第六章 概率（二）讲义 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第六章概率四、二项分布与超几何分布（一）n次独立重复试验（n重伯努利试验）1.条件：①进行n次试验，一个人进行n次或者n个人重复一个试验.②每次试验都是相互独立的，互不影响③每次试验都只有两个结果，即事件要么发生要么不发生2.特点：每次试验中，事件发生的概率都是相同的每次试验中，事件都是相互独立的，是相互独立事件的特例【例】某人投篮n次（二）二项分布1.引入：【例】某射击运动员进行了4次射击，假设每次命中目标的概率都为0.75，且各次命中目标与否相互独立。用X表示这4次射击命中目标的次数。表示X的分布列。2.总结：（1）一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p,不发生的概率为1−p，那么事件A恰好发生kPX=X01…k…nPCCCC由于表中第二行恰好是二项式展开式[p+1−p]n的各项对应的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n,B（2）适用条件：符合n次独立重复试验，随机变量X是n次重复试验中事件发生的次数（3）实质：二项分布是放回抽样问题。3.二项分布的期望、方差若X~B(n,p)【例1】一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，每次抽取1件产品，用随机变量X，表示抽取的次品的件数，求E【例2】某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9，求险情发生时，下列事件的概率：（1）3台都没报警（2）恰有1台报警（3）恰有2台报警（4）3台都报警（5）至少有2台报警（6）至少有1台报警注：完成p209练习【练习】某群体中的每位成员适用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立。设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DXA.0.7B.0.6C.0.4D.0.3（三）超几何分布1.引入：【例】已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件，用X表示取得次品的件数，试写出X的分布列。2.总结：（1）在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为PX=k=CM称该分布列为超几何分布列。随机变量X服从超几何分布，记作X~H(N,M,X01…mPCC…C（2）适用条件：考察对象分两类，已知各类的个数（3）实质：超几何分布时不放回抽样问题，即每次试验中某一事件发生的概率是不同的2.超几何分布的均值E【例1】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛（1）设所选3人中女生的人数为X，求X的分布列，及E(X)（2）求所选3人中恰有1名女生的概率（3）求所选3人中至少有1名女生的概率（4）求所选3人都是男生的概率注：完成课本p212练习（四）二项分布与超几何分布的区别1.超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要;2.超几何分布是“不放回”抽取,而二项分布是“有放回”抽取(独立重复);3.当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布.【例1】一批产品共300件,其中次品数占产品总数的3%,随机抽取4件样品进行检验,X表示样品中抽到的次品数,在下列情形下求P(X=1).(结果精确到0.0001)(1)不放回抽样(2)放回抽样（五）二项分布中最大值问题【例】为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如下表所示.从本市随机抽取了10户家庭(编号为1~10),统计了他们某月的用水量,得到如上表格。(1)现要在这10户家庭中任意选取3户求取到月用水量为第二阶梯的户数X的分布列;(2)用抽到的10户家庭的月用水量作为样本估计全市居民的用水情况,现从全市随机抽