湖南省衡阳市高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值教案 新人教A版必修1

湖南省衡阳市高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值教案新人教A版必修1课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、教材分析湖南省衡阳市高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值教案新人教A版必修1

章节名称：1.3.1单调性与最大（小）值

年级：高一年级

教学目标：

1.理解单调性的概念，能够判断函数的单调性。

2.掌握函数的最大值和最小值的概念，能够求解函数的最大值和最小值。

3.能够运用单调性和最值性质解决实际问题。

教学内容：

1.单调性的定义和判断方法。

2.函数的最大值和最小值的求解方法。

3.单调性和最值在实际问题中的应用。

教学方法：

1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握单调性和最值的概念。

2.通过例题和练习题的讲解，让学生学会如何判断函数的单调性和求解最值。

3.结合实际问题，让学生能够将单调性和最值的概念应用到实际问题中。

教学资源：

1.教材和教师用书。

2.课件和多媒体教具。

3.练习题和答案。

教学评价：

1.通过课堂提问和练习题的回答，评价学生对单调性和最值概念的理解程度。

2.通过课后作业和测验，评价学生对单调性和最值求解方法的掌握程度。

3.通过实际问题的解决，评价学生对单调性和最值在实际问题中应用的能力。二、核心素养目标本节课的核心素养目标定位为逻辑推理和数学建模。通过学习单调性与最值，引导学生运用逻辑推理能力，理解并判断函数的单调性，掌握求解函数最值的方法，并能够运用这些知识解决实际问题。在教学过程中，注重培养学生的数学建模能力，让学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。同时，通过小组讨论和合作交流，提升学生的沟通与合作能力，培养学生的团队合作精神。三、重点难点及解决办法重点：1.函数单调性的判断方法。2.函数最大值和最小值的求解方法。3.单调性和最值在实际问题中的应用。

难点：1.理解单调性的概念，能够准确判断函数的单调性。2.掌握求解函数最值的方法，能够解决实际问题。

解决办法：1.通过具体例题和练习题，让学生多次演练，加深对单调性判断方法的理解。2.利用图形和实际例子，帮助学生直观理解函数的最值概念及其求解方法。3.提供丰富的实际问题，引导学生将单调性和最值知识应用于解决实际问题，提高应用能力。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《湖南省衡阳市高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值》的教材或学习资料，以便学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以便在教学中进行直观展示和解释，帮助学生更好地理解和掌握单调性和最值的概念。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。在本节课中，可以考虑准备一些简单的函数模型或电子设备，让学生通过实际操作和观察来验证函数的单调性和最值性质。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。将学生分组，并为每组提供足够的空间和材料，以便进行小组讨论和实验操作。

5.练习题和答案：准备一些与单调性和最值相关的练习题，并提供详细的答案和解题过程，以便学生在课后进行自主学习和复习。

6.教学课件：制作教学课件，包括教学内容的讲解、例题的展示和解析、练习题的发布等，以便在课堂上进行演示和指导。

7.教学反馈表：准备一份教学反馈表，让学生在课后对自己的学习情况进行评估和反馈，以便教师了解学生的学习进展和需求，及时进行教学调整和改进。五、教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生对单调性和最值的兴趣，引入新课内容。

过程：教师通过展示一些实际问题，如商品价格的变动、考试成绩的变化等，引导学生思考这些问题的背后是否存在某种规律。然后提出本节课的主题——单调性与最值，激发学生的学习兴趣。

2.单调性的概念与判断（10分钟）

目标：让学生理解单调性的概念，学会判断函数的单调性。

过程：教师通过讲解和示例，引导学生理解单调性的概念，并通过一些练习题让学生学会如何判断函数的单调性。

3.函数的最值与求解方法（20分钟）

目标：让学生掌握函数的最值的求解方法，并能够应用到实际问题中。

过程：教师通过讲解和示例，引导学生掌握函数的最值的求解方法，并通过一些练习题让学生加以巩固。然后，教师再提供一些实际问题，让学生尝试运用所学的知识解决。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作交流能力，深化对单调性和最值的理解。

过程：教师给出一些与单调性和最值相关的问题，让学生进行小组讨论，共同探讨问题的解决方法。讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：提升学生的表达能力和逻辑思维能力，及时巩固所学知识。

过程：每个小组选取一名代表进行展示，分享他们的讨论成果。其他学生和教师对展示内容进行点评，提出自己的观点和疑问。教师对学生的表现进行点评，及时巩固所学知识。

6.课堂小结（5分钟）

目标：帮助学生梳理本节课的主要内容，加深对单调性和最值的理解。

过程：教师引导学生回顾本节课的学习内容，让学生自己总结单调性和最值的概念、判断方法和求解方法。最后，教师对学生的总结进行点评，并提出一些建议和期望。六、知识点梳理本节课的主要知识点包括以下几个方面：

1.函数单调性的概念与判断方法：

-单调递增函数：对于定义域内的任意两个实数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≤f(x2)，则函数f(x)在定义域上单调递增。

-单调递减函数：对于定义域内的任意两个实数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≥f(x2)，则函数f(x)在定义域上单调递减。

-单调性的判断方法：通过观察函数的图像或者利用导数来判断函数的单调性。

2.函数的最大值和最小值的概念与求解方法：

-最大值：函数在定义域内的某个点上，函数值达到最大。

-最小值：函数在定义域内的某个点上，函数值达到最小。

-求解方法：

-解析法：通过求导数或者利用函数的性质来求解函数的最值。

-图像法：通过观察函数的图像来确定函数的最值。

-区间法：通过判断函数在不同区间上的单调性，确定函数的最值。

3.单调性和最值在实际问题中的应用：

-利用单调性分析实际问题中的变化规律，如商品价格的变动、考试成绩的变化等。

-利用最值求解实际问题中的最优解，如最短路径问题、最大利润问题等。

4.函数单调性和最值的性质：

-单调性不会改变函数的最值。

-最值点是函数的极值点，即导数为0的点。

-最值点可能在定义域的边界上或者内部。七、课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了函数的单调性和最值的概念、判断方法以及求解方法，并通过实际问题了解了这些知识点的应用。下面是对本节课内容的简要回顾：

1.函数单调性的概念与判断方法：

-单调递增函数：对于定义域内的任意两个实数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≤f(x2)，则函数f(x)在定义域上单调递增。

-单调递减函数：对于定义域内的任意两个实数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≥f(x2)，则函数f(x)在定义域上单调递减。

-单调性的判断方法：通过观察函数的图像或者利用导数来判断函数的单调性。

2.函数的最大值和最小值的概念与求解方法：

-最大值：函数在定义域内的某个点上，函数值达到最大。

-最小值：函数在定义域内的某个点上，函数值达到最小。

-求解方法：

-解析法：通过求导数或者利用函数的性质来求解函数的最值。

-图像法：通过观察函数的图像来确定函数的最值。

-区间法：通过判断函数在不同区间上的单调性，确定函数的最值。

3.单调性和最值在实际问题中的应用：

-利用单调性分析实际问题中的变化规律，如商品价格的变动、考试成绩的变化等。

-利用最值求解实际问题中的最优解，如最短路径问题、最大利润问题等。

4.函数单调性和最值的性质：

-单调性不会改变函数的最值。

-最值点是函数的极值点，即导数为0的点。

-最值点可能在定义域的边界上或者内部。

当堂检测：

请根据本节课的内容，完成以下题目：

1.判断函数f(x)=x^2-4x+5在区间[-1,3]上的单调性。

2.求函数f(x)=2x^3-3x^2+1在区间[-1,1]上的最大值和最小值。

3.小明购买了一种股票，已知该股票的价格函数为p(t)=2t^2-5t+1，其中t表示时间（年），p(t)表示股票的价格（万元）。请问在哪个时间点购买该股票能够获得最大利润？

4.某商店举行打折活动，商品的原价为100元，打折后的价格分别为x元。已知商店的折扣函数为d(x)=x/100，其中x表示折扣后的价格。请问折扣力度最大时，购买该商品所需支付的金额是多少？

请同学们认真思考并完成以上题目，这将有助于巩固本节课所学的知识。八、典型例题讲解1.单调性判断例题：

例1：判断函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1在区间[-1,3]上的单调性。

解答：首先求导数f'(x)=3x^2-6x+3。令f'(x)=0，解得x=1。当x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，函数f(x)在区间[-1,3]上的单调性为：在[-1,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增。

2.单调性应用例题：

例2：已知函数f(x)=x^2-4x+5在区间[-1,3]上单调递减，求证f(3)≤f(-1)。

解答：由单调递减的性质可知，当x增大时，f(x)的值减小。因此，f(3)≤f(-1)。

3.最大值和最小值求解例题：

例3：求函数f(x)=2x^3-3x^2+1在区间[-1,1]上的最大值和最小值。

解答：首先求导数f'(x)=6x^2-6x。令f'(x)=0，解得x=0。当x<0时，f'(x)>0，函数单调递增；当x>0时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，函数在区间[-1,1]上单调递增。最大值为f(1)=0，最小值为f(-1)=-2。

4.单调性和最值应用例题：

例4：某商品价格函数为p(x)=2x^2-5x+1，其中x表示数量（件），p(x)表示总价（元）。已知该商品的数量范围为[1,4]，求购买该商品所需支付的最小总价。

解答：首先求导数p'(x)=4x-5。令p'(x)=0，解得x=5/4。当x<5/4时，p'(x)<0，函数单调递减；当x>5/4时，p'(x)>0，函数单调递增。因此，函数在区间[1,5/4]上单调递减，在区间[5/4,4]上单调递增。最小值为p(5/4)=-1/8，即购买1.25件商品所需支付的最小总价。

5.实际问题应用例题：

例5：某城市有A、B两个地区，A地区的居民每月用水量为x立方米，水费价格为y元。已知A地区的用水量和水费价格的关系为y=2x+1，B地区的用水量和水费价格的关系为y=3x+2。如果A地区每月用水量为10立方米，求A地区居民每月需支付的水费。

解答：将x=10代入y=2x+1，得到A地区居民每月需支付的水费为y=2×10+1=21元。板书设计1.函数单调性

-单调递增：对于定义域内的任意两个实数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≤f(x2)

-单调递减：对于定义域内的任意两个实数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≥f(x2)

-判断方法：观察图像