等式，即可得出结果.

2S2ab

v=-----=----

SSa+b

一十一

【详解】设甲乙两地相距S,则平均速度ab.

lablab

--->----=a

又•：a<b,a+bh+h

2ablab

,,a+b>2>[abf...a+b2\[ab

,.a<v<^bt故选A.

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,熟记基本不等式即可，属于基础题型.

16.记方程①：/+平+1=°,方程②：/+限+2=0,方程③：/+叱+4=0,其中q,

%,如是正实数.当4,牝，生成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是

A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根

【答案】B

,,a,=^-<—=16,

【详解】当方程①有实根，且②无实根时，可24,%<8,从而.a；4即方程③：

『+a/+4=°无实根，选B.而A,D由于不等式方向不--致，不可推：C推出③有实根

【解析】不等式性质

三、解答题

J=lx|—＞1

17.已知集合〔1+x8=*|Y_(2々+3)x+a(a+3)<0

（1）当a=l时，求/c8；

（2）若Bui,求实数。的取值范围.

【答案】（l）"c8=[L2]

⑵。4-4或。＞2

【分析】（1）当。=1时，求出集合8,即可求出/C8；

（2）由集合N求出彳，利用BuN即可求出。的取值范围.

/=[田7^-21）=（-1，2]

【详解】（1）[1+xJ,

8=卜|-（2a+3）x+a（a+3）＜。}=[a,a+3]

当。=1时，8=[1,4],所以NC8=[1,2]

（2）8={X|〃WXWQ+3},4={X|XK-1或x＞2}

若Bu）,则。+34-1或。＞2,所以a4-4或。＞2.

18.（1）已知实数0力满足。＞6,求证：f＞立

（2）已知实数0力满足/+〃=2,用反证法证明：4+642.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）通过立方差公式得出+"+〃），根据已知条件得出a-b＞0,再判

断/+“/＞+〃＞0,即可证明；

（2）假设。+6＞2,则。＞2-6,即可得到/+〃＞（2-6）3+",判断其范围再与已知对比，即可

证明.

【详解】（1）证明：

a-b＞0f

j3

又・.•/_/=（”6）（“+必+〃），且。2+岫+62=（0+56）2+彳62>0

/.a3-Z?3>0,

「.a3>b3.

（2）假设。+b>2,则八2-6,

故/+/〉Q_匕)3+〃=8-〃+6/-⑵+/=6(b-1)2+2>2

与已知，+力=2矛盾，

故a+H2.

19.为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每

月都有处理量，且处理量最多不超过300吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数

关系可近似的表示为：y=V-200x+40000,且处理X吨二氧化碳可得到价值为300x元的化工产

品.

(1)设该单位每月获利为S(元)，试写出S与x的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？

(3)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

［答案］(1)$=--+500%-40000(0<x<300)

⑵［100,300］

(3)200吨

【分析】(1)由产品价格去掉成本即可得到利润：

(2)令利润大于零，求解相关的一元二次不等式即可得出答案；

(3)表示出每吨平均处理成本，利用基本不等式求解即可.

【详解】(1)由题意S=300x-(x2-200x+40000)

=-x2+500x-40000(0<x<300)

(2)令SNO,Bp-x2+500x-40000>0,

解得100«xW400,y0<x<300,所以1004x4300,

故要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在［'0°，300］内.

以x+迎-2。。乜户口2。。=2。。

(3)由题得xxV%,

40000

当且仅当x-x,即200时取等号，

所以该单位每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.

20.(1)证明：卜-1|+卜-2怯1对所有实数x恒成立，并求等号成立的条件;

(2)若不等式卜-1卜卜-2〃|>1的解集非空，求〃的取值范围；

(3)设关于*的不等式"2+2,-4-20<°的解集为4试探究是否存在aeN,使得不等式

一+》-2<°与"x-l|<x+2的解都属于《若不存在，说明理由，若存在，请求出满足条件的a的

所有值.

【答案】(1)证明见解析，当“*口'2］时取等号；(2)或。<°；(3)存在，。=°或"1或

a=2

【分析】(1)应用绝对值三角不等式即可证明;(2)解集非空转化为最大值大于1解不等式即可；

(3)先解一元二次不等式和绝对值不等式确定A的子集，再分。=°和两种情况讨论求解可得

。的值.

【详解】⑴由三角不等式得kT+k-2|N|(x-l)-(x-2)|=l,当xe［L2］时取等号.

(2)由题意得l<k-l|-|x-2aK|(x-l)-(x-2a)|,

所以12"心1,解得或”0,

xe(-2,l)

卜f。

(3)由IRXT<X+2得［(3人故(-2,3)5,

若a=0,则2k|<20,所以xe(-10,10),符合题意，

若"0,设g(x)=ax2+2|x-a|-20,

因为〃>0,aeN,所以g(-2)40,g(3)W0,

4a+2|a+2|-20<0

所以上。+2|3-力2040,解得"1或"2.

当〃=1g(x)=x2+2|x-l|-20^x>l,g(x)=x2+2(x-l)-20=x2+2x-22g(l)<0,g(3)<0

当工<1名(尺二犬+2(1―1)_20=12_2五一［8g(-2)<0(-2,3)6^

符合题意

当4=2g(x)=2d+2,一2|—20x>2,g(x)=2x2+2(x-2)-20=2x2+2x-24g(2)<0,g(3)=0

^x<2,g(x)=2x2+2(2-x)-20=2x2-2x-16g(-2)<0(一2,3)w4符合题意

综上，"0或。=1或〃=2.

21.设”是正整数，集合/={a1a=(W