《直线和平面垂直的判定与性质》课堂教学实录

《直线和平面垂直的判定与性质》课堂教学实录（一）一、素质教育目标（一）知识教学点1．直线和平面垂直的定义及相关概念．2．直线和平面垂直的判定定理．3．线线平行的性质定理（即例题1）．（二）能力训练点1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加．2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用．（三）德育渗透点引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点（1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直．（2）掌握直线和平面垂直的判定定理：（3）掌握线线平行的性质定理：若a∥b，a⊥α则b⊥α．2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题．3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时．四、学生活动设计（略）五、教学步骤（一）温故知新，引入课题1．空间两条直线有哪几种位置关系？（三种：相交直线、平行直线、异面直线）2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．）4．怎样判定直线和平面平行？师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手．（板书课题：§1．9直线和平面垂直）（二）猜想推测，激发兴趣1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．2．指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．3．说明直线和平面垂直的画法及表示．师：要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）（三）层层推进，证明定理指导学生写出已知条件和结论，并画出图形如右：求证：l⊥α师：你如何证明直线和平面垂直呢？生：根据直线和平面垂直的概念，只需证明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可．师：设g是平面α内的任意一条直线，现在只要证明l⊥α就可以了．对于平面α内不经过点B的直线，可以过点B作它的平行直线，所以，我们先证明l，g都经过点B的情况．（生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作提示．）1．l、g是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线l上点B的两侧分别取点A，A′，使AB＝A′B．2．直线m、n和线段AA′是什么关系？（m、n垂直平分AA′）3．从结论看，直线g与线段AA′应当有什么关系？（g垂直平分AA′）4．怎样证明直线g垂直平分线段AA′？（只要g上一点E，有EA＝EA′）5．过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、A′C、AD、A′D，则有：AC＝A′C、AD＝A′D，由此能证明EA＝EA′吗？（利用全等三角形性质）（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．）参看右图并作如下说明：1．当直线g与m（或n）重合时，结论是显然的．2．如果直线l、g有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线l与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而l⊥g．3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的．这样我们有了直线和平面垂直的判定定理．（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．4．强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．（1）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．（2）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．（四）初步运用，提高能力例1如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．分析：首先写出已知条件和结论，并画图形．已知：a∥b，a⊥α（如图1-68）．求证：b⊥α，要证明：b⊥α，根据判定定理，只要证明在平面α内有两条相交直线m、n与b垂直即可．证明：在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n＝A．说明：1．本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．2．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写．练习（课后练习2）求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．已知：OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA．求证：OA⊥平面BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB．证明：（以证明OA⊥平面BOC为例，目的是强化书写格式）（五）归纳小结，强化思想师：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l垂直于平面α，那么l就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路．六、作业作为一般要求，完成习题四1、2、3、4．提高要求，完成以下两个补充练习：1．如图1-70，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有[]A、AH⊥△EFH所在平面B、AD⊥△EFH所在平面C、HF⊥△AEF所在平面D、HD⊥△AEF所在平面答案：选择（A）∵AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥平面EFH．讲评作业时说明：应用折叠不变性设计的本题，目的是用于培养学生的空间想象能力和“转化”思想方法；折叠问题要注意应用折叠前、后平面图和立体图中，各个元素间大小和位置关系不变的量．2．如图1-71，MN是异面直线a、b的公垂线，平面α平行于a和b，求证：MN⊥平面α．证明：过相交直线a和MN作平面β，设α∩β=a′，∵a∥α．∴a∥a′∵MN是a、b的公垂线，∴MN⊥a，于是MN⊥a′．同样过相交直线b和MN作平面γ，设α∩γ＝b′，则可得MN⊥b′．∵a′、b′是α内两条相交直线，∴MN⊥α．《直线和平面垂直的判定与性质》课堂教学实录（二）一、素质教育目标（一）知识教学点1．直线和平面垂直的性质定理．2．点到平面的距离．3．直线和平面的距离．（二）能力训练点1．掌握直线和平面垂直的性质定理，并能应用它们灵活解题．2．掌握用反证法证明命题．（三）德育渗透点通过例题2的学习向学生渗透转化的思想和化归的解题意识．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：（1）掌握直线和平面垂直的性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．（2）掌握点到平面的距离及一条直线和一个平面平行时这条直线和平面的距离的定义．2．教学难点：性质定理证明中反证法的学习和掌握，应让学生明确，对于一些条件简单而结论复杂的命题，可考虑使用反证法．3．教学疑点：设计一个综合题，引导学生思考点到平面的距离和直线到平面的距离问题的互化．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第二课时．四、学生活动设计（常规活动，略）五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：上节课，我们学习了直线和平面垂直的定义和判定定理，请两个同学来叙述一下定义和判定定理的内容．生（甲）：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这两条直线和这个平面互相垂直．生（乙）：直线和平面垂直的判定定理是：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（板书如右）师：利用判定定理我们还证明了线线平行的性质定理（即例题1），也请一个同学叙述一下．生（丙）：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．（板书）若a∥b，a⊥α则b⊥α．师：这个用黑体字写成的例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理，现在请同学们改变这个定理的题设和结论，写出它的逆命题．生：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．师：下面就让我们看看这个命题是否正确？（二）猜想推测，激发兴趣教师写出已知条件并画出图形，作探讨性证明已知：a⊥α，b⊥α（如图1-73）求证：a∥b．分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．师：您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？生：否定结论→推出矛盾→肯定结论师：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1（线线平行定理），在这个定理的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线．（三）层层推进，证明定理证明：假定b与a不平行设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，∵a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α是不可能的．因此，a∥b．由此，我们得到：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．师：这就是直线和平面垂直的性质定理；师：学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．（四）初步运用，提高能力1．例题2已知：一条直线l和一个平面α平行．求证：直线l上各点到平面α的距离相等．分析：首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线l上任意取两点A、B，并过这两点作平面α的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可．证明：过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1（直线与平面垂直的性质定理）．设经过直线AA1和BB1的平面为β，β∩α＝A1B1．∵l∥α，∴l∥A1B1．∴AA1=BB1（直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到平面的距离相等．师：我们再来学习直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．师：本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题．这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到的方法．2．思考（课后练习4）安装日光灯时，怎样才能使灯管和天棚、地板平行？生：只要两条吊线等长．师：转化为数学模型是，如图1-76已知：直线l上A、B两点到平面α的距离相等，求证：l∥α．师：本题仿照例题2方法很容易证明，但以下的论述却是假命题，你知道是为什么吗？直线l上A、B两点到平面α的距离相等，那么l∥α．3．如图1-77，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．（1）求证：EF⊥平面GMC．（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的