科学计算(计算方法)课件

第4章函数的插值

§4.1引言背景：实际问题中，函数f(x)多样、复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以进行一些运算，例如求导。希望用简单函数g(x)近似

f(x)

。

最简单的办法：在所有的离散点(节点)处，让g(x)=f(x)；在其它点处,让g(x)

f(x).x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)定义4.1.1

设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，为区间[a,b]中n+1个互异的点（称为节点），是给定的函数类。插值问题就是在求函数g(x)，使得问题：(1)函数类的选取：多项式，样条函数，有理函数，…？(2)插值问题是否有解？如果存在解，解是否唯一？(3)如何构造问题的解？(4)截断误差多大？(5)随着节点增加，g(x)是否收敛于f(x)？设是函数类子空间的一组基，则对，则其中定理4.1.1

设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，为区间[a,b]中n+1个互异的节点，。则插值问题存在惟一解当且仅当如下矩阵非奇异如果取，即则§4.2Lagrange插值定理4.2.1

设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，为区间[a,b]中n+1个互异的节点。则存在惟一次数不超过n的多项式,使得1.Lagrange插值定义4.2.1

设为区间[a,b]中n+1个互异的节点。如果存在次数不超过n的多项式,使得则称为Lagrange插值基函数。

容易求得Lagrange插值基函数

则插值问题的解为线性插值二次插值例.定理4.2.2

设函数f(x)在区间[a,b]上具有n

阶连续导数，并且在(a,b)内n+1阶导数存在，

为区间[a,b]中n+1个互异的节点，是代数插值问题的解。则用插值多项式近似f(x)的截断误差为2.误差估计其中解.n=1分别利用x0,x1

以及x1,x2

计算利用这里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

(extrapolation)

的实际误差0.01001利用sin500.76008,内插(interpolation)

的实际误差0.00596例.已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50

并估计误差。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.00061Lagrange插值的缺点无承袭性：增加一个节点，所有的基函数都要重新计算1.差分§4.3Newton插值设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，n为正整数。记称h为步长。称为等距节点。记称为f(x)在节点处的1阶向前差分。记依次称为f(x)在节点处的2阶，…，k阶向前差分。记依次称为f(x)在节点处的1阶，2阶，…，k阶向后差分。记称为f(x)在节点处的1阶，2阶，…，k阶中心差分。分别称为向前差分算子，向后差分算子和中心差分算子，用表示恒等算子和位移算子，即则从而利用差分和差分算子的定义，容易证明如下结论。定理4.3.1(1)设,c,d是常数，则(2)设,则(3)如果f(x)是m次多项式，则f(x)的一阶差分是m-1次多项式。(4)f(x)的各阶差分均可用函数值表示，即(5)f(x)的函数值也可用各阶差分表示，即2.差商为f(x)在节点处的1阶差商。称设f(x)是给定的函数，为n+1个互异的节点。称为f(x)在节点处的2阶差商。称为f(x)在节点处的k阶差商。差商表1阶差商2阶差商3阶差商4阶差商利用差商的定义和数学归纳法，容易证明如下结论。定理4.3.2(1)设,c,d是常数，则(2)设,则(3)如果f(x)是m次多项式，则f(x)的一阶差商是m-1次多项式。(4)f(x)的各阶差商均可用函数值表示，即(5)f(x)的各阶差商具有对称性，即(6)如果，则3.Newton插值设f(x)是给定的函数，为n+1个互异的节点，则上面各式两边依次乘,然后左右两边全部等式相加，得记则并且即是满足插值条件的n次插值多项式，称为n次Newton插值多项式。事实上.设表示在节点处的k次Lagrange插值多项式，则

对，因为并且是k

次多项式,则是的全部根。因此将代入上式，得得从而于是利用例.2点Newton插值多项式利用差商表，容易构造Newton插值多项式

设函数f(x)在区间[a,b]上具有n

阶连续导数，并且在(a,b)内n+1阶导数存在，

为区间[a,b]中n+1个互异的节点.因为，则由定理4.2.2，有用Newton插值多项式近似f(x)的截断误差为其中，从而§4.4Hermite插值背景：实际问题中，构造函数f(x)的插值多项式除利用函数值的条件外，还可以利用函数的导数值，这样的插值问题称为Hermite插值问题。Hermite插值问题的提法设f(x)是定义在区间[a,b]上的可微函数，为区间[a,b]中n+1个互异的节点，给定的函数f(x)在节点处的函数值和导数值。求次数不超过2n+1的多项式,使得定理4.4.1

设f(x)是定义在区间[a,b]上的可微函数，为区间[a,b]中n+1个互异的节点。则存在惟一次数不超过2n+1的多项式,使得Hermite插值问题的解构造一个次数不超过2n+1的多项式,使得0010000000因为是的二重零点，则由，可得记则由，可得再构造一个次数不超过2n+1的多项式,使得0000000100因为是的二重零点，而是的单零点，则由，可得从而和称为Hermite插值基函数，则Hermite插值问题的解为容易证明：Hermite插值问题的解是惟一的。定理4.4.2

设函数f(x)在区间[a,b]上具有2n+1

阶连续导数，并在(a,b)内2n+2阶导数存在，

为区间[a,b]中n+1个互异的节点，是Hermite插值问题的解。则用插值多项式近似f(x)的截断误差为误差估计其中一般Hermite插值问题设f(x)是定义在区间[a,b]上的可微函数，为区间[a,b]中n+1个互异的节点，给定的函数f(x)在节点处的函数值和导数值，求次数不超过m-1的多项式,使得其中例.设f(x)是区间[a,b]上4次可微函数，给定函数及导数表构造一个次数不超过3

的多项式,使得并估计误差。例.设f(x)是区间[a,b]上4次可微函数，给定函数及导数表构造一个次数不超过3

的多项式,使得并估计误差。Hermite插值问题的解为截断误差为§4.5分段低阶插值

Runge现象例：等距节点构造10次Lagrange插值多项式-0.900.047061.57872-0.700.07547-0.22620-0.500.137930.25376-0.300.307690.23535例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象Ln(x)f(x)是否次数越高越好呢？分段线性插值每个小区间上，作线性插值(1)(2)在每个小区间上为一个不高于1次的多项式特性误差估计可以看出分段Hermite插值每个小区间上，作Hermite插值构造一个次数不超过3

的多项式,使得子区间上Hermite插值多项式为在区间[a,b]上分段Hermite插值问题的解为误差估计可以看出分段低阶插值优点：收敛缺点：不够光滑。§4.6

样条插值1.背景：实际问题中，构造函数f(x)的近似除利用节点处函数值的条件外，还希望近似函数具有较好的光滑性、保凸性和流线型。2.样条函数对区间[a,b]的一个分划如果函数满足如下条件：(1)在每个子区间内是次多项式；(2)及其阶导数在[a,b]上连续，则称是对应于分划的k次多项式样条函数，称为样条节点，称为内节点，称为边界节点。这样k次样条函数的全体记为3.二次样条插值给定区间[a,b]的一个分划并给定函数f(x)在节点处的函数值，求2次样条函数满足如下条件：问题的提法称为函数f(x)关于分划的2次样条插值函数。由于在上是2次多项式，即其中共有3n个待定参数。确定也就是要确定3n个待定参数。因为满足如下条件：共有3n-1个条件。要唯一确定2次样条插值函数，还需要增加一个插值条件。通常利用边界节点处的导数作为补充条件。

第1边界条件：给定函数f(x)在处的导数值，即要求

还满足如下条件：

第2边界条件：给定函数f(x)在处的导数值，即要求

还满足如下条件：定理4.6.1

二次样条插值问题的解存在且唯一。设待求的分段表达式为二次样条插值问题的解由插值条件可得记由第1边界条件可得因为S(x)在[a,b]上连续可微，则在内部节点处有从而于是因此，对第1边界条件，2次样条插值问题的解存在且唯一。类似可证明：对第2边界条件，2次样条插值问题的解存在且唯一。定理4.6.2

设函数f(x)在区间[a,b]上具有4阶连续导数，

为[a,b]中n+1个等距节点，是2次样条插值问题的解。则对等距节点，即，可以证明如下结论。误差估计其中4.三次样条插值给定区间[a,b]的一个分划并给定函数f(x)在节点处的函数值，求3次样条函数满足如下条件