2021-2022学年广东省深圳市龙华区高一年级上册学期期末数学试题含答案

2021-2022学年广东省深圳市龙华区高一上学期期末数学试题

一、单选题

I.设集合”={x|14x<3},5={x|3x-l>9-2x}；则如8=（）

A.仲=<2}B{X|1<X<2}

C{x|2<x<3}D{x|2<x<3}

【答案】C

【分析】解出集合8中的不等式，求与集合力的交集即可.

【详解】集合8={中1>9-20={小>2},

因为“={x|14x<3}4cB={x[2<x<3}

所以

故选：C.

2.1095。的终边落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】找到与1095。终边相同的角，即可看出在第几象限.

【详解】因为10950=360x3+15。，所以1095°的终边与15。终边相同，故落在第一象限.

故选:A

3.“a>3”是“一元二次方程/+办+1=°有实数根，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据一元二次方程根的个数结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】一元二次方程/+6+1=0有实数根，贝!]A=/-420,解得04-2或aN2,即“a>3”是

“一元二次方程/+办+1=0有实数根”的充分不必要条件

故选：A

4.下列函数中与函数>是同一个函数的是（）

A,丫=岳B,

m=一

C."D.S=2%'

【答案】B

【分析】分别从函数的定义域，对应法则和值域进行判断即可求解.

【详解】函数丁=苫定义域为R,值域也为R.

对于A,函数^="=国的定义域为R,值域为［°，+8）,对应法则也不相同，故选项A不满足题

后、；

对于B,函数〃=汐=丫的定义域为R,值域也为R,对应法则相同，故选项B满足题意；

n2/八、

加=__—/77^0）

对于C,函数一〃一定义域为（-8，°）U（0，+8）,值域为（-8,0）U（0,*«）,故选项C不满

足题意；

对于D,函数s=2'期'=f（f>0）定义域为（0,+8）,值域为（0,位），故选项D不满足题意，

故选：B.

5.如图，四边形Z8CO是直角梯形，NDAB=90°,AD〃BC,AD=a,BC=b.若用，N分别

在Z8,8上，MN〃BC,且把直角梯形“8co分成面积相等的两部分，则脑V=（）

B,而

a+b

C.2

【答案】D

【分析】过A点作/尸〃℃交于E,交BC于F,由相似三角形和面积相等建立等量关系求解

即可.

【详解】如图所示，过A点作交MN于E,交BC于F,

设MN=c,AM=m,AB=n,

MEAMc-atn(c-a)n

-----=------------——m------------

因为AAME~"BF,所以BE力8即6-an,解得b-a,

22

S=(£+c)m=(£+c)(c-a)n(c-a)n_(a+h)n

因为2(b-a)t*BCD=「一，且邑BCC=2s皿叫

(a+b)n_(c2-a2)n

----------=zx-------------

所以22(b-a)解得

故选：D

兀i、l-cos2x

xe(O,—]/(x)=------------

6.当3时，函数'sin2x的最大值是()

V3

A.3B.1

C.百D.2

【答案】C

【分析】化简/(X)的解析式，根据正切函数的单调性求得正确答案.

“、l-cos2xl-(l-2sin2x)

/(x)=------------=-------------------=tanx

【详解】由于sin2x2sinxcosx,

而/(x)=tanx在区间(°b上单调递增，

所以八X)的最大值是(3J.

故选：C

7T71

----</<—

7.如图为某质点简谐运动的部分图像，它符合函数N=Nsm(ox+p)(A>0,3>0,22)

的形式，则()

(p----

A.A=2,0=1,6

71

(p=--

B.4=2,0=1,3

71

(P----

C.A=2,3=2,6

71

c<P=

D.4=2,0=2,3

【答案】D

Ij'_£f—,2^

【分析】由题知/=2,2-2,进而得尸2sin(2x+*再代入点112’加可得好进而得

答案.

17_11万541

【详解】解：由题知4=2,2一记一五一5,

丁2万

T=7T=——

所以3,解得。=2,

所以，y=2sin(2x+e),

:，22=2sin2x—+(p2x—+(p=—+2k7r,keZcp=-—+2k7r,keZ

再将112J代入得I124即时2,解得3

7tn

---<(p<-

因为22,

乃

(p=--

所以3,

71

所以，A=2,(0=2,夕=一］

故选：D

8.已知b=log.3,c=l°go.3e”是自然对数的底数)，则。，b,c的大小关系为

()

A.a>b>cB.ci>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【分析】利用对数函数的单调性判断.

［详解］解：因为°=唾3万>唾33=1,0<6=log.3<log.〃=l,c=log03e<log„31=0

所以a>Z>>c,

故选：A

二、多选题

9.在同一坐标系中，对于函数〃x）=x2与g（x）=2,的图象，下列说法正确的是（）

A./（'）与g（x）有两个交点

B.3%>°,当x>x（）时，/（x）恒在g（x）的上方

C.〃x）与8（口有三个交点

D.*o>O,当X>/时，g（x）恒在/（x）的上方

【答案】CD

【分析】通过试值找到两函数在时两个关键的交点坐标（24），（4/6）,从而在同一坐标系中作

出两函数图像，通过图像即可判断选项.

【详解】"）=Lg（l）=2,f（2）=g（2）=4,〃3）=9,g（3）=8,/（4）=g（4）=16,

"5）=25,g（5）=32

则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示:

显然两函数有三个交点48，C,故A错误，C正确,

由图易得当x>4时，g（x）恒在/（X）的上方，故B错误，D正确,

故选：CD.

（兀、

y-cos2x+一

10.将函数.I6J的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把它向右

兀

平移5个单位，得到函数/a）的图像，则下列是y=/a）对称轴的是（）

571兀

x=-----x=—

A.6B.6

X=---7-K-x-

C.24D.6

【答案】ABD

【分析】由图像变换求解函数解析式，整体代入法求对称轴方程.

（兀、

y=cos2x+—\

【详解】函数I6J的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数

（兀）

y=cosx+一

l6J的图像，

兀\（兀）

—/（X）=COSX——

再把它向右平移3个单位，得到函数.I6J的图像，

71.._,TI.-

X——=A7l,ATGZx=〃兀+—

令6,解得y=/（x）对称轴方程为6,

5兀__7兀

当％=T时，对称轴为6；当左=°时，对称轴为“6.当”=1时，对称轴为*6.

故选：ABD

II.已知/㈤的定义域是R,"X)既是奇函数又是减函数.若6eR,且则()

A.f(a+b)>0B./(幻+/3)<0

C./(«+*)<0D,f(a)+f(b)>0

【答案】AD

【分析】根据一(X)定义域为R,且其既是奇函数又是减函数，可知/(°)二0,结合。+6<°即可判

断A,C选项，。+6<0,则。<-6,结合其单调性和奇偶性得到“"A-/㈤，即可判断B,D选项.

【详解】：/(x)的定义域为R，且“X)既是奇函数又是减函数，

则/(°)=°,•♦•/(。+6)>/(°)=°,故A正确，C错误，

•・•a+bV0，则a<-b,

又•••/(X)是在R上单调递减的奇函数，

•1•/(«)>/(一伙即/(。)>-/9),

，/(a)+/。)>°,故D正确，B错误.

故选：AD.

12.提鞋(斜)公式，也叫李善兰辅助角公式，是我国19世纪著名数学家李善兰先生提出的一种

高等三角函数公式，其正弦型如下：asinx+/>cosx=Ja2+〃sin(x+/),其中一哈旌兀.若3°。-卜|,

00G(0,一)

2,则下列判断正确的是()

A.当a>0,6>0时，9=%

B.当a<0,b>0时，。=例一兀

C.当a>0,6<0时，夕=一%

D.当。<0,6<0时，。=n-。0

【答案】AC

【分析】根据两角和正弦公式求出夕的表达式后根据〃力的正负分类讨论可得.

asinx+6cosx=d6+b1(/"sinx+^cosx)

［详解］sla2+b2yja2+b2,

ab

设yJa2+b2\la2+b2一兀<。工兀，贝gasinx+6cosx=+/sin(x+/)

sin69b

tancp=-----=—

cos夕a

八4c冗

0v0<—..0<(O...<—

若a>0,b>0,则2,此时tan展tan%,%2,9=仰，A正确；

冗TC

若”

0,b>0,则2,tane=-tang0=tan(万一%),2°,<P=^~<P0,B错；

71几门

-------<0<0.4,z\<—0n<0

若a〉0,b<0,则2杉，tang=-tan%=tan(-%),2%,0=一%,C正确；

7T71

~71<0<-------.../\一冗<①科—7T<--------

若。<0,b<0,则2,tane=tan%=tan(%-m,+。2,夕=%一兀，D错

误.

故选：AC.

三、填空题

I22

13.已知a>0,计算：.

【答案】a

【分析】利用暴的运算性质直接求得.

2|2

2

［详解］Q2Q34-a6=a36=4

故答案为：a

14.已知a为第二象限的角，且3,则sin(a+.

2V2

【答案】一亍

【分析】由同角三角函数关系及诱导公式可得答案.

1

cosa=—

【详解】因a为第二象限的角，则sina>0,又si/a+cos2a=1,3,贝ij

.r.--------2应

sma=VI-cosa=------

3.又由诱导公式，

./v.2正

sin(a+nsi=n-a=--------

得〈尸3.

2y/2

故答案为：一亍

/(x)=『+l，x20

15.已知函数〔2x+%,x<0是增函数，则实数m的取值范围是

【答案】(，2］

【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得团的取值范围.

【详解】由于/（X）在R上递增，

所以2x0+”?420+1,g|jm<2t

所以〃，的取值范围是（-8,2]

故答案为：（r°，2]

16.煤油在作为喷气发动机的燃料之前需通过黏土除去其中的污染物.某种煤油中污染物的含量为

P。，测得这种煤油通过xm的圆形黏土管道后污染物的含量P如下表：

x/m0123

PPoO.8po0.64PoO.512po

若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2%,则至少需要m的圆形黏土管道.（参考

数据：32ao3）

【答案】*

[分析]根据表格得到P=P<>'0-8',解不等式P。•4外•2%,可得结果.

【详解】由表可知，P=A,08,

由P=4Po,2%,得0842%,

……2、.、吆2-2lg2-20.3-2

xlg08VIg---x2------=-------x--------

两边取常用对数得100,得lg8-l31g2-13x0.3-1=17.

所以若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2%,则至少需要17m的圆形黏土管道.

故答案为：17

四、解答题

17.立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的

课题研究.随机调查了100°名市民，结果显示：使用支付宝的有456人，使用微信支付的有783人,

两种都使用的有298人.

（1）只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？

（2）两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程）

【答案】（1）158人

（2）59人

【分析】（1）由题意“使用支付宝”的去掉”两种支付方式都使用”的即为“只使用支付宝不使用微信

支付”的人.

（2）由题意分别得出“只使用微信支付不使用支付宝”，“只使用支付宝不使用微信支付”“两种支

付方式都使用”，由总人数减去“至少使用一种移动支付方式”即可的结果.

【详解】（1）因为“使用支付宝”的有456人，”两种支付方式都使用，，的有298人，

所以“只使用支付宝不使用微信支付''的有456-298=158（人）.

（2）同理，“只使用微信支付不使用支付宝”的有783-298=485（人），

所以，“至少使用一种移动支付方式''的有485+158+298=941（人），

故“两种移动支付方式都不使用，，有1000-941=59（人）.

18.已知函数〃x）=l°g"X（"0,"1）,且/S）+/（4a）=4.

（1）求实数。的值；

（2）解关于x的不等式:/2«-4/（X）-5<0

【答案】（1）。=2

卜|；<x<32>

⑵12J

【分析】（1）由“④+八加厂九代入函数解析式解方程；

（2）换元法先解二次不等式，再求解对数不等式.

【详解】（1）由/（。）+/（4。）=4得log04+log114a=2+loga4=4.

所以log/=2,即/=4,

因为所以“=2

（2）令，=/（x）,不等式转化为产-今-5<0,

即C+l）（"5）<。，解之得

gp-l<log2x<5；而一1=噫万，5=log,32；

-<x<32

所以2

x[g<x<32

故该不等式的解集为

19.如图，以°为圆心，半径为2的圆与X轴正半轴相交于点A,质点P在圆周上逆时针运动，其

初始位置为外（行，-1），角速度为2rad/s.

（1）求点尸的纵坐标'关于时间，（单位：S）的函数解析式;

⑵求在60s内（即，e[0,60]）,质点P经过点A的次数.

y=2sin|2/--I

【答案】⑴I6）

（2）20

/cx2—兀=c2t-兀-

【分析】（1）先求出，时刻后，尸经过的角度为66,然后再根据三角函数求解.

（2）根据函数的周期计算.

71

【详解】⑴由微后T）得4%-不,

因为质点尸运动的角速度为2rad/s,

八兀八兀

，x2—=27—

所以，时刻后，P经过的角度为66,

y=2sinI2/-—J

故P的纵坐标16>

-2兀

T=—=n

（2）由（1）知周期2,

而19兀<60<20兀

所以质点尸至少经过点A达19次，

兀

因为质点尸从4到达A至少需要12‘，

JT

60-19n>—

而12,即第20个周期可以到达点A,

所以质点产经过A点的次数为20.

2、-2~x

/（x）=-——

20.己知函数.2、+2一1

（1）判断/㈤的奇偶性，并说明理由；

（2）判断/（X）的单调性，并用定义法给予证明.

【答案】（1）奇函数，理由见解析

（2）/3是R上的增函数.，证明见解析

【分析】（I）利用奇偶性的定义进行证明；

（2）结合指数函数单调性及复合函数单调性法则判断，再利用单调性的定义进行证明.

【详解】（1）因为的定义域是R,

且当VxeR时，/（-x）=^7^7=一/（x）,

故/⑶是奇函数；

，/、2X-2-X4X-14,+1-2,2

（2）变形得‘'72V+2~x4X+14X+14x+1,

/6）=l-£

令f=4'+l,则t,

因为，=4、+l在R上是增函数，

7

又f在（l，+8）上是单调递增，

所以/（x）是R增函数，下面用定义法证明：

任取两个实数X|,々eR,且王＜》2,

222《「一）

则“看）—/（看）=门一百二G”+1X4*+1）,

因为*〈七，所以43＜4%所以牛-平＜0,

乂4*+1＞0,4"+1＞0,

所以/&）-/（七）＜0,即/区）＜〃七），

故"X）是R上的增函数.

f（x）=sinxcos（—+x）+万sinxcosx

21.已知函数.2

（I）求/（x）的单调递减区间；

⑵若不等式S3-同＜2在上恒成立，求实数，”的取值范围.

[-+/ai,—+kn]

【答案】（1）63（左eZ）

⑵仁』）

【分析】（1）利用诱导公式以及三角恒等变换公式化简函数/（X）的解析式，根据正弦函数的递减区

间列式可得结果；

0--0

（2）根据函数/（X）在「2」上的单调性求出函数人外在['2」上的值域，将不等式1〃尤）一向<2在

xe0,—xe0,—

L2」上恒成立，化为“-2</（x）<“+2在L2」上恒成立，再利用"X）的最值列式可求出结果.

.2/T.cos2x-l73

J(X)=-sinx+V3sinxcosx=--------+——sm2x

【详解】(1)因为.22

/(x)=sin(2x+-1)-^-

所以62

ITTTSit

-+2kn<2x+-<—+2k7t

令262

71/2兀.

—+KII<X<---Fkn

解得63,keZ,

[—+ATI,—+fat]

即〃x)的单调递减区间为63(后eZ).

xe[0,—]2x+—&[—,—]

(2)当6时，662,所以/(x)在L6」上单调递增;

c7C7T7兀_,兀71

2X+-Gr[-,—1一

xe[—,—]6,2

当62」时,626,所以"X)在上单调递减:

因为〃。）=。，吗H）=T,

[-1-1

所以"X）的值域是‘2,

又由I〃x）-同<2在xq，2「上恒成立，得吁2</（x）<加+2在上恒成立,

加一2<一