高中数学人教版教材讲解(整数值随机数的产生)课件

整数值随机数的产生知识是桥,思想是河金秋十月，桥都水城，绍兴，…….当笔者动手写这篇文字时，眼前一直浮现着绍兴会议结束时夜游绍兴环城河的情景.可在脑海与心灵的深处，却交织地出现着：桥，河；知识，思想.绍兴环城河上，耸立着一座座不同形式的桥.桥是那样的美丽，河是那样的迷人.桥是重要的，没有了桥，有些地方就连不起来.但是，如果没有河，是否会有桥呢？桥通常连接两个地方，但河却流经许多的桥.站在桥上，可以看到一处风景.但如果在河里游走，不仅可以看到很多的桥，还能领略一处处美景.在数学里，也有很多的“桥”，但更有一条条生动的“河”.因而数学教学的过程，应该使学生不仅在一座座知识的“桥”上走，还要在思想的“河”中游.带着上述心情，笔者以在浙江绍兴召开的“中学数学核心概念、思想方法教学设计研究”课题组第五次课题会议中的研究课《(整数值)随机数的产生》（以下简称《随机数》），并结合自己的教学经历谈一些基本认识.其中的核心观点是：教学设计的本质就是对如何帮助学生建“知识之桥”修“思想之河”进行深入思考.对教学内容进行解析时，不仅要对教学内容的意义进行正确的分析，更要分析当前内容在整个数学中的地位与作用，充分重视当前内容与学生已学内容的联系.同时，要认识到具体的数学知识总是与一定的数学思想与方法联系在一起，在对内容的解析过程中，要有“知识是桥，思想是河”的境界.一、内容与内容解析在《随机数》一课中，具体的数学知识是（整数值）随机数.在进行内容解析时，当然要弄清什么是随机数，什么是伪随机数，但这样还不够，更重要的还要弄清为什么要学习随机数，为什么要用计算机产生伪随机数来代替随机数.

有了产生随机数（或伪随机数）的方法，并没有解决用模拟试验来估计随机事件的概率问题.因此，了解蒙特卡罗（MonteCarlo）方法，并用蒙特卡罗方法计算一些随机事件的概率的估计值就成为必要的学习内容.在利用蒙特卡罗方法计算概率的估计值时，对于一次次试验结果的统计是一件非常麻烦的事情，这正好是利用算法解决问题的绝好机会，也是对学生进行算法思想熏陶的好时机.

因此，《随机数》一课宜从具体案例出发，让学生体会学习随机数的必要性.同时，在利用蒙特卡罗方法计算随机事件的概率的估计值时，应引导学生写出算法步骤或画出程序框图，有条件时还可以编出程序让计算机（器）计算概率的估计值.在本节课里，随机数是“桥”，蒙特卡罗方法与算法思想是“河”.二、目标与目标解析

有些教学内容，就其本身而言不一定是数学中的核心概念，但通过这些内容所体现出来的数学思想与方法是主要的教学目标，也就是教学的重点.《随机数》一课中，根据内容与内容解析，我们认为教学目标应为：（１）明确（整数值）随机数及伪随机数的概念；（２）会用信息技术工具产生（整数值）随机数（实际上是伪随机数）；（３）通过具体案例理解蒙特卡罗方法（随机模拟方法），能针对具体的随机事件设计概率模型，并通过蒙特卡罗方法得出随机事件的概率的估计值.（４）在信息技术环境下，通过算法解决大量重复模拟试验中的数据统计问题，实现计算随机事件的概率的估计值，并由此进一步体会随机模拟方法与算法思想.随机数的概念与产生方法不是什么难事，也不是主要的教学目标.但通过具体案例理解蒙特卡罗方法，并用算法的思想实现计算随机事件的概率的估计值这个过程是主要的教学目标，即教学重点.三、教学问题诊断分析一节课中可能遇到的教学问题，往往是结合教学目标的实现来确定的.教师只要对照教学目标，分析学生已有基础和目标之间的差异，结合自己的教学经验就能得出教学中可能出现的障碍，也就是一个个应该注意的教学问题，而教学中突出教学重点时可能遇上的困难，通常就是教学的难点.学生上《随机数》一课前，曾利用随机数表进行过随机抽样，但那时并没有体会什么是随机数，也没有追究随机数（表）是怎样产生的.因此，用类似于摸球这样的具体案例让学生理解随机数的概念，并将其与用计算机产生的伪随机数区别开来，同时又能在随机模拟试验中用伪随机数来代替所需的随机数，就成为了第一个教学问题.学生学习过古典概型，已经会计算可列举基本事件的属古典概型的随机事件的概率.但对于很难列举全部基本事件的古典概型或非古典概型中的随机事件（如概率为40％的下雨事件），建立什么样的概率模型来进行模拟，通过怎样的步骤来进行随机模拟试验，这是第二个教学问题，也是教学难点之一.在随机模拟试验中，需要用计算机（或计算器）不断重复地产生随机数，并根据随机数进行频数统计，这是一项非常麻烦的事情.如果不研究蒙特卡罗方法中所涉及的算法，那么很难使学生对随机模拟方法有较深刻的理解.同时，要使通过蒙特卡罗方法所得到的随机事件的概率的估计值更精确，就必须使随机模拟试验的次数相当大，这靠人工统计的方法是办不到的.因此，如何通过算法使学生更好地体会蒙特卡罗方法是第三个教学问题，这是教学难点之二.四、教学支持条件信息技术是《随机数》一课的重要支持条件，无论是随机数的产生，还是根据蒙特卡罗方法设计算法求随机事件的概率的估计值，都离不开有随机函数的计算器（或计算机）．上本节课时，最好是能使学生人手一台既有随机函数又能编程、操作简单的计算器（如TIVoyage200或TI92PLUS图形计算器），这样能更方便地实现教学目标.

当学生有了符合上述要求的计算器后，使得随机数的产生变得方便快捷，学生有更多的时间来关注蒙特卡罗方法的本质，能让学生在算法思想的指导下更好地体会随机模拟试验的过程.

教学时，只需根据学校条件，选择一种能实现教学目标的信息技术工具即可，要避免在一节课上利用多种信息技术工具去产生随机数，否则，学生要用较多时间学习工具的使用，不便于突出教学重点，会妨碍解决主要的教学问题.五、教学过程设计由于《随机数》一课的操作性强，需要学生动手的时间多，在算法思想指导下体会蒙特卡罗方法也需要一定的过程，因此，教学过程中设计的问题针对性要强，数量不宜过多.根据前面几个方面的分析，笔者认为可以设计如下的一些问题.【问题１】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，这三天中恰有两天下雨的概率是多少？意图：上课时一开始就给出这节课的主要问题，一方面是使学生从“每一天下雨的概率均为40%”认识到非古典概型的客观存在性，同时感受到这不是一个用已经学过的知识就能解决的问题，为引入随机数及蒙特卡罗方法作铺垫；另一方面，激发学生探求解决问题的欲望，使整个教学过程都围绕这个问题展开.师生活动：教师提出问题后让学生思考，启发学生认识到下雨这件事情不好试验，每天下雨的概率也不能用已学过的古典概型来求解.【问题２】将一个骰子掷1次，向上一面出现1点的概率是多少？如果将一个骰子掷1000次，向上一面出现1点的次数大约是多少？如果通过试验的方法，要估计（掷一个骰子1次）向上一面出现1点的概率，你会怎么做？意图：引导学生复习古典概型；体会用试验方法求出随机事件出现的频率，并以此来估计概率的方法；认识到人工试验耗时费事，并由此引出随机数的概念，介绍用计算器产生伪随机数的方法.师生活动：（1）教师引导学生复习古典概型的基本特征，总结用频率估计概率的步骤.（2）教师指出掷一个骰子1次，骰子向上一面的点数就是一个随机数，由此给出随机数的概念.教师让学生思考此处随机数的变化范围.（3）教师启发学生认识到一个骰子掷1000次是一件不容易实现的事情，由此介绍用计算器（以TIVoyage200为例，下同）中的随机函数rand(6)产生1-6的整数值（伪）随机数的方法（见下图）.（4）学生在教师的引导下，利用随机函数产生随机数的方法，编出计算“一个骰子掷1000次，向上一面出现1点”的频率的程序，并让计算器计算频率，将所得频率与用古典概型计算所得的概率进行比较.从所得的频率，我们知道1000次试验中大约有161次是1点向上.【问题３】在一个盒子中装有形状大小完全一样，但分别标有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十个球.（1）从盒子中随机摸一球，球上所标的数字是什么？（2）从盒子中随机摸一球，球上所标的数字不超过3的概率是多少？（3）如果用试验的方法去估计（2）中的概率，具体步骤怎样？（4）如果用计算器产生随机数来模拟解决（3）的过程，你会怎样做？意图：让学生经历用蒙特卡罗方法来估计古典概型中随机事件的概率的过程，体会在算法思想指导下，用蒙特卡罗方法计算概率估计值的重要意义.师生活动：（1）学生认识到从盒子中随机摸一球，球上所标的数字是随机数.（2）学生利用古典概型，计算出从盒子中随机摸一球，球上所标的数字不超过3的概率是0.4.（3）教师引导学生总结出用试验的方法去估计（2）中的概率的算法步骤.第一步，确定试验的总次数n.第二步，记i=1，m=0.第三步，从盒子中摸出一球，若球上所标的数字不超过3，则m=m+1.第四步，i=i+1.第五步，判断i≤n是否成立.若是，则返回第三步.第六步，输出概率的估计值m/n.（4）教师引导学生分析得出结论：如果用计算器产生随机数来模拟解决（3）的过程，只需将上述步骤中的第三步改为：用随机函数rand(10)-1产生随机数x，若x≤3,则m=m+1.师生一起根据算法步骤写出程序，并用计算器实现模拟过程（见下图）.【问题４】问题1中的“每一天下雨的概率均为40%”是不好试验的，但由问题3我们知道“从标有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十个球中随机摸出一球，球上所标的数字不超过3的概率也是40%”，这个属古典概型的摸球过程不仅可以试验，而且还可以通过计算器产生随机数来模拟试验.你能设计一个算法解决问题1吗？意图：使学生在解决前面问题的基础上，完整地体会蒙特卡罗方法，进一步体会算法思想的应用，彻底解决问题1.师生活动：（1）教师：如果从十个球中摸出一球，球上的数字是0，1，2，3中的任何一个就表示下雨，否则就表示不下雨，那么摸一次球就等于模拟一次今后三天中一天的天气情况.因此，连续三天的天气情况就相当于有放回地摸三次球所对应的数字的情况，如果连续摸出的三个球的数字是392，就表明未来三天中恰有两天下雨.根据这个原理，同学们可以设计一下模拟过程，并写出估计所求概率的算法.（2）给学生思考与探索时间，然后与学生一起写出算法步骤：第1步，输入模拟试验的次数n，并令m=0，i=1．第2步，a=0，j=1.第3步，利用计算器上的随机函数rand(10)-1产生一个0～9的随机数并赋值给x．若x≤3,则a=a+1．第4步，j=j+1．第5步，判断j>3是否成立.若否,返回第三步．第6步，判断a=2是否成立,若是,则m=m+1．第7步，i=i+1.判断i>n是否成立,若否，则返回第二步．第8步，由频率m/n得出三天恰有两天下雨的概率的近似值.（3）师生一起画出程序框图，并根据程序框图编出程序（如下图）（4）师生均将图7中的程序输入到自己计算器上，运算得出概率的估计值（如下图）（5）重复运行上述程序，逐渐增大模拟试验的次数n，通过观察每次运行程序后所得结果，使学生认识到所求概率的估计值的近似程度是随着n的增大而提高的.（6）教师利用Excel软件画出模拟试验次数从1到100的频率分布折线图，让学生从图中体会到，随机模拟所得估计值的近似程度是随着试验次数的增加而提高的.（7）教师结合问题1的解决过程，介绍蒙特卡罗方法及其应用的广泛性.蒙特卡罗（MonteCarlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的.传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果.这也是我们采用该方法的原因.蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解.这就是蒙特卡罗方法的基本思想.蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验.它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解.本节课所涉及的内容应用蒙特卡罗方法的基本步骤如下：第一步，构造概率模型（在本节里是古典概型，今后还会有几何概型等等）；第二步，进行模拟试验（通常是利用计算器或计算机产生的随机数来表示某个随机事件发生或不发生）；第