2021-2022学年陕西省咸阳市秦都区高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省咸阳市秦都区高二上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1.不等式（》-1）（苫-2）>0的解集是（）

A.{x|x<l或x>2}B.{x|l<x<2j

C.{x|x<lagx>2）D.1x|l<x<2}

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】由不等式（x—l）（x—2）>0,

解得x<l或x>2,

所以不等式的解为：{x|x<l或x>2}.

故选：A.

2.已知命题P：2'4x+l.则命题。的否定是（）

A.HxeR,2X>x+lB.BxeR,2X>x+1

C.VxeR,2x<x+\D.VxeR,2x>x+l

【答案】D

【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.

【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：

命题。：HxeR,2*4x+l.则命题。的否定是VxeR,2x>x+l,

故选：D.

3.若抛物线C：d=2py的焦点坐标为（0,1）,则抛物线C的方程为（）

A.x2=-2yB.x2=2yC.x2--4yD.x2=4y

【答案】D

【分析】由已知条件可得5=1,求出P,从而可求出抛物线的方程.

【详解】因为抛物线C：V=2p），的焦点坐标为（0,1）,

所以5=1，得P=2,

所以抛物线方程为x?=4y,

故选：D

4.已知实数a,。在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()

-------------->

ba0X

A.->-B.a2>b2C.b-a>0D.1^6/<|tz|Z?

ha

【答案】A

【解析】根据图象可得6<。<0,逐一分析选项，即可得答案.

【详解】对于A：由图象可得〃<a<(),所以!〉,，故A正确；

ba

对于B：因为b<a<0,所以/<从，所以B错误；

对于C：因为b<a,所以6-a<0,故C错误；

对于D：当匕=-2,a=-l时，满足6<a<0,此时W=2,同=1,

所以&网=-2力同=-2,即回〃=同6,故D错误,

故选：A

5.已知直线/的方向向量为2=(-1,0,-1),平面a的法向量为［=(1,0,1),则直线/与平面a的位置

关系是()

A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.无法确定

【答案】A

【分析】根据向量的坐标可得£=-入从而可判断线面关系.

【详解】由题设可得£=-/；，故直线/与平面a垂直.

故选：A.

6.已知等差数列｛%｝的前〃项和为若4=10,%=6,则当S,,取最大值时，〃的值为()

A.6B.7C.6或7D.7或8

【答案】C

【分析】先求出通项公式，利用前"项和的定义即可判断出S.取最大值时，〃的值.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d,

因为“2=1°，“4=6,

[a.=a.+d=10

所以2,A，

[%=q+34=6

解得:｛：]；：，所以a“=4+（〃T）d=14—2〃.

要使S“取最大值，只需把所有正项都加上，

所以a〃=4+（〃-1”=14-2〃20,

所以〃W7.

记S6=4最大.

故选：C.

7.已知XGR,则“L<1”是"X>1”的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据必要不充分条件的定义可得答案.

【详解】因为“11”不能推出如x=-1,

X

“X>1”能够推出

X

所以'4<1”是“X>1”的必要不充分条件.

X

故选：B

8.在正四面体中，棱长为1,且。为棱A8的中点，则定.而的值为（）

A.—B.-C.—D.!

4422

【答案】D

【分析】结合题意画出正四面体，由中点性质可得两=g（阳+而），则元.丽可代换为

PC-（PA+PB）,由向量数量积公式即可求解

D

【详解】B

如图，因为D为棱A3的中点，所以而=；(而+方)，

PCPD=^PC(PA+PB)=^(PCPA+PCPB),因为几何体为正四面体，故而与刀夹角为60。,

_______________1------1f111

同理方与定夹角为60。，PCPA=PCPB=lxlxcos60°=-,故尸CPO=jx—+不=不，

22122j2

故选：D

9.己知命题P：“到点(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1的动点的轨迹是抛物线”，命题4：“1

和100的等比中项大于4和14的等差中项”，则下列命题中是假命题的是()

A.pvqB.77AqC.PA(P)D."V(F)

【答案】B

【分析】对于命题。，设动点的坐标为(x,y),则根据条件可得动点的轨迹方程，从而可判断该命题

的正误.对于命题4,求出等比中项和等差中项后可判断其正误，再结合复合命题的真假判断方法可

得正确的选项.

【详解】对于命题。，设动点的坐标为(x,y),则J(x-iy+y2=|x+2|-l,

当x2-2时，有y2=4x；

当x<—2时，有/=8x+8,但此时8x+8<(),故/=8x+8不成立，

故动点的轨迹方程为>2=4x,轨迹为抛物线，故。正确.

对于4，“1和100的等比中项为±10,而4和14的等差中项为9,

故两者大小关系不确定，从而4错误.

故四个命题中，PF,。入(p),pv(r/)均为真命题，?人<7为假命题，

故选：B.

10.第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口

举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴

与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运

动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的

山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有

参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例

(如图)：若圆半径均为12,则相邻圆圆心水平距离为26,两排圆圆心垂直距离为11,设五个圆的

圆心分别为O/,02,03,04,05,若双曲线C以O/,03为焦点、以直线。2。4为一条渐近线，则C

的离心率为（）

D.2

【答案】A

=可）"可得・

如图建立直角坐标系，过。4向X轴引垂线，垂足为A,易知QA=11,02A=13

b11

11.已知椭圆C：5+犬=©>1）的离心率为母，P为椭圆C上的一个动点，定点A（—1,0）,则|PA|

的最大值为（）

35

A.—B.2C.-D.3

22

【答案】B

【分析】根据椭圆的离心率e=£=、1X=』，求出椭圆方程，再利用两点间距离公式和点尸在圆

a\CT2

上，换成关于点P横坐标的二次函数，根据二次函数在闭区间上的最值即可求解.

【详解】因为椭圆C：+f=的离心率为孝,

所以椭圆的离心率e，=Jl-t=L又按=1，则标=2,

a\a22

所以椭圆方程为片+/=1,设椭圆上一动点P(%,%),则yj=2-2x02,

2

所以陷=收+1)2+%2=J_/2+23+3,因为

所以当天=1时，|网取最大值2,

故选：B.

12.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨

论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成

等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项

分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第10项为()

A.39B.45C.48D.58

【答案】C

【分析】由题意，根据高阶等差数列的定义判断出该数列后一项与前一项的差构成新的等差数列，

即可求解.

【详解】因为4一3=1,6-4=2,9-6=3,13—9=4,18—13=5,24—18=6,

而1,2,3,4,5,6构成等差数列，

所以为-24=7,解得：％=31；

%-31=8,解得：的=39；

%-39=9,解得：即,=48.

故该数列的第10项为48.

故选：C

二、填空题

13.已知椭圆(+5=1的左、右焦点分别为小区,P为椭圆上一点，若附|=7,则|尸周=

【答案】3

【分析】根据椭圆的定义列方程，求得归图的值.

【详解】依题意可知“=，2a=l。,根据椭圆的定义归用+归闾=勿=1(),归闾=1()_归团=3,

故答案为：3.

14.在AABC中，内角的对边分别为a,0,c,若疯?sinA=acos3,则角3的大小为.

【答案】7

0

【分析】利用正弦定理边化角可求得tan8,由此可得反

【详解】由正弦定理得：V3sinBsinA=sinAcosB,

*/AG（0,7C）,「.sinAwO,/.>/3sinB=cosB,即tan3=-^-,

又3£（0,7l）,.一二2.

6

故答案为：T,.

6

x+y-220

15.若变量x,>满足约束条件7->+240,则目标函数z=x-2y的最大值为,

y<4

【答案】-4

【分析】画出可行域，平移基准直线x-2y=0到可行域边界位置，结合图像求得z的最大值.

x+y-2=0Jx=O

【详解】

x-y+2-0[_v=2

画出可行域如下图所示，由图可知，当平移基准直线x-2y=0到可行域边界点（0,2）时,

z取得最大值为0-2X2=T.

故答案为：-4

16.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，CC、=上,AB=BC=6,AC=2,则二面角与-AC-8

的大小为.

Bi

【分析】由题意以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，分别求出平面ABC和平面ACS,

的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.

【详解】因为三棱柱ABC-A4a为直三棱柱，且AB=8C=0，AC=2,

所以AB'+BC?=AC。则

以8为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，3(0,0,0),《0,也0),A(立0,0),耳(0,0,码,

设元=(O,O,l)_L平面ABC,而=(x,y,z)_L平面ACB,,

抚=卜后,五,0),丽=卜尤,0,石),

n-AC=0-\Z2x+>/2y=0

所以—=><

iiAB.=0-&x+百z=0

令人=1,则y=1,z=旦,

3

所以沅=1,1,4

<一

i一一rh'fi

则cos见〃=EW

所以二面角4-AC-3的大小为60。.

三、解答题

17.己知等比数列｛%｝满足q=l,%=8,3为数列｛《,｝的前〃项和.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵若S“=63,求〃的值

【答案】⑴％=2"T

（2）〃=6

【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比0进而得到%;

（2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果.

【详解】（1）设等比数列｛q｝的公比为则%=4q3=g3=8,解得：q=2,\a“=2"1

1-2"

（2）S,,=-------=63,\2"=64,解得：n=6.

"1-2

18.已知关于x的不等式好+2皿+机+220的解集为R.求：

（1）实数机的取值范围；

9

⑵函数/（，"）=，"+——-的最小值

m+2

【答案】⑴[T，2]

（2）4

【分析】（1）利用判别式的正负即可求解；

（2）利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）•••不等式产+2尔+〃2+220的解集为R.

AA=4m2-4（m+2）<0,解得一14m42

•••实数"的取值范围为[T2].

（2）由（1）知一1K2,：.l<ni+2<4

9QI0-

・,•函数+——=（〃z+2）+———2>2J（w+2）♦———2=4,

''m+2'）〃2+2V，m+2

9

当且仅当〃z+2=-即加=1时取等号

"1+2

/（加）的最小值为4.

19.已知椭圆C：5+马=1（。沙＞0）的长轴顶点与双曲线1-4=1的焦点重合，且椭圆C经过点

abio9

A愕,0

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵设椭圆C的左、右焦点分别为尸|、入，点尸在椭圆C上，且尸耳，尸巴，求点尸到X轴的距离.

V21,2

【答案】⑴工+2=1

259

琏

【分析】（1）根据已知条件求得。,匕，从而求得椭圆C的标准方程；

（2）设P（，%〃），根据尸耳，尸工列方程，结合P在椭圆上求得〃，进而求得尸到x轴的距离.

【详解】（1）对于双曲线有J演万=5,

169

且百在椭圆c上，

。=5

所以,503,解得。=5,b=3,

椭圆C的方程为工+二=1.

259

（2）设P的〃）,耳（TO）,名（4,0）,

22

由PF、±PF2,得尸耳•尸玛=（-4-ATI,-n）（4—m,—n）=m-16+n=0①,

22

又也+2=1②，

259

o

由①②解得〃=±=,

4

、.9

・••点P到x轴的距离为了.

4

20.如图，在从RC中，。是BC上的点，AB=3^3,BD=4,C=^,再从条件①、条件②这两个条件

中选择一个作为已知，求:

A

（1）角B的大小；

（2）AACD的面积.

条件①：AD=-J1；条件②：AC=3.

【答案】（1）B=g具体选择见解析；（2）空.

62

【解析】选择条件①：（1）利用余弦定理即可求解；

（2）由（1）可得”WC为直角三角形，利用三角形的面积公式：5=；岫所11（7即可求解.

选择条件②：（1）利用正弦定理即可求解.

（2）由（1）可得"RC为直角三角形，利用三角形的面积公式：S=g“6sinC即可求解.

【详解】选择条件①：

解：（1）在△ABD中AB=3x/l8£>=4,AD=>/7,

山余弦定理，得

AB?+8》一3(3哥-斤_73

2AB•BD2x3>/3x4-2

因为0<8<乃，

所以8=g.

O

（2）由（1）知，8=3，

O

77TT

因为。=丁，所以N8AC=z.

32

所以"RC为直角三角形.

所以AC=3,BC=6.

又因为8。=4,所以C£>=2.

2222

选择条件②：

兀

解：（1）在AABC中,AC=3,A8=36，C=—.

由正弦定理A冬r=上A3R，得sinB=1

sinBsinC2

由题可知0<6<C=F，

3

所以5=9.

6

(2)由(1)知，B=¥，

6

TTTT

因为c=§,所以NBAC='.

所以小BC为直角三角形，

得BC=6.

又因为9=4,所以CD=2.

所以SAc°=LAC-C£>-sinC=1x3x2x且=更.

42222

21.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD—A'B'CD,且AD=A4，=1,43=2,点E在棱

AB上移动.

(1)证明：lyELAD；

(2)当E为AB的中点时，求直线AC与平面OEC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵画

30

(分析】(1)设AE=f(0VtW2),求出。乞=,A'D=(-1,0,-1),利用向量法能求出DEYAD；

(2)求出平面D'EC的法向量3=(1,1,2),利用向量法能求出直线AC与平面D'EC所成角的正弦值.

【详解】(1)证明:^AE=t(0<t<2),D\0