量子力学中的算符

量子力学中的算符第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期二第一节算符operator算符算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号

就是一个算符算符的引入规则如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式F(r,p)中将动量p换为动量算符得出第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期二名称力学量Operator算符坐标动量势能动能总能量角动量经常遇到的力学量所对应的算符第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期二简并degeneration当算符Â的某一本征值n的本征函数不止一个，而是f个线性无关的函数n1、n2、

nf，则称该本征值f度简并。若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函数，如，则称此方程为该算符的本征方程，称此常数fn为算符F的第n个本征值，波函数为fn相应的本征波函数算符的本征值和本征函数第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期二线性算符linearoperator设u1、u2为任意函数，c1、c2是任意两个复常数，如果则称Â为线性算符

x、d/dx是线性算符，而开方运算不是线性算符量子力学中用来表示力学量的算符，都是线性算符是态叠加原理的要求设根据态的叠加原理也就是假设说是二度简并的也是算符Â的本征态，应有当Â为线性算符时第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期二1厄米算符Hermitianoperator设u、v为两个任意函数，如果算符Â满足则称Â为厄米算符量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符

——量子力学的又一基本概念厄米算符在任意状态下的平均值必须是实数力学量观测值必须是实数，要求算符的本征值是实数线性厄米算符的作用就是把态空间中的一个元素变成另一个元素线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期二（1）厄米算符本征函数的正交归一性(Orthonormality)（2）完备性(Completeness)设1、2、、n，是某一线性厄米算符的本征函数系，任何与{n}满足同样边界条件且在同样区间定义的波函数,都可以按{n}展开，即厄米算符的本征函数(本征态)具有正交、完备性若在每个r处，此无穷级数都收敛到Ψ(r,t)，则称{n}是完备的第二节第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期二2力学量的平均值(AverageValues)(1)力学量处于本征态时设厄米算符Â的本征函数分别为1、2、、n，所属的本征值为，1、2、n，当体系处于n时，力学量A有确定的值n，（2）当体系处于Â的非本征态时，力学量A为何值？在非本征态中测量力学量的值为一平均值，当体系处于算符Â的非本征态时，测量力学量A所得为平均值，如果已经归一化，力学量的平均值为如果尚未归一化，力学量的平均值为第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期二利用归一化条件用*左乘上式并对全空间积分根据本征函数的完全性力学量的平均值为：所以为在Ψn态中，A取λn的几率第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期二状态时，粒子的能量？也就是说，此时粒子不处于本征态。在此状态下，测量粒子的能量由于波函数是归一化的本征函数为：解：例：设粒子在一维无限势阱(0,a)中运动，如果描述粒子状态的波函数为第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期二3轨道角动量算符的本征值和本征函数(1)轨道角动量算符定义若位势与坐标的方向无关，即，则称此位势为中心力场粒子若在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的重要物理量为区别自旋角动量，将其称之为轨道角动量第三节第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期二(2)本征问题Spherical-harmonicsl称为角量子数，表征角动量的大小A的本征方程本征函数m称为磁量子数本征值为球谐函数，不仅应当在全空间有限，而且是一个单值函数第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期二例如：l=2时m可以取-2,-1,0,1,2;五个值本征值本征函数BLz的本征值和本征函数

Lz表示体系的轨道角动量在z轴方向的投影一个本征值对应2l+1个本征函数，本征值是2l+1度简并的第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期二(3)讨论算符的本征值是量子化的，只能取断续值除了的基态外，算符的所有本征值都是简并的，且简并度为第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期二例题若粒子处于状态求：分别测量的可能取值与相应的取值概率解：首先判断波函数是否是归一化的状态其次计算各种条件下各力学量的可能取值和取值概率在态下，相应的取值概率公式为第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期二4类氢原子的波函数和能量本征值(1)分离变量法求解定态方程，可以得到满足波函数条件的解设

在球坐标下，薛定谔方程变为类氢原子中的电子有三个自由度，因此要用三个量子数n,l,m来描述其运动状态

Rnl(r)是径向函数是角度部分的波函数，称球谐函数主量子数：n角量子数：l磁量子数：m能量角动量角动量在z轴上的投影第四节第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期二（2）本征能量能量取下列离散值时，才有满足波函数有限性条件的解电子的能量只与量子数n有关,n称为主量子数玻尔第一轨道半径氢原子的基态能量为若要使处于基态的氢原子电离，必须外加

13.6eV的能量随量子数n的增加，氢原子能级间隔越来越小，当n→∞时能级接近连续分布氢原子能级图EoE1E2第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期二（3）能级的简并度电子的能级En只与主量子数n有关对应一个n值，l可以取0,1,2n-1共n个对应一个l值，m又可以取0,1,2,…l共2l+1个

l、m不同，函数的形式不同同一能量级对应着不同的本征函数——库仑场中运动的电子能级是简并的简并度为电子的能级是n2度简并的第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期二例1对能级简并度是9，9个不同的波函数(9个不同的本征态)有相同的能量它们是例2：氢原子中的电子处于状态，求：(1)归一化的波函数(2)能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求平均值？(3)角动量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求平均值？(4)角动量的z分量有无确定值？如果有，求其本征值第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期二利用本征函数的正交性，得到所以归一化的波函数为解:(1)设归一化常数为A，利用归一化条件第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期二(2)所以此波函数不是能量的本征函数，在此态中能量无确定值，能量的可能值为E2和E3，能量的平均值为(3)容易证明此波函数不是角动量平方算符的本征态第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期二角动量平方的可能值为L2平均值：第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期二是其本征函数，本征值为(4)第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期二作业题：1氢原子中的电子处于求:(1)归一化的波函数；

(2)能量有无确定值？如没有，求其能量的可能值和取这些值的几率

(3)角动量平方有无确定值？如果有求其本征值

(4)角动量的z分量有无确定值？如果没有？求其可能值和取这些值的几率2氢原子能量简并度是多少？写出n＝2的所有可能的能量状态讲义：P7414任选两道第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期二量子力学中可以进一步通过代表不同力学量的算符间所满足的关系，来判断哪些力学量可以同时取确定值，哪些力学量不可以同时取确定值，引入了对易的概念算符Â、Ô

不对易如果两个算符Â、Ô

，先后作用到一个波函数上，作用的结果与作用的顺序无关，如两个算符Â、Ô对易可以同时测定如果两个算符满足两个算符反对易1算符的对易关系commutationrelation第二十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期二（1）坐